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第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 11 电磁场的基本方程 12 静电场 13 恒流电场 14 恒流磁场 15 平面电磁波 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 11 电磁场的基本方程 一 、 电磁场中的基本场矢量 电磁场中的基本场矢量有四个 :电场强度 E,电位移 矢量 D,磁感应强度 B和磁场强度 H。 (一 ) 电场强度 E 场中某点的电场强度 E定义为单位正电荷在该点所 受的力 ,即 FE q (111) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 在上式中 q为检验电荷的电量 ,它必须足够小 ,不致 会影响原来的电场 。 F为 q所受到的电场力 。 在国际单 位制 (SI)中 ,力 F的单位为牛顿 (N),电量 q的单位为库仑 (C),电场强度 E的单位为伏 /米 (V/m)。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 (二 ) 电位移矢量 D 如果电解质中存在电场 ,则电介质中分子将被极化 , 极化的程度用极化强度 P来表示 。 此时电介质中的电场 必须用电位移矢量 D来描写 。 它定义为 式中 0为真空或空气的介电常数 ,0=885 10-12 法 拉 /米 (F/m)。 在 SI单位制中 ,D的单位为库仑 /米 2(C/m2)。 (112) 0D E P 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 对于线性媒质中某点的电极化强度 P正比于该点的 电场强度 E。 在各向同性媒质中某点的 P和 E方向相同 , 即 式中 e为电极化率 ,它是没有量纲的纯数 ,不同的介 质就有不同的 e。 将式 (1 1 3)代入式 (1 1 2)得 0eP x E (113) 0 0 0 0( 1 )e e rD E x E x E E E (114) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中 =0(1+e)称为介质的介电常数 ,而 r=1+e称为 介质的相对介电常数 。 对于各向异性介质 ,P的方向和 E 方向不一定相同 ,D的方向和 E的方向也不一定相同 ,即 e 和 为张量 。 (三 ) 磁感应强度 B 磁感应强度 B是描写磁场性质的基本物理量 。 它表 示运动电荷在磁场中某点受洛仑兹力的大小 。 假如 ,一 个速度为 v的电荷 q在磁场中运动经过该点崐时 ,运动电 荷 q受到磁场力 F的作用 ,则该点的磁感应强度 B定义为 F qv B (115) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 (四 ) 磁场强度 H 如果磁介质中有磁场 ,则磁介质被磁化 。 描写磁介 质磁化的程度用磁化强度 M来表示 。 此时磁介质中的 磁场必须引入磁场强度 H来描写 ,它定义为 0 BHM (116) 式中 0为真空或空气的磁导率 0=4 10-7 亨利 /米 (H/m)。 M和 H的单位为安培 / (A/m)。 在各向同性媒质中 M和 H方向相同。即有 mMH (117) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 将式 (1 1 7)代入式 (1 1 6),得 B=0(H+M)=0(1+m)H=0rH=H (1 1 8) 式中 m称为媒质的磁极化率 ,它是一个没有量纲的 纯数 。 =0(1+m)称为媒质的磁导率 。 r=1+m称为相 对磁导率 。 对于各向异性媒质 ,B和 H及 M和 H方向不一 定相同 ,即 和 m均为张量 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 二 、 全电流定律 在普通物理中 ,曾经讨论了恒流磁场中的安培环路 定律 ,即为 上式表明 ,磁场强度 H沿任一闭合回路的环流等于 此闭合回路所包围的传导电流的代数和 。 那么这个定 律是否适用于非恒流磁场呢 ? lsH d t I J d S (119) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 我们来分析电容器充放电的情况 ,如图 1 1 1所 示 ,在任何时刻穿过金属导体任一个横截面的电流总是 相等的 ,但在电容器的两块极板间的传导电流等于零 。 因此 ,就整个电路而言 ,传导电流是不连续的 ,此时应用安 培环路定律 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 111 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 如取 S1面 ,则有 i l H dt i H dt i 如取 S2面 ,则有 (1110) (1111) 上式结果表明 ,在非恒流的磁场中 ,H的环流与闭合 回路 l为边界的曲面有关 ,选取不同的曲面 ,环流值就不 同 。 这说明非恒流磁场中安培环路定律不再适用 。 后 来麦克斯韦提出了位移电流的假设 ,修正了安培环路定 律 ,使它适用于非恒流磁场 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 当电容器充 、 放电时 ,电容器极板上的电荷量 q和电 荷密度 S均随时间变化 。 流向极板的电流 i=dq/dt,而其 电流密度为 Jd=dS/dt。 在两极板间的电位移矢量 D和穿 过整个极板间截面的电位移通量 D=SD均随时间变化 。 电位矢量 D的大小等于极板上电荷密度 S,而电位移通 量 D等于极板上的总电量 D=SS。 因此电位移矢量 D 和电位移通量随时间的变化率分别为 S d D S S d dD d J dt dt d d d Si dt dt dt (1112) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 可见 ,极板间的电位移通量随时间的变化率 dD/dt在 数值上等于极板间的电流 id、 而极板间电位移矢量随时 间的变化率 dD/dt,在数值上等于板内的电流密度 Jd。 在 电容器充电时 ,dD/dt的方向和 D的方向相同 ;而放电 时 ,dD/dt的方向和 D的方向相反 。 因极板间不可能存在 传导电流 ,因此 ,我们称 dD/dt为位移电流 ,dD/dt为位移电 流密度 。 即 d D d dD J dt d i DT (1113) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 引入位移电流以后 ,极板间的位移电流和电容器外 的传导电流形成了全电流 i,构成了电流的连续性 。 此时 安培环路定律可以修正为 () () D ec l ed lS c S d H d l i i i dt H d l J J d S dD J d S dt (1114) 式中 Jc和 Jd分别为传导电流密度和位移电流密 度 ,ic和 id分别为传导电流和位移电流 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 三 、 电磁感应定律 由全电流定律可知 ,变化的电场会产生磁场 ,那么变 化的磁场能否产生电场呢 ?通过各种实验证明 :变化的磁 场也会产生电场 。 当穿过线圈所包围面积的磁通量随时间变化时 ,线 圈内会产生感应电动势 ,如图 1 1 2所示 。 它的大小等 于磁通量随时间的变化率 ,它的方向是阻止磁通变化的 方向 。 用数学式子表示为 mde dt (1115) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 112 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 感应电势的存在 ,使得线圈中产生感应电流 ,即说明 线圈中存在电场 ,促使电子作规则运动 ,从而形成感应电 流 。 这个电场不是由电荷产生的 ,而是由磁通的变化产 生的 ,故称它为感应电场 ,感应电场沿着任意的封闭曲线 的积分应等于感应电势 ,用数学式子表示即为 m l de E dL dt (1116) 由此得出一个结论 :随时间变化的磁场会产生电场 , 而且磁通量的时间变化率愈大 ,则感应电动势愈大 、 电 场愈强 ;反之则愈弱 。 同时 ,穿过一个曲面 S的磁通量为 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中 S面是以封闭曲线 l为周界的任意曲面 。 m S lS B d S d E d L B d S dt 将上式代入 (1116) 式 ,就有 (1117) (1118) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 以上结论是由实验得到的 ,即假设 S面的周界 l一定 是个导体线圈 。 而麦克斯韦把这个实验定律推广到包 括真空在内的任意介质中 ,即认为变化磁场引起的感应 电场的现象不仅发生在导体回路中 ,而且在一切介质中 , 只要有变化的磁场就会产生感应电场 。 麦克斯韦对安培环路定律和磁感应定律所作的推 广 ,通过大量的实验证明是正确的 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 四 、 高斯定律 在普通物理中讨论了静电场的高斯定律 ,即 SVD d S q d V (1119) 式中 V是封闭曲面 S所包围的体积 ,q为封闭曲 面 S所包围的自由电荷电量的代数和 ,为 S曲面所包围 的自由电荷的体密度 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 五 、 磁通连续性原理 在普通物理中讨论了恒流磁场的磁通连续性原理 , 即 它表示磁感应线永远是闭合的 。 如果在磁场中取 一个封闭面 ,那么进入闭合面的磁感应线等于穿出闭合 面的磁感应线 ,这个原理可推广到任意磁场 ,即不仅适用 于恒流磁场 ,而且适用于时变磁场 。 0S B d S (1120) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 六 、 麦克斯韦方程组 (一 )麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦方程是电磁场的基本方程 ,是麦克斯韦在 他提出位移电流的假设下 ,全面总结电场产生磁场和磁 场产生电场的现象后提出来的 。 将式 (1 1 14)、 (1 1 18)、 (1 1 19)和式 (1 1 20)组合在一起就称为麦克斯韦方程组的积分形 式 。 即 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 0 () Sv S lS c lS D dS dV B dS B E dL dS t D H dL J dS t (1121) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 上述方程组中 D和 E#,J和 E及 B和 H的关系 ,决定于媒 质特性 。 对于各向同性媒质 ,则有 c DE BH JE (1122) 麦克斯韦方程组描写了 D、 E、 B和 H几个场矢量之 间的基本关系 ,因 此它是研究和分析电磁场和电磁波的依据。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 (二 )麦克斯韦方程组的微分形式 麦克斯韦方程组的积分形式是讨论场中某一个区 域内场矢量之间的关系的方程 。 在讨论实际问题时 ,经 常需要知道场中某一点场矢量之间的关系 ,此时不能应 用麦克斯韦方程组的积分形式来求解 ,而必须采用麦克 斯韦方程组的微分形式 。 将麦克斯韦方程的积分形式转化为微分形式 ,既可 以用矢量分析的方法进行推导 ,也可以利用物理概念进 行分析 。 这里我们采用矢量分析的方法进行讨论 。 应用矢量分析中的散度定理 ,即 SvA d S A d V 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 可将式 (1121) 的第 1和第 2式分别变为 应用矢量分析中的斯托克斯定理 ,即 0 D B ()lSA d t A d S 可将式 (1 1 21)的第三和第四式分别变 为 c B E t D HJ t 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 现归纳如下 : 0 c D B B E t D HJ t (1123) 麦克斯韦方程的微分形式 ,只有两个旋度式是独立 的 ,两个散度式子可以利用电荷守恒定律从两个旋度式 子导出 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 七 、 电磁场的边界条件 在讨论电磁场的实际问题时 ,经常会遇到两种不同 媒质特性的分界面 。 在分界面上电磁场的分布规律称 为边界条件 。 由于界面上的媒质特性是不连续的 ,故不 能采用麦克斯韦方程组的微分形式 ,而只能采用麦克斯 韦方程的积分形式来进行分析 。 (一 ) 边界上的电场强度 E和磁场强度 H 电磁感应定律的积分形式为 lS BE dl dS t (1124) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 为了要求边界上的电场强度 E,把上式左边的积分的 闭合回路取在媒质的分界面的两边 ,并使 l1和 l2与分 界面平行且相等 ,矩形的两短边 h垂直于分界面且无限 缩短并趋向于零 ,如图 1 1 3所示 。 那么 ,式 (1 1 24) 的左边积分为 12()tl E d l E E l 图 113 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 而式 (1 1 24)的右边积分当 h 0(S 0)时 ,由 于 B/t不可能为无限大 ,故右边积分为零 。 即得到 12ttEE (1125) 此式表明 ,不同媒质分界面上的电场强度的切线分 量是连续的 。 全电流定律的积分形式为 ()clS DH dl J dSt (1126) 采用前面相同的方法 ,则上式左边的积分为 12()ttl H d l H H l 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 对于一般媒质 ,因 Jc和 D/t均为有限值 ,故当 S 0时 , 式 (1 1 26)右边积分等于零 。 于是得到磁场强度的边 界条件为 即不同媒质分界面上 ,磁场强度的切线分量是连续 的 。 如果媒质 2为理想导体 (2为无限大 ),在分界面处电 流密度 Jc趋向于无限大 ,且有 则式 (1 1 26)的右边可以表示为 12ttHH (1127) 0lim ctk hJ J ( ) l i mc c tS k DJ dS J h l J l t 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 由此可以得到 式中 Jl为理想导体表面的面电流的线密度 ,它的方向 与磁场强度相垂直 ,单位为 A/m。 如图 1 1 4所示 。 12t t lH H J (1128) 图 114 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 (二 ) 边界上的电通密度 D和磁通密度 B 高斯定律的积分形式为 在分界面的两边作一个小的封闭圆柱体 ,如图 1 1 5所示 。 S1和 S2分别为圆柱体的顶面和底面且 相等 ,即 S1=S2=S,它们分别与分界面平行且无限接 近 ,使圆柱面的侧面很小并趋近于零 ,则穿过圆柱体侧面 的电通量可以略去不计 。 故式 (1 1 29)的左边积分 为 SvD d S d V (1129) 12()nnS D d S D D S 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 115 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 若分界面上不存在自由电荷 ,则式 (1 1 29)右边 积分为零 ,于是得到界面上无自由电荷时的电通密度的 边界条件为 12nnDD (1 1 30) 即表明在无自由电荷的分界面上 ,电通密度的法向 分量是连续的 。 若分界面上存在自由电荷时 ,并设电荷的面密度 S, 则由高斯定律可以得到 12n n SDD (1 1 31) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 磁通连续性定理的积分形式为 12 0 S nn B d S BB 采用上面相同的方法 ,便可得到 (1 1 32) 即分界面上磁感应强度的法向分量永远连续 。 因此 电磁场的边界条件可归纳如下 : 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12 ( 0 ), ( 0 ) ( 0 ), ( 0 ) tt t t t t t t t n n S n n S S nn EE H H J H H J J D D D D BB (1 1 33) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 八 、 交变电磁场的能量及能流 电磁场中能量守恒定律可由麦克斯韦方程导得 ,下 面写出具体推导过程 。 麦克斯韦方程的两个旋度式为 c B E t B HJ t 应用矢量恒等式 ( ) ( ) ( )E H H E E H (1 1 35) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 将式 (1 1 34)代入上式 ,便得到 ( ) ( ) ( )cBDE H H E Jtt (1 1 36) 对于各向同性媒质 ,则有下列关系 : ,D E B H J E (1 1 37) 将式 (1 1 37)代入式 (1 1 36)便得到 2 2 211( ) ( ) 22E H H E Et 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 将上式对电磁场空间中任取一个封闭面 S所包围的 体积 V作体积分 ,则有 2 2 211( ) ( )22V V VE H dV H E dV E dVt 应用散度定理上式变为 2 2 211( ) ( ) 22S V VE H dS H E dV E dVt (1 1 38) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 12 静电场 一 、 静电场的基本方程 从麦克斯韦方程组知道 ,电场和磁场是不可分割的 统一整体 。 但在某些特殊情况下 ,电场和磁场可以单独 地表现出来 。 例如 ,对于观察者来说在静止不动的电荷 周围 ,只能发现电场 ;在静止不动的永久磁铁周围 ,只能 发现磁场 。 因此 ,我们就有可能将电场和磁场分开来加 以研究 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 静电场是电磁现象中的一种特殊情况 ,即电荷相对 观察者来说是静止不动的 ,因此静电场是不随时间变化 的 。 这样麦克斯韦方程组的微分形式可简化为 E H D B (1 2 1) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 上式表明电场和磁场是相互独立的 ,可以分开来加 以讨论 。 于是静电场的基本方程为 0E D DE (122) 因此 ,静电场是无旋场 ,即静电场所在的空间电场强 度的旋度处处为零 ;静电场又是一个有源场 ,即电通密度 矢量来自空间电荷分布 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 二 、 高斯定律 由静电场的基本方程知道 ,静电场是一个有源场 ,即 D 把它写成积分形式 ,即为静电场的高斯定律 SV D d S q d V (1 2 3) 即在静电场中穿过任意闭合曲面的电位移通量等于 闭合曲面内所包围的自由电荷电量的代数和 。 这是静电 场的一个重要性质 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 在一般情况下 ,当给定电荷分布时 ,不能直接应用高 斯定律来求电位移矢量 D。 因为它只给出 D沿闭合面的 通量 ,根据通量一般无法求出任意一点的 D。 但当电荷 是按一定的对称性分布时 ,我们只要选择一个合适的高 斯面 ,使得高斯面上各点的 D值相等 ,且 D的方向永远和 高斯面相垂直 。 在这种情况下 ,应用高斯定律就很方便 地求得静电场中某点的电场强度 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 例题 1 2 1 设电荷均匀分布在半径为 a的介质球 内 ,其体电荷密度为 ,求该电荷产生的电场分布 。 球内 的介电常数为 ,球外为 0。 解 :由于电荷分布是球对称分布 ,因此可应用高斯定 律来求解 。 只要以球心为圆心 ,以距球心距离 r为半径作 一个高斯面 ,在这个高斯面上的电位移矢量处处相等 ,且 方向垂直于高斯面 。 因此在各个区域内 ,离球心为 r处的 电场强度分别为 : (1)在球内 (ra) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 1 2 1 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 (2) 在球外 (r a) 23 11 1 4 4 3 3 D d S r E r r E 得 23 21 3 1 2 0 4 4 3 3 D d S r E a r E r 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 三 、 电位 、 电位梯度 (一 ) 电位 由静电场的基本方程可知 ,静电场是个无旋场 。 根 据矢量分析 ,任何一个无旋矢量场均可用一个标量场来 表示 。 即 因此 ,静电场同样可用一个标量的电位函数来描写 。 它具有明确的物理意义 ,它和电场力对电荷所作的功有 关 。 0 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 根据电场强度 E的定义 ,E表示单位正电荷在场中所 受的电场力 。 当单位正电荷在电场力的作用下 ,由 A点 经过 l到 B点 ,则电场力对单位正电荷所作的功为 lW E d t (1 2 4) 由于静电场是无旋场 ,故有 0l E d t (125) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 此式表明 ,单位正电荷在电场力的作用下移动一个 闭合回路 ,则电场力对单位正电荷所作的功为零 。 例如 , 对于如图 1 2 2所示的闭合路径 ANBMA,则有 0 AN BM A AN B BM A AN B AM B AN B AM B E dl E dl E dl E dl E dl E dl E dl (1 2 6) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 1 2 2 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 由此可见 ,在静电场中当电荷在电场力的作用下发 生位移时 ,电场力对电荷所作的功仅和电荷位移的起点 和终点的坐标有关 ,而和电荷位移的路径无关 。 因此式 (1 2 4)可以表示 B AW E dl (1 2 7) 把单位正电荷从 A点移到 B点 ,电场力所作的功称为 A点到 B点的电位差 。 即 B AB A E d l (1 2 8) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 如果我们选择场中某点 P作为参考零电位点 ,即令其 电位为零 ,则有 PA A E d l (129) 因此 ,场中任意一点的电位是单位正电荷在电场力 的作用下从该点移到参考零电位点电场力所作的功 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 由上面的分析可知 ,电位是标量 ,它的计算要比电场 强度矢量的计算方便得多 ,因此 ,我们常采用电位来描写 电场 。 当电荷分布已知时 ,可以求出场中任一点的电位 。 例如 ,求点电荷产生电场中的电位 。 如果取距点电荷距 离为 rp的一点作为参考点 ,则距点电荷距离为 r一点的电 位为 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 2 2 4 44 4 4 4 4 pp p p rr Ar rr r r r r p p q E d l a d l r q d r q rr q q q C rr q C r (1210) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 如取 rp=,则 C=0。 对于体 、 面及线电荷密度分别为 V、 S及 l的电荷 分布时 ,则空间任一点的电位分别为 1 4 1 4 1 4 V V S S l l dV C r dV C r dV C r (1 2 11) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中 r为源点到场点的距离 ,C决定于参考点的位置 。 在电场中将相同电位的各个点联成一个面称为等 位面 。 在等位面上移动电荷 ,电场力既不对电荷作功 ,电 荷也不会获得能量 。 即 Edl=0 (1 2 12) 这表明电场强度矢量必与等位面相正交 。 而且由 于场中任意点都有一个确定的电位值 ,因此 ,等位面绝不 会相交 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 (二 ) 电位梯度 虽然利用标量电位求解静电场比较方便 ,但描写电 场的基本物理量还是电场强度矢量 。 因此有必要找到 空间某一点电位 和电场强度矢量 E的关系 。 如图 1 2 3所示的两个等位面 A和 B无限靠近 , 它们之间的电位差为 d,则 BAd E d l 可见 ,当 E和 dl方向相同时 ,则 d 0,即沿着电场方向 电位是降低的 ,故有 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中 E是 E在 dl方向上的投影 ,/l是电位对 l的方向导 数 。 d E d l E d l E l (1 2 13) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 因此 ,电场强度 E沿着任意 l方向的投影等于该方向 上电位的方向导数的负值 。 如果选取 dl方向使电位沿 着这方向增加最快 ,即 /l具有正的最大值 。 则 (/l)max等 于电场强度 E的数值 ,而 dl的方向和 E的方向相反 。 由矢 量分析知道 ,大小等于 (/l)max,方向为使 /l获得最大增量 的方向的矢量 ,称为标量函数 的梯度 ,用符号 grad或 表示 。 即 E gr ad (1 2 14) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 四 、 电位的泊松方程和拉普拉斯方程 对于静电场的求解 ,一般采用电位函数作为辅助量 , 并导出标量电位的微分方程 ;然后解标量电位方程求出 电位分布 ;最后根据电位和电场强度的关系式 ,求出电场 强度的分布 。 下面我们来推导标量电位微分方程 。 对式 (1 2 14)两边取散度 ,并应用 两个关系式 ,便得 D D E 2 () (1 2 15) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 上式称为标量电位的泊松方程 。 即在有电荷分布 空间中的电位满足泊松方程 。 而对于没有电荷分布的 空间 ,即 =0,则式 (1 2 15)变为 上式称为拉普拉斯方程 。 即表明在没有电荷分布 的空间中的电位满足拉普拉斯方程 。 式中 为二阶微 分算符 ,在各种坐标系中 有不同的表达式 。 见附录 一 。 2 0 (1 2 16) 2 2 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 例题 1 2 2如图 1 2 4所示的金属球壳 ,其内壳 半径为 a,外壳半径为 b(球壳厚度可不计 )。 设内球壳电 位为 Ua,外球壳电位为 Ub,求球壳间的电位分布及崐电场 强度分布 。 解 :由于球壳内无电荷分布 ,故电位满足拉普拉斯方 程 。 在球坐标中 : 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1( s i n ) 0 s i n s i n r r r r r 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 124 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 由于电位分布是球对称的 ,即 /=/=0,因此上式简 化为 2 2 1 ( ) 0r rr 上式对 r两次积分 ,得到 12 2 1 r C r C CC r 式中常数 C1和 C2可由边界条件来确定 ,其边界条件为 , ; ,abr a U r b U 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 将此边界条件代入上式 ,解得 1 2 () () () ab ba a b b a a U b U C ab a b U U C ab a U b U a b U U a b a b r 在球坐标中 0 11 sin 0 r a a a rr 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 五 、 静电场的边界条件 在两种介质的介电常数分别为 1和 2的分界面上 ,由 于介质性质的变化 ,电场也会相应发生变化 。 在分界面 两侧的介质中场量之间的关系称为分界面上的边界条 件 。 静电场的边界条件可由静电场的基本方程导出 ,也 可以直接从电磁场的边界条件得到 。 即有 2 () () r ba r aE r ab U U Ea a b r 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 12 1 2 1 2 2 12 ( 0 ) ( 0 ) ll a a a n s n n s s EE D D E DD (1 2 17) 可见 ,在两种不同介质的分界面上电场强度的法向 分量总是不连续的 ,其原因在于介质分界面上存在束缚 电荷 。 其束缚电荷的密度为 2 1 0 2 1 21 0 ()Ps n n n n ps nn D D E E EE (1218) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 根据上述边界条件 ,可以求出没有电荷分布的分界 面上电场强度矢量方向的改变情况 。 假设 1介质中的电 场 E1与分界面的法线成 1的夹角 ,而 2介质中电场 E2与分 界面的法线成 2的夹角 ,崐则由式 (1 2 17)可方便得到 11 22 tg tg (1 2 19) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 125 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 六 、 电容 两导体电容的定义为 :当两导体带有异性电荷时 ,电 量 Q与两导体间的电位差之比 ,即 QC U (1 2 20) 导体电容是与导体的形状 、 尺寸和周围介质的分布 有关的常数 。 如果把其中一个导体移到无限远处 ,则两导体间的电 位差即为另一个导体的电位 ,此时两导体的电容即为孤立 导体的电容 。 其电容量为该导体的电量 Q与电位 之比 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 例题 1 2 3已知同轴线内外导体半径分别为 a和 b, 内外导体间填充介电常数为 的介质 。 求同轴线单位长 度上的分布电容 。 解 :设同轴线内外导体单位长度上所带的电荷量分 别为 +l和 -l,应用高斯定律很易求得介质内的电场强度 E为 QC (1 2 21) 2 t rEE r 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 于是内外导体之间的电位差为 ln 22 2 ln bb tt r aa t dr b U E dr ra C bU a 故单位长度上的电容为 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 有两个导体以上的系统称为多导体系统 。 这系统 中的每个导体所带的电量都会影响所有导体的电位 。 在线性介质中 、 应用叠加原理可得到每个导体的电位 和各个导体所带的电荷量的关系 。 假设 N个导体所带的 电量分别为 q1、 q2、 q3、 qN,N个导体的电位分别为 1、 2、 3、 、 N,则有 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 NN NN N N N N N N p q p q p q p q p q p q p q p q p q (1 2 22) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 上式中 pij都是常数 ,称为电位系数 ,具有相同下标的 称为自电位系数 ,具有不同下标的称为互电位系数 ,每个 电位系数与导体的形状 、 相对位置以及介质特性有关 , 而与导体所带的电量无关 。 当各个导体的电位已知时 ,则可从式 (1 2 22)解 出各个导体所带的电量为 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 NN NN N N N N N N q q q (1 2 23) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中 ij称为静电感应系数 ,具有相同下标的称为自 静电感应系数 ,具有不同下标的称为互静电感应系数 。 由式 (1 2 23)可以得到 ij的定义 。 例如 1 11 0 1 0 1 ( 1 ) () k k i ij q k q kj (1224) (1 2 25) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 可见 ,11为除导体 1以外其余导体都接地时 ,导体 1 上的电荷量和自身电位之比值 。 ij为除导体 j以外其余 导体都接地时导体 i上电荷量和导体 j的电位之比值 。 可 以证明互感应系数具有互易特性 ,即 ij=ji (1 2 26) 我们令 Cij=-ij,Ckk=k1+k2+kN,则式 (1223) 可改写为 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中 Cij称为部分电容 ,具有相同下标的称为自部分 电容 ,具有不同下标的称为互部分电容 。 从式 (1 2 27) 可以看出 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N NN N N N N N N N N q C C C q C C C q C C C (1 2 27) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 12 ( 2 ) h h q C q Ck (1228) (1 2 29) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 即 C11为所有导体都和导体 相联时 ,导体 上的电 荷量与其自身的电位之比值 ,如图 1 2 6(a)所示 。 而 C12为除导体 以外所有导体都接地时 ,导体 上所带的 电荷量与导体 和 之间的电位差的比值 。 如图 1 2 6(b)所示 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 1 2 6 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 127 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 必须指出 ,在多导体系中 ,任意两个导体之间的互部 分电容 Cij(或任一导体对地的自部分电容 )与前面定义的 两导体间的电容不同 ,Cij和其它部分电容组成的等效电 容才是多导体中两个导体间的电容 。 三个导体和大地 的等效电容的示意图如图 1 2 7所示 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 13 恒流电场 一 、 恒流电场的基本方程 恒流电场是指不随时间变化的电流所产生的电场 。 恒流电场中电荷是不断运动的 ,微观上来说是不规则的 , 但宏观上来说 ,电荷分布在任何时间是不变的 。 因此 ,恒 流电场的性质和静电场是可以比拟的 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 如果导电媒质外部电介质中没有电荷分布 ,则麦克 斯韦方程可简化为 0 0 E D (1 3 1) 即恒定电流在导体外部产生的电场和没有电荷分 布空间的静电场具有相同的性质 ,电场也是无旋场 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 为了保持电流恒定不变 ,导电媒质中任何一个体积 V内的电荷量必须不随时间变化 。 此时电荷运动达到动 态平衡 ,即任何时刻流入体积内的电荷量等于从该体积 内流出的电荷量 。 换言之 ,从包围此体积的闭合面穿出 的 J的通量为零 。 又因为从闭合面流出的电流等于单位 时间内体积中电荷的减少量 。 故有 0 0 s V V sV J d S d V d V tt J d S Jd V 由散度定理得 (1 3 2) (1 3 3) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 因上式与体积 V的选择无关 ,故被积函数应等于零 ,即 0J t (1 3 4) 上式即为恒流电场下导电媒质中的电流连续性原 理的微分形式 。 导电媒质中电流密度与电场强度之间的关系为 JE (1 3 5) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 上式为欧姆定律的微分形式 。 为导电媒质的电导 率 ,单位为 S/m。 于是得到导电媒质中的电场的基本方程为 0 0 E J JE (1 3 6) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 二 、 恒流电场的边界条件 由于在电导率分别为 1和 2的分界面上有电荷的积 聚 ,故电流要发生突变 。 根据恒流场在导电媒质中的基 本方程可导出恒流电场的边界条件 。 由于导电媒质中 恒流电场的基本方程式和无电荷分布区域的静电场基 本方程形式完全相同 ,由此导出的边界条件也相仿 。 这 里不作推导 ,仅给出结果如下 : 12 12 11 22 nn ll JJ EE tg tg (1 3 7) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 上式表明 :在两种导电媒质的分界面上 ,电流密度的 法向分量连续 ;电场强度的切向分量连续 ;电流密度矢量 与分界面的法线之间的夹角的正切之比等于两导电媒 质的电导率之比 。 在导电媒质与电介质的分界面上 ,由于电介质完全 不导电即 2=0,则必有 J2=0,并得到 Jn2=Jn1=0,即表明导电 媒质中不可能存在电流密度的法向分量 ,电流线必与界 面重合 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 三 、 恒流电场与静电场的比拟 从前面分析知道 ,导电媒质中的恒流电场和没有电 荷分布的介质中的静电场的基本方程是相似的 。 而且 可以证明两种情况下的电位均满足拉普拉斯方程 。 将 两种场的基本方程重写如下 ,以资比较 。 静电场 恒流场 基本方程 22 00 00 00 EE DJ D E J E 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 边界条件 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n l l l l D D J J E E E E tg tg tg tg 由此可见 ,导电媒质中 J和介质中 D相对应 ;导电媒 质的电导率 和电介质的介电常数 相对应 。 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 由于导电媒质中恒流电场与电介质中静电场相似 , 因此电导的计算与电容相似 。 如果两电极形状和边界 条件均相同 ,则两电极间的电导 G与电容 C之间存在下列 关系 : 因此 ,只要将电容的计算公式中的 换成 ,就可以得 到电导的计算公式 。 电导的倒数即为电阻 。 下面举例 说明 。 G C (138) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 例题 1 3 1同轴线的内外半径分别为 a和 b。 内外 导体间的介质的电导率为 ,因而内外导体间有漏电流 。 试求单位长度上内外导体间的漏电阻 。 如图 1 3 1所 示 。 解 :这里采用静电比拟的方法求解十分方便 ,由例题 1 2 3求得同轴线单位长度上电容计算公式为 2 ln C b a 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 由于两者边界条件相同 ,只要用 来代替上式中 ,即 可得到同轴线到漏电导的计算公式为 2 ln G b a 故漏电阻为 ln1 2 b aR G 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 14 恒流磁场 一 、 恒流磁场的基本方程 恒定电流产生的磁场称为恒流磁场 ,即空间电流的 分布状态是不随时间变化的 ,因此恒流磁场也是不随时 间变化的 ,描写磁场的物理量磁感应强度 B和磁场强度 H 仅是空间坐标的函数 。 由麦克斯韦方程可以得到恒流磁场的基本方程为 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 由方程看出 ,恒流磁场和恒流电场不同 ,恒流磁场是 有旋场 ,即在有电流分布的空间任意点磁场强度 H的旋 度等于该处的电流密度 。 恒流磁场又是无源场 ,磁感应 强度的散度处处为零 ,即磁感应线是无头无尾的封闭线 。 但在无电流分布的空间中的恒流磁场的方程为 0 HJ B BH (1 4 1) 0 0 H B BH (1 4 2) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 二 、 矢量磁位 在静电场中 ,引入了标量电位函数的物理量 。 由于 磁场是有旋场 ,因而在有电流分布的空间不存在一个梯 度的负值处处等于磁场强度的标量位函数 。 因此在磁 场中 ,必须引入一个矢量磁位函数 。 由毕奥 沙瓦定律 可以发现 ,磁感应强度可以用另一个矢量的旋度来表示 。 毕奥 沙瓦定律为 0 24 r V JaB d V r (1 4 3) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中 J为源点的电流密度 ,r为源点到场点的距离 ,B为 场点产生的磁感应强度 。 利用矢量等式 11( ) ( )J JJ r r r 因为是对场点的微分运算 ,而 J是源点的函数 ,因此 J=0,故有 2 11( ) ( ) ( ) rJa J J J r r r r 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 因此式 (1 4 3)可以改写为 0 () 4 V JB dV r 因为 J是源点坐标的函数 ,故对场点坐标算符 可以 移到积分号外面 ,故有 0 4 V JB dV r 由此可见 ,场点的磁感应强度 B可以用另一个矢量 的旋度来表示 。 令该矢量为矢量磁位 A。 即 0 4 V J A dV r BA (144) (1 4 5) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 A是个矢量 ,在直角坐标中三个分量分别与电流密 度 J的三个分量有关 ,即 0 0 0 4 4 4 x x V y y V z z V J A d V r J A d V r J A d V r (1 4 6) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 如果电流分布在表面 S上和细导线回路中则矢量磁 位分别为 0 0 4 4 s s l l J A dS r J A dl r (1 4 7) 在静电场中 ,当给定体电荷密度 时 ,场中某点的电位为 0 2 0 1 4 V dV r (1 4 8) (1 4 9) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 将式 (1 4 6)和式 (1 4 8)相比较 ,可以得出结 论 :A的每一个分量必满足下列泊松方程 : 2 0 2 0 2 0 xz yy zz AJ AJ AJ (1 4 10) 当然 ,矢量磁位 A也一定满足泊松方程 2 0 0 AJ A (1 4 11) 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 例题 1 4 1用矢量磁位计算如图 1 4 1所示的 同轴线中的磁感应强度 B。 解 :采用圆柱坐标系 ,其拉普拉斯算符为 22 2 2 2 2 11()d d A d A d AAr r d r d r r d d z 因 J=azJz,故有 A=azAz。 又因场分布具有轴对称性 ,且假设同轴线为无限 长 ,则有 0zzd A d A d d z 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 故式 (1 4 10)变为 0 1 () z z d dArJ r dr dr 将上式两边积分两次 ,便得 20 ln 4 z z JA r C r D 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 141 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 下面分别对三个区域进行求解 ,三个区域中的 Az、 Jz、 B及积分常数分别用下标 1、 2和 3表示 。 当 rr1时 , 1 2 1 z IJJ r 因在 r=0处 ,A1应为有限值 ,则必有 C1=0,故 201 114 JA r D 当 r1rr2时 , Jz=J2=0 故 BA zdABB dr 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 当 rr1时 , 1 0 1 0 1 2 122 dA J I rB dr r 当 r 1rr2时 , 2 2 CB r 当 r 2rr3时 , 3 0 3 3 0 3 22 322 2 ( ) J C I CB r r r r r r 式中的积分常数由边界条件求得 在 r=r1处 , 12 0 1 2 2 112 BB Ir C rr 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 00 22 23 0 0 2 3 22 2 3 2 2 2 0 2 0 3 22 32 2 2 2 0 0 2 0 0 0 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 , 22 2 2 ( ) 2 ( ) 2 () 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 ( ) II CB r BB I I r C r r r r I r I C rr I r I r I I I r r B r r r r r r r r r r 得 即 得 第 1章 电磁场与电磁波的基本原理 必须指出 ,由于磁场是有旋场 ,因而在有电流分布的 空间不可能存在一个标量函数 ,即磁场不是一个位场 。 而在没有电流分布的空间内 ,磁场强度的旋度为零 ,故在 无电流分布的空间内的磁场也可应用标量位函数来进 行分析 ,和静电场