电路分析基础~~第六章正弦稳态电路分析.ppt

一、什么是正弦稳态电路 动态电路在正弦激励下的完全响应由固有响应和强制 响应组成的 。 在正弦激励下 ， 动态电路的固有响应是随时 间的增长而衰减的 ， 经过一段时间后 ， 固有响应将趋于零 。 这时电路的完全响应则由强制响应 ， 也即稳态响应决定 。 在正弦激励下 ， 处于稳态响应阶段的电路称为正弦稳态电 路 。 第 6章 正弦稳态电路分析 二、研究正弦稳态电路的意义 正弦电压和电流产生容易 ， 与非电量转换方便 ， 在实用 电路中使用广泛 。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和 ， 因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应 。 三、正弦稳态电路的分析方法 采用 相量分析法 ，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。 6-1 正弦量 6-2 正弦量的相量表示法 6-3 正弦稳态电路的相量模型 6-4 正弦稳态电路的相量分析法 6-5 正弦稳态电路的功率 本章的主要内容 6-6 三相电路 6-1 正 弦 量 6-1-1 正弦量的三要素 正弦电压的瞬时值可表示为： ( ) c o s ( )muu t U t 正弦量的振幅 mu 正弦量的角频率，表示其随时间变化的快慢 u 正弦量的初相位，表示其起始值的大小 u t )(tu mU u 可以为正为负，为正时，最大值发生在计时时刻之前 为负时，最大值发生在计时时刻之后 u t )(tu mU )c o s ()( um tUtu u t )(tu mU )c o s ()( um tUtu 规定 的取值范围为： u u 6-1-2 正弦量的相位差 在同一正弦稳态电路中 ， 任意电量都是同频的正弦量 ， 因此各正弦量的区别在于振幅和初相不同 。 为了衡量各正弦 电压和电流间变化进程之间的差别 ， 即两个同频正弦量之间 的相位关系 ， 引入 “ 相位差 ” 的概念 。 相位差定义为： 1 2 1 2 1 2( ) ( )tt 1 1 1( ) 2 c o s ( )i t I t设两个同频正弦量为： 2 2 2( ) 2 c o s ( )u t U t 同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数 比较两正弦量的相位差时应注意： （ 1）两正弦量必须是同类型的函数 （ 2）两正弦量必须具有相同的频率 （ 3）初相位要小于 例： )30100c o s (10)( ttu )151 0 0s in (5)( tti )30100c o s (10)( ttu )151 0 0c o s (5)( tti 6-1-3 正弦量的有效值 在工程上 ， 常将 周期量在一个周期内产生的平均效应换算 为在效应上与之相等的直流量 ， 以衡量和比较周期量的效应 ， 这一直流量就称为周期量的有效值 ， 用相对应的大写字母表 示 。 当周期电流信号流过电阻时，在一个周期内，电阻所消耗 的电能量为 2 1 ( ) ( ) TT ooW p t d t R i t d t 直流电流流过电阻时，在一个周期内，该电阻消耗的能量为 22 2 T oW R I d t R I T 如果上述两种情况下，电阻 R消耗的能量相同，即 To dttRiTRI )(22 2 0 1 ()TI i t d t T 则将电流 I 定义为周期电流信号 的 有效值 。 )(ti 当周期电流为正弦电流时 ( ) c o s ( ) mii t I t 代入上式 ， 可得正弦电流的有效值 I为 2 0 1 c o s ( ) T miI I t d tT 0 .7 0 72 m m I I 正弦电流也可表示为 ( ) 2 c o s ( )ii t I t 同理可得正弦电压 u（ t） 的有效值为 0 . 7 0 72m mUUU 有效值在工程中应用十分广泛 。 大部分使用于 50HZ的 交流电表测读的都是有效值 。 交流电机和电器铭牌上所标注 的额定电压或电流都是指有效值 。 通常所说的民用交流电的 电压 220V， 指的就是电压的有效值 。 6-2 正弦量的相量表示法 正弦稳态电路中 ， 电路中各支路的稳态响应是与激励同 频率的正弦量 。 激励的频率通常是已知的 ， 因此要求响应 ， 只要确定它们的 振幅 和 初相 这两个量就行了 正弦量为什么要用相量表示？ 相量表示法就是 用复数来表示正弦量的振幅和初相 ， 将 描述正弦电路的微分方程变换为复数代数方程 ， 而这些方程 在形式上又与直流电路的方程相类似 ， 从而大大简化了正弦 稳态响应的分析与计算 。 6-2-1 复 数 一复数的概念 一个复数 A 有四种数学表达形式： A a jb )s in( c o s| jAA jeAA | 直角坐标形式： 三角形式： 指数形式： 极坐标形式： |AA 复数在复平面上用矢量表示 b a O j 1 |A 二 复数运算规则 复数的加、减运算 )()( )()( 2121 221121 bbjaa jbajbaAAA 复数的乘、除运算 1 2 1 2()1 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | ( )j j jA A A e A e A A e A A 1 12 2 ()1 1 1 1 12 2 2 2 2 | | | | | | () | | | | | | j j j A A e A Ae A A e A A 三 、 复数运算定理 定理 1 若为 a实数 ， A(t)为任意实变量的复值函数 。 则有 R e ( ) R e ( ) a A t a A t 定理 2 若 A(t)和 B(t)为任意实变量的复值函数 。 则有 R e ( ) ( ) R e ( ) R e ( ) A t B t A t B t 定理 3 若 A为复数 ,其极坐标形式为 。 则有 jt mA A e R e R e R e j t j t j tm m mddA e A e j A ed t d t 定理 4 若 A、 B为复常数 ,若在所有的时刻都满足 R e R e j t j tA e B e 则 AB 6-2-2 正弦量的相量表示法 ( ) 2 c o s ( )uu t U t正弦电压 复指数函数 ()2 2 c o s ( ) 2 s i n ( )ujt uuU e U t j U t 比较上两式可得 ()( ) R e 2 ujtu t U e R e 2 uj jtU e e 有效值相量 uj uU U e U 振幅相量 umjmm UeUU u UU m 2两相量之间的关系 引入相量后，正弦电压又可表示为 ( ) R e 2 R e j t j tmu t U e U e 引入旋转相量后 ， 上式对 应的几何意义是一个正弦量在 任何时刻的瞬时值 ， 等于对应 的旋转相量同一时刻在实轴上 的投影 ， 如图所示 。 2 jtUe 称为旋转相量 注意： （ 1） 正弦量与相量仅为对应关系 ， 并非相等关系 ， （ 2） 正弦量的时间函数表达式称为正弦量的时域表 示 ， 相量表示形式称为正弦量的相量表示或频域表 示 。 试写出它们对应的相量并作出相量图。 例 6-1 正弦电压和电流分别为 ( ) 1 0 c o s( 3 1 4 ) V3u t t 4( ) 1 4 1 . 4 s i n ( 1 0 2 0 ) Aoi t t 解： 对应相量的为 10 7 . 0 7 ( ) 332UV )11010c os (4.141 )902010c os (4.141 )2010s i n (4.141)( 4 4 4 t t tti 1 4 1 . 4 1 1 0 1 0 0 1 1 0 A 2I 对应相量的为 j 1 7.07 3 VU 1 0 0 1 1 0 oIA 相量图为 例 6-3 已知正弦电压相量为 ，频率 ， 试写出对应正弦量的时域表示形式 。 1 3 4 VUj 5 0 H Zf 解： 正弦波对应角频率 2 1 0 0 /f r a d s 对应正弦相量的极坐标形式为： 1 3 4 5 5 3 . 1 VUj 1 ( ) 5 2 c o s ( 1 0 0 5 3 . 1 ) Vu t t 对应时域表示形式为： 6-3 正弦稳态电路的相量模型 6-3-1 基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电流定律在时域内可表示为 k k ti 0)( 若 为正弦波，则有 ki ( ) 2 c o s ( ) R e 2 0k jtk k i k k k k i t I t I e k kI 0 KCL的相量式 同理，可得 KVL的相量形式为 0k k U 例 6-4 如图所示，电路节点上 12( ) 2 2 c o s 3 1 4 A , ( ) 2 2 c o s ( 3 1 4 1 2 0 ) Ai t t i t t 试求 ，并作出各电流相量的相量图。 )( 3 ti )(3 ti )(2 ti)( 1 ti 解： 由 的时域形式，得： )( )( 21 titi 、 1 20I 2 2 1 2 0I 由 KCL的相量形式 ， 得： 3 1 2 2 0 2 1 2 0 2 1 3 2 1 2 0 AI I I j 3 ( ) 2 2 c o s ( 3 1 4 1 2 0 ) Ai t t 相量图如图所示 j 1 1 I 2 I 3 I 1 I 2 I 由相量表示，得其瞬态表示： 6-3-2 R、 L、 C元件伏安关系的相量形式 一电阻元件 因为 )()( tRitu 所以 R e ( 2 ) R e ( 2 ) R e ( 2 )j t j t j t R R RU e R I e R I e RRU R I ,R R u R R iU U I I 由 RR ui U I R 欧姆定律的相量形式 RU RI j 1 电阻元件的相量模型为： RU RI R + 二电容元件 电容元件的时域伏安关系： () () CC d u ti t C dt R e ( 2 ) R e ( 2 ) R e 2 j t j t j tC C CdI e C U e jC U edt CCI j C U 1 CCUIjC 电容元件伏安关系的相量形式 电容元件的相量模型为： CU CI Cj 1 + 2 CC iu I CU CU CI j 1 2 1 CX C 电容的容抗 1 C C BCX 电容的容纳 C C CU jX I 2C C u C C iU U I I j C C 由 可 得 三电感元件 电感元件的时域伏安关系： L L diuL dt 由上式可得 2 LL ui U LI LU LI j 1 2 电感元件伏安关系的相量形式和相量模型 LLU j L I LI LU + Lj 电感的感抗和感纳 LXL 11L L B XL 例 6-6 电路如图示，已知 ( ) 1 2 0 2 c o s ( 1 0 0 0 9 0 ) Vu t t R=15 ， C=83.3F,L=30mH, 求电流 I. u(t) C L iR iC iL i 解： 利用 KCL相量关系，有： R C LI I I I 1 2 0 1 2 0 V2Uj 6 3 120 8 A 15 10 00 ( 83 .3 10 ) ( 12 0) 10 A 120 4A 10 00 ( 30 10 ) R C L Uj Ij R I j C U j j Uj I j L j 8()2 2 1 2 7 66 8 ( 6 ) 8 1 0j a r c t g jR C LI I I I j e e ( ) 1 0 2 c o s ( 1 0 0 0 1 2 7 )i t t 对应的相量图为 I LCII RI 127o LI CI U 例 6-7 如图所示电路 ， 电流表示数分别为 A1读数 10A、 A2 读数 10A， 试求 A的读数 。 A1 A R A2 C i1 i2 i 解法 1： 假定 R与 C两端的电压为 0UU 则对 R支路，有 0 1 0 jUUIe RR 01 1 0 AjIe 由 A1读数为 10A， 故 对 C支路，有 2 2 90 jI j C U C U C U e 由 A2读数为 10A， 故 22 10 j eI 由 KCL的相量形式 ， 有 0 4 52 12 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 A jjjI I I e e j e 故 A的读数为 10 2 A 解法 2： 用相量图求解 因 R与 C并联，两者端电压相等，故以电压作为参考相量 A1 A R A2 C i1 i2 i 1I 2I I U 10A 10A 6-3-3 阻抗与导纳 阻抗与导纳的定义 UZ I ZY 1 N U I 由以上定义可得 ， 电阻 、 电感 、 电容的阻抗分别为 11 R LL CC ZR Z j L j X Z j j X j C C 对一般无源网络有 ZZjXRZ 阻抗的电 阻分量 阻抗的电 抗分量 阻抗的模 阻抗角 当 X 0时 , Z 0, 网络呈感性 当 X 0时 , Z 0, 网络呈容性 当 X = 0时 , Z = 0, 网络呈电阻性 即无源网络可等效为一个电阻和电抗串联 同理 ,一个无源网络的导纳可表示为 YYjBGY 电导分量 电纳分量 即无源网络可等效为一个电导和电纳并联 综上所述 ， 正弦稳态的无源二端网络 ， 可等效为电阻和电抗 的串联电路 ， 也可等效为电导和电纳的并联电路 。 对于同一 个二端网络 ， 两者之间有如下关系： 2 2 2 2 1 RXY j G jB Z R X R X 2222 2 2 2 2 GR RG GBRX XB BX R X G B 或 例 6-8 如图所示二端网络，试求该二端网络的输入阻抗并 分析电路性质。 R RU L U Z U L I C CU解： 由二端网络输入阻抗的定义有： 1( ) ( ) R L C L C L C UZ Z Z Z R j X j X R j X X R j L IC 22 1 1() L CR L a rc tg CR 由于电抗 X是角频率的函数 ,因此，在不同频率下，电路会 呈现出不同性质： 1L C 当 时 ,电路可等效为一个阻值为 R的纯电阻 当 时 ,电路可等效为一个 R和 L组成的串联电路 1 L C 当 时 ,电路可等效为一个 R和 C组成的串联电路 1 L C 6-3-4 正弦稳态电路的相量模型 将电路中各元件分别用其阻抗 （ 或导纳 ） 表示 ,将电路各支 路电压 ， 电流都用对应相量形式表示 ， 参考方向仍与原电路相 同 。 uS(t) uL uR uC L R C i(t) (a)电路时域模型 LU RU CU I SU jL 1 jC R (b)相量模型 6-4 正弦稳态电路的相量分析法 电阻电路的 KCL， KVL和伏安关系为： 0 0kk kk ui u Ri 正弦稳态电路的 KCL、 KVL和伏安关系的相量形式为： 0k k U k k I 0 IZU 因为两者在形式上完全相同，电阻电路的各个定律、定 理和和分析方法可完全推广到正弦稳态电路的相量模型中。 应用相量法分析正弦稳态电路的步骤为： （ 1） 将时域模型转换为相量模型； （ 2） 利用与分析电阻电路相同的方法 ， 列出对应复代 数方程； （ 3） 求解对应响应的相量； （ 4） 将响应的相量变换为正弦量 。 例 6-12 电路如图所示。已知 试 用网孔分析法求 ( ) 1 0 2 c o s 1 0 0 0 Vsu t t 12( ) ( )i t i t、 us(t) i1 3 500 F 4mH 2i1 i2 3 + SU 2I 1I 12I 4j 2j 1nI 2nI 解： （ 1） 画相量模型 V 1 0 0SU 33 36 1 0 4 1 0 4 11 2 1 0 5 0 0 1 0 L C Z j L j j Z j j jC ( ) 1 0 2 c o s 1 0 0 0 Vsu t t （ 2） 设网孔电流为 ， 列网孔方程 21, nn II 3 + SU 2I 1I 12I 4j 2j 1nI 2nI 12 1 2 1 11 ( 3 4) 4 10 0 4 ( 4 2) 2 nn nn n j I j I jI j j I I II （ 3）求解方程 A7.2924.11 nI A3.5677.22 nI A7.2924.11 I A3.5677.22 I （ 4）求瞬时值 12( ), ( )i t i t 1 ( ) 1 . 2 4 2 c o s ( 1 0 0 0 2 9 . 7 ) Ai t t 2 ( ) 2 . 7 7 2 c o s ( 1 0 0 0 5 6 . 3 3 ) Ai t t 解： （ 1）对应相量模型如下图所示。 例 6-13 电路如图示。已知 1 ( ) 2 c o s 1 0 0 0 ASi t t 2 2( ) c o s( 1 0 0 0 ) A 22Si t t ，试求 )()( 21 tutu 和 is2(t) 200 F is1(t) 100 F u2(t) u1(t) 5 10 10mH 5mH 5j 1 10SI 5 1010j 10j 5j 2 0.5 90SI 1U 2U （ 2）对如图所示相量模型进行等效变换 1 5 ( 1 0 )5 /( 1 0 ) 4 2 5 1 0 jZ j j j 2 ( 5 ) ( 1 0 )( 5 ) / / ( 1 0 ) 1 0 1 0 5 jZ j j j jj 3 1 0 55 / 1 0 2 4 1 0 5 jZ j j jj 5j 1 10SI 5 1010j 10j 5j 2 0.5 90SI 1U 2U 2SI 1SI 1U 2U 2Z 1Z 3Z （ 3）将电流源替换为电压流 1 1 1 2 5 2 6 . 5 7 VSSU I Z 2 2 3 5 2 6 . 5 7 VSSU I Z 12 1 2 3 35 2 6 . 5 6 A 10 SSUUI Z Z Z 回路电流 2SI 1SI 1U 2U 2Z 1Z 3Z 2U1U 1SU 2SU 1Z 2Z 3Z I 1 1 1 2 . 2 4 6 3 . 4 VSU Z I U 2 2 2 4 . 4 7 1 1 6 . 5 7 VSU I Z U 2U1U 1SU 2SU 1Z 2Z 3Z I 1 ( ) 2 . 2 4 2 c o s ( 1 0 0 0 6 3 . 4 3 ) Vu t t 2 ( ) 4 . 4 7 2 c o s ( 1 0 0 0 1 1 6 . 5 7 ) Vu t t 对应的瞬时值 为 例 6-14 正弦稳态电路如图所示。已知 ( ) 2 c o s (0 . 5 1 2 0 ) V Su t t 试求其戴维南等效电路 。 解：（ 1）对应相量模型如图 （ b）所示，其中 2 1 2 0 VSU uS(t) i1 2 1F 2F i1 i u (a) 2 SU 1j 1I 2j 1I I U (b) （ 2）求开路电压 OCU 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 ( 2 ) 2 4 5 22 I j j j j 2 1 2 0 2 1 2 0 A 1 2 .2 4 6 3 .4 3jj 11 ()O C SU I I j U 2 SU 1j 1I 2j 1I I U (b) 2 1 2 0 ( 1 ) 2 1 2 0 2 .2 4 6 3 .4 3 2 2 5 5 2 1 2 0 2 .2 4 6 3 .4 3 0 .6 3 3 2 9 3 .5 3 V j （ 3）求等效电阻 Z0 2 1j 1I 2j 1I I U 2I 3I a b 1abU I U 1 1 abU IUI jj 1 1 1 3 5 A 1 2 UIU j 1 11( 1 3 5 1 ) 4 5 A 22abU I U U U 2 1j 1I 2j 1I I U 2I 3I a b 2 11 4 5 A 2 22abI U U A45 22 1 23 UjUI ab 1 2 3 1 1 1 ( 13 5 45 45 ) 2 2 2 2 2 = ( 1+ j0.5) 1.1 18 26 .56 I I I I U UU 由上式可得等效阻抗 0 1 1.118 26.56 0.8944 26.56 U Z I OCU Z0 用相量法分析正弦稳态电路时，线性电阻电路的各 种分析方法和电路定理均可推广使用，差别仅在于所用 电路模型为相量模型，电路方程均为相量形式。 6-5 正弦稳态电路的功率 本节首先讨论正弦稳态电路中二端网络的功率，并引入 有功功率，无功功率等概念，然后讨论正弦稳态电路中的最 大功率传输问题。 6-5-1 二端网络的功率 N )(tu )(ti 设无源二端网络 N,其端口电压 u和电流 i为关联参考方向，且 ( ) 2 c o s ( )uu t U t ( ) 2 c o s ( )ii t I t 则网络 N吸收的瞬时功率 ( ) ( ) ( ) 2 c o s ( ) 2 c o s ( )uip t u t i t U t I t c o s ( ) c o s ( 2 )u i u iU I U I t 令 ，则有 ui ( ) c o s c o s ( 2 2 )ip t U I U I t 由上式可知：网络 N吸收的瞬时功率由恒定分量和正弦分 量两部分组成，其中正弦分量的频率是电压或电流频率的两 倍。 的波形如图所示 )(tp 由于电压和电流不一定同相，造成 时正时负。但由于网 络 N存在电阻元件，网络 N总体上是耗能的，所以大于零的 部分大于小于零的部分。 )(tp 一、平均功率 P (有功功率 ) T dttpTP 0 )(1 0 1 c os c os( 2 ) T uiU I t dtT c o sUIP 二、功率因数 c o s 因为 , 所以 P恒大于等于 0，所以有功功率 P代表二端 网络 N实际消耗的功率，它就是瞬时功率的恒定分量。它不 仅与电压和电流的有效值乘积有关，且与它们的相位差有关。 2 当 0 时 (电流滞后电压 )，在 后注明“滞后”。 三、视在功率 S 把二端网络端口处电压和电流有效值的乘积称为视在功率。 S U I 为了与平均功率相区别，视在功率的单位用伏安 （ VA） 引入了视在功率的概念，功率因数又可表示为 c os PS 是阻抗角 ,也称为功率因数角 视在功率不等于负载实际获得的功率，但它可以表示电气设备 的容量。任何电器设备出厂时，都规定了额定电压和额定电流。 因而视在功率也有一个额定值。 对于电阻性电器设备 ，例如灯泡、电烙铁等，功率因数等于 1， 视在功率和平均功率在数值上相等，因此额定功率以平均功率 的形式给出 对于发电机、变压器这类电器设备 ，它们的输出功率与负载性 质有关，只能给出额定的视在功率。 在视在功率一定的条件下，只有提高功率因数，才能充分发挥 电气设备的潜力。 四、功率因数的提高 如果 负载呈感性 ，此时可在负载两端 并联 一个容量合 适的 电容 如果 负载呈容性 ，此时可在负载两端 并联 一个合适的 电感 五、无功功率 Q s inUIQ 无功功率的 单位用乏 （ Var，无功伏安） P， Q和 S构成一个如图所示的直角三角形，称为功率 三角形。 P Q S c o sUIP s inUIQ S U I 22 QP 六、不同性质二端网络的功率 1. 纯电阻二端网络 若二端网络等效为纯电阻 R时 , 0 iu 瞬时功率 平均功率 有功功率 c o s ( 2 2 ) 1 c o s 2 ( ) iip U I U I t U I t 2c o sRP U I U I I R s i n 0RQ U I 0p 说明电阻一直在从外电路吸收能量而没有能量的交换。 2. 纯电感二端网络 瞬时功率 平均功率 有功功率 若二端网络等效为纯电感 L时 , 2 iu c os( 2 2 )2ip UI t c o s 0LP U I 22s in L UQ U I U I LI L p正负交替变化，说明有能量的来回交换 3. 纯电容二端网络 若二端网络等效为纯电容 C时 , 2 iu 瞬时功率 平均功率 有功功率 c os( 2 2 )2ip UI t c o s 0CP U I 221sin CQ U I U I I CUC p正负交替变化，说明有能量的来回交换 4. 一般二端网络 一般的无源二端网络，可等效为一个电阻 R和一个电抗 X的串联 等效阻抗中电阻 R吸收的瞬时功率为 ( ) ( ) ( )RRp t u t i t c o s 1 c o s ( 2 2 ) iU I t 电阻 R吸收的平均功率 0 1 ( ) c o sT RRP p t d t U IT 二端网络吸收的平均功率等于其等效阻抗中电阻分量吸收 的平均功率 。 等效阻抗中电抗 X吸收的瞬时功率为 ( ) s i n c o s ( 2 2 )Xip t U I t 电抗 X吸收的平均功率 0 1 ( ) 0T XP x p t d tT 电抗不消耗能量，只与外电路进行能量交换 能量，交换的 幅值就是二端网络的无功功率的值。可见 无功功率反映了二端 网络中电抗分量与外电源能量交换的程度。 例 6-16 正弦稳态电路如图示，已知 ( ) 1 0 2 c o s 2u t t 试求 u（ t） 提供的平均功率 。 u(t) i1 i2 3 4 2H 1 8F 3 4 10 0U 1I 2I 4j 4j 解法一： 3 4 10 0U 1I 2I 4j 4j 解： 电路相量模型如图所示。 等效阻抗 Z 为 Z 3 4 / / ( 4 4 ) Z j j 4 ( 4 4 )3 7 4 8 . 0 6 2 9 . 7 4 jj j 1 1 0 0 1 . 2 4 2 9 . 7 A 8 . 0 6 2 9 . 7 UI Z W8.10c o s 2 9 . 724.110c o s1 UIP u（ t） 提供的平均功率为 3 4 10 0U 1I 2I 4j 4j1I 2I 解法二： 解： 用网孔分析法求解 21,II 12 12 ( 3 4 ) 4 4 ( 4 4 4 ) 0 j I j I U j I j j I 1 2 1 . 2 4 2 9 . 7 A 1 . 2 4 6 0 . 3 A I I 解得 因为电源提供的平均功率等于网络内部电阻消耗的平均 功率的总和 ,所以有 43 PPP 222121 RIRI 221 . 2 4 3 1 . 2 4 4 1 0 . 8 W 6-5-2 最大功率传输条件 U ocU I Z0 ZL 1 1 N 含源二端网络 N可用戴 维南等效 ,如图所示 ,设 0 0 0 L L LZ R j X Z R j X 则负载电流 0 0 0 O C O C L L L UUI Z Z R jX R jX 22 00( ) ( ) OC LL UI R R X X 故负载吸收的平均功率为 2 2 22 00( ) ( ) O C L L LL URP I R R R X X 上式中， 为变量，而其它参数均为常量。由于变量 只出现在分母中，因此对任意 ，当 LL RX、 LX LR 0LXX 时分母最小，功率最大，此时 2 2 0() O C L L URP RR 上式中， 为变量，令 LR 2 200 4 0 ( ) 2 ( ) 0 () L L L OC LL R R R R RdP U d R R R 0LRR得 综上所述 ,负载获得最大功率的条件为 :ZL与 ZO共 轭匹配 ,即 0 0 0LZ Z R j X 负载可从信号源获得最大功率为 2 m a x 04 OCUP R 如果负载是纯电阻。如何选择负载电阻使之获得最大功率呢 ? 这种情况下电路中的电流为 00 () O C O C L L L UUI Z R R R jX 22 0() OC LL UI R R X 负载电阻获得的功率为 2 2 22 0() O C L L LL URP I R R R X 220 0 0LR R X Z 0)( )(2)( 2 222 22 OC OLo LLoOLo L U XRR RRRXRR dR dP 上式表明，当负载电阻的值为等效阻抗的模时，负载可 获得最大功率，称为负载的模匹配。 模匹配比共轭匹配所获得的功率要小。 例 6 17 图（ a）所示电路， 11 0 0 0 V , 3 0 , 1 0CU R X R （ 1）试确定 ZL等于何值时能获得最大功率，最大功率为多大？ （ 2）当负载为纯电阻 RL ，问 RL为何值时能获得最大功率，最 大功率又为多少？ 解： （ 1） 求戴维南等效电路 （ a）求开路电压 abU 12 1 1 0 0 0 2 3 6 . 9 A 4 0 3 0C UII R R jX j (a) R R1 cjX U R R1 CjX ZL a b 1I 2I 1 1 2()as b cU I R jX I R 2 3 6 . 9 ( 2 0 3 0 ) 7 2 . 1 1 9 . 4 Vj (c) (b) R R1 cjX R R1 cjX a b （ b）求等效阻抗 ZO (a) R R1 cjX U R R1 CjX ZL a b 1I 2I 1 0 1 () 1 0 ( 3 0 3 0 )22 ( ) 4 0 3 0 c c R R jX jZ R R jX j 1 7 8 . 1 1 6 . 8 2 . 4 j OCU a b IZ0 ZL (c) 根据最大功率匹配条件，当 0 1 6 . 8 2 . 4 LZ Z j 时能够获得最大功率。其最大功率为 2 2 m a x 0 7 2 . 1 7 7 . 4 W 4 4 1 6 . 8 ab L UP R （ 2）当负载为纯电阻时 2200LR R X 97.164.28.16 22 时负载获得的功率最大 电路中的电流 A3.1513.297.164.28.16 4.191.72 jRZ UI LO OC RL吸收的功率为 22 2 . 1 3 1 6 . 9 7 7 6 . 9 9 WLLP I R 6-6 三相电路 三相电路是特殊形式的正弦稳态电路，是由 三相电源 和 三 相负载 组成的电路整体。由于在发电、输电、供电方面比较经 济，因而在电力系统中得到了广泛的应用 6-6-1 三相电源 三相电源 是指能同时产生三个频率相同但相位不同的正 弦电压的电源的总体。 对称三相电源 是由三个频率、幅值相同，相位互差的正弦电 压源按一定方式联接而成。 三相电源中的每一个电压源称为一相。电压源的正极性端 A、 B、 C称为首端，负极性端 X、 Y、 Z称为尾端 X uA + A _ uC + C _ Z uB + B _ Y 如果选择 A相电压作为参考相量，则三相电压的瞬时值可表示为 tUtu mA c o s)( )1 2 0c o s ()( tUtu mB )1 2 0c o s ()( tUtu mC 相应的相量形式为 120 120 0 mC mB mA UU UU UU uA uB uC 2 0 t AU BU CU (a)相量图 (b) 波形图 从相量图及波形图中可以看出，在任何瞬间对称三相电源 电压的代数和等于零，即 uA ( t )+ uB ( t )+ uC( t )=0 0 CBA UUU 一、三相电源的星形联接 三相电源有两种联接方式，即星形联接和三角形联接 uC uB + + _ + uCA uAB uBC uCN uAN uBN B N C A A N B C uA 相线（俗称火线 ） 中性线或零线（俗称地线） 相电压 线电压 线电压与相电压对应的相量关系为 BAAB UUU CBBC UUU ACCA UUU 线电压与相电压的数值关系为 线电压与相电压对应的相量图为 ABU AU BU CU BCU CAU AAAB UUU 330c o s2 BBC UU 3 CCA UU 3 30线电压与相电压的相位关系为：线电压 超前 相电压 在三相四线制的供电系统中，可以给负载提供两种不同的 电压，即相电压 =220V，线电压 =380V 。 二、三相电源的三角形联接 C A B C Y Z u BC uCA A B X uA uC uB uAB 三角形联接时的线电压等于相电压 PL UU 6-6-2 三相负载 三相电源的负载分为单相负载和三相负载两种 N C B A A 相 B 相 C 相 单相负载联接 C B A 三相负载联接 一、负载的星形联接 Z C Z B Z A N C B N A AI BI CI NI 二、负载的三角形联接 B C A AI BI CI ABI ABZ BCZ BCI CAZ CAI ABU CAU BCU 相电压 线电压 相电流 = 线电流 303 PL UU 相电压 = 线电压 相电流 线电流 303 PL II 6-6-3 对称三相电路的分析 由对称三相电源和对称三相负载组成的电路称为对称三 相电路 一 、 对称三相电路的联接 三相电路有 Y -Y 、 Y- 、 -Y和 - 四种连接方式 ZC ZB Y -Y Y- ZC ZB ZA -Y - 二 、 对称三相电路的分析 对称三相电路虽然有四种结构，但由于电源的 联 接可以等效为 Y联接方式，所以四种结构可以简化为两 种，即 YY和 Y- 联接。 电源的 联接与 Y联接的等效关系： B C A ZC ZB ZA ABU BCU CAU ZC ZB ZA AU A BUCU B C 电源的 联接与 Y联接的等效关系 如果两电源等效，则端口电压必须相等，即有 BAAB UU 根据 Y联接电源线电压与相电压的关系，有 30 3 1 BAA UU 30 3 1 ABA UU 例 6-18 如图（ a）所示对称三相电路，已知 )34( jZ VU AB 03 8 0 ，求负载电流 。、 CBA III Z AI BI CI ABU BCU CAU 解： 可将电源的 联接转换为 Y联接 ，则根据等效关系有 302 2 030 3 1 ABA UU Z Z Z AU BUCU AI BI CI AjZUI AA 87.664434 30220 由于电路具有对称性，于是可以求得 AII AB 87.1 8 6441 2 0 AII AC 13.53441 2 0 例 6-19 如图所示对称三相电路，已知 )22( jZ VU A 02 2 0 求负载相电流与线电流。 C B A AI AU BU CU Z ABI 解： 该电路为 Y- 联接对 称三相电路，由图知 VUU AAB 30380302203303 于是可得相电流 AjZUI ABAB 154.13422 30380 AII ABBC 1354.134120 AII ABCA 1 0 54.1 3 41 2 0 根据 线电流 与 相电流 的关系可求得 线电流 为 AII ABA 458.232303 AII AB 1 6 58.2 3 21 2 0 AII AC 758.2 321 20 6-6-4 对称三相电路的功率 在三相电路中，无论负载是星形联接还是三角形联接，总 的有功功率、无功功率均等于各相的相应功率之和。 一、有功功率 CCCBBBAAACBA IUIUIUPPPP c o sc o sc o s 如果电路是对称的，则有 ZLLZPP IUIUP c o s3c o s3 二、无功功率 CCCBBBAAACBA IUIUIUQQQQ s i ns i ns i n 电路是对称时 ZLLZPP IUIUQ s i n3s i n3 例 6-20 如图所示对称电路中，已知 VU A 02 2 0 ，负载阻抗 78 jZ ，线路阻抗 211 jZ ，试求各相负载的线电压 线电流、相电压、相电流及负载吸收的总功率。 Z1 Z AU BUCU AI 解 ： A相的线电流为 AjjjZZ UI AA 453.1799 02207821 0220 1 根据三相电路的对称性有 AI B 1 6 53.17 AI C 753.17 由于负载为星形联接，因此线 电流等于相电流 A相负载相电压为： 453.17)78( jIZU AA V44.183453.17416.10 根据负载对称性可得： VU B 1244.183 VU C 1 1 64.1 8 3 由星形联接线电压与相电压的关系，可得各项线电压为： VUU AAB 26318303 VUU BBC 943 1 8303 VUU CCA 1 4 63 1 8303 由于各相负载阻抗 416.1078 jZ 三相负载吸收的总功率 WIUP ZPP 6.7 1 8 341c o s3.174.1833c o s3