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3 2结点分析法 与用独立电流变量来建立电路方程相类似,也可用独 立电压变量来建立电路方程。在全部支路电压中,只有一 部分电压是独立电压变量,另一部分电压则可由这些独立 电压根据 KVL方程来确定。若用独立电压变量来建立电路 方程,也可使电路方程数目减少。对于具有 n个结点的连 通电路来说,它的 (n-1)个结点对第 n个结点的电压,就是 一组独立电压变量。用这些结点电压作变量建立的电路方 程,称为结点方程。这样,只需求解 (n-1)个结点方程,就 可得到全部结点电压,然后根据 KVL方程可求出各支路电 压,根据 VCR方程可求得各支路电流。 一 、 结点电压 用电压表测量电子电路各元件端钮间电压时 , 常将 底板或机壳作为测量基准 , 把电压表的公共端或 “ -”端 接到底板或机壳上 , 用电压表的另一端依次测量各元件 端钮上的电压 。 测出各端钮相对基准的电压后 , 任两端 钮间的电压 , 可用相应两个端钮相对基准电压之差的方 法计算出来 。 与此相似 , 在具有 n个结点的连通电路 (模 型 )中 , 可以选其中一个结点作为基准 , 其余 (n-1)个结点 相对基准结点的电压 , 称为结点电压 。 例如在图 3 6电路中 , 共有 4个结点 , 选结点 0作基 准 , 用接地符号表示 , 其余三个结点电压分别为 u10, u20 和 u30 , 如图所示 。 这些结点电压不能构成一个闭合路径 , 不能组成 KVL方程 , 不受 KVL约束 , 是一组独立的电 压变量 。 任一支路电压是其两端结点电位之差或结点电 压之差 , 由此可求得全部支路电压 。 图 3 6 例如图示电路各支路电压可表示为 : 32302063303 21201052202 31301041101 vvuuuvuu vvuuuvuu vvuuuvuu 图 3 6 二 、 结点方程 下面以图示电路为例说明如何建立结点方程 。 2S643 652 1S541 0 iiii iii iiii 对电路的三个独立结点列出 KCL方程: 图 3 6 列出用结点电压表示的电阻 VCR方程: )( )( )( 326621553144 333222111 vvGivvGivvGi vGivGivGi 代入 KCL方程中,经过整理后得到: )()( 0)()( )()( 2S32621433 32621522 S121531411 ivvGvvGvG vvGvvGvG ivvGvvGvG 结点方程 )( 0)( )( 2S36432614 36265215 S134251541 ivGGGvGvG vGvGGGvG ivGvGvGGG 2S643 652 1S541 0 iiii iii iiii 写成一般形式 )93( 33S333232131 22S323222121 11S313212111 ivGvGvG ivGvGvG ivGvGvG 其中 G11、 G22、 G33称为结点自电导,它们分别是各结 点全部电导的总和。 此例中 G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6。 Gij(ij)称为结点 i和 j的互电导 ,是结点 i和 j间电导总和的 负值,此例中 G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、 iS22、 iS33是流入该结点全部电流源电流的代数和。 此例中 iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。 从上可见,由独立电流源和线性电阻构成电路的结点 方程,其系数很有规律,可以用观察电路图的方法直接写 出结点方程。 )93( 33S333232131 22S323222121 11S313212111 ivGvGvG ivGvGvG ivGvGvG 从上可见 , 由独立电流源和线性电阻构成电路的结点 方程 , 其系数很有规律 , 可以用观察电路图的方法直接写 出结点方程 。 由独立电流源和线性电阻构成的具有 n个结点的连通 电路 , 其结点方程的一般形式为: )1(1(S1)1)(1(22)1(1)1( 22S1)1(2222121 11S1)1(1212111 nnnnnnn nn nn ivGvGvG ivGvGvG ivGvGvG 三 、 结点分析法计算举例 结点分析法的计算步骤如下: 1 指定连通电路中任一结点为参考结点 , 用接地符号 表示 。 标出各结点电压 , 其参考方向总是独立结点为 “ + ”, 参考结点为 “ ” 。 2 用观察法列出 (n-1)个结点方程 。 3 求解结点方程 , 得到各结点电压 。 4选定支路电流和支路电压的参考方向,计算各支路 电流和支路电压。 例 3 5 用结点分析法求图 3-7电路中各电阻支路电流。 解:用接地符号标出参考结点,标出两个结点电压 u1和 u2 的参考方向,如图所示。用观察法列出结点方程: A10)S2S1()S1( A5)S1()S1S1( 21 21 uu uu 图 3 7 整理得到: V103 V52 21 21 uu uu 解得各结点电压为: V3V 1 21 uu 选定各电阻支路电流参考方向如图所示 , 可求得 A4)(S1( A6)S2( A1)S1( 2132211 uuiuiui 图 3 7 例 3 6 用结点分析法求图 3-8电路各支路电压。 图 3 8 解 : 参考结点和结点电压如图所示。用观察法列出三个结 点方程: A6A25)S3S6S1()S6()S1( A12A18)S6()S6S3S2()S2( A18A6)S1()S2()S1S2S2( 321 321 321 uuu uuu uuu 整理得到 : V19106 V66112 V1225 321 321 321 uuu uuu uuu 解得结点电压 V3 V2 V1 3 2 1 u u u 求得另外三个支路电压为: V1V 3V 4 236215134 uuuuuuuuu A6A25)S3S6S1()S6()S1( A12A18)S6()S6S3S2()S2( A18A6)S1()S2()S1S2S2( 321 321 321 uuu uuu uuu 图 3 8 四 、 含独立电压源电路的结点方程 当电路中存在独立电压源时 , 不能用式 (3 9)建立含 有电压源结点的方程 , 其原因是没有考虑电压源的电流 。 若有电阻与电压源串联单口 , 可以先等效变换为电流源与 电阻并联单口 后 , 再用式 (3 9)建立结点方程 。 若没有电 阻与电压源串联 , 则应增加电压源的电流变量来建立结点 方程 。 此时 , 由于增加了电流变量 , 需补充电压源电压与 结点电压关系的方程 。 例 3 7 用结点分析法求图 3-9(a)电路的电压 u和支路电 流 i1, i2。 图 3 9 解:先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联, 如图 (b)所示。对结点电压 u来说 ,图 (b)与图 (a)等效。 只需列出一个结点方程。 A5A5)S5.0S1S1( u A5A5)S5.0S1S1( u 解得 V4S5.2 A10 u 按照图 (a)电路可求得电流 i1和 i2 A32 V10V4 A11 V4V5 21 ii 图 3 9 例 3 8 用结点分析法求图 3-10所示电路的结点电压。 解:选定 6V电压源电流 i的参考方向。计入电流变量 i 列出 两个结点方程: A2)S5.0( A5)S1( 2 1 iu iu 图 3 10 解得 补充方程 V621 uu 1AV,2,V4 21 iuu 这种增加电压源电流变量建立的一组电路方程,称为 改进的结点方程 (modified node equation),它扩大了结点 方程适用的范围,为很多计算机电路分析程序采用。 图 3 10 A2)S5.0( A5)S1( 2 1 iu iu 例 3 9 用结点分析法求图 3-11电路的结点电压。 解:由于 14V电压源连接到结点和参考结点之间,结点 的 结点电压 u1=14V成为已知量,可以不列出结点的结点方 程。考虑到 8V电压源电流 i 列出的两个结点方程为: 图 3 11 0)S5.0S1()S5.0( A3)S5.0S1()S1( 31 21 iuu iuu 补充方程 V832 uu 代入 u1=14V,整理得到: V8 V245.15.1 32 32 uu uu 解得: 1AV 4V 12 32 iuu 0)S5.0S1()S5.0( A3)S5.0S1()S1( 31 21 iuu iuu 图 3 11 郁 金 香
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