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用待定系数法用待定系数法求三种形式的二次函数的解析式求三种形式的二次函数的解析式 一般地，函数一般地，函数y yaxax2 2bxbxc c的图象与的图象与x x轴轴交点的横坐标即为方程交点的横坐标即为方程axax2 2bxbxc c0 0的解的解x x1 1 ，x x2 2,所以，已知抛物线与所以，已知抛物线与x x轴的两个交点坐标轴的两个交点坐标为（为（x x1 1 ，0 0），），（x x2 2 ，0 0）时，二次函数）时，二次函数解析式解析式y yaxax2 2bxbxc c又可以写为又可以写为y ya(xa(x x x1 1)(x)(x x2)，称为二次函数的交点称为二次函数的交点式（或两根式），式（或两根式），其中其中x x1 1 ，x x2 2 为两交点的横为两交点的横坐标。坐标。它有3个待定系数a、x1、x2 知识补充：知识补充：二次函数的交点式二次函数的交点式已知三个点坐标或三对对应值，选择一般式已知三个点坐标或三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式一般式一般式y=ax2+bx+c (a0)顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)用待定系数法确定二次函数的解析式时，用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。函数表达式。一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原例例1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,10）、）、（1,4）、（）、（2,7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式解：设所求的二次函数为解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：解方程组得：a=2,b=-3,c=5因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5待定系数法待定系数法已知抛物线上任意三点时，已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式通常设为一般式 一般式一般式：cbxaxy2练习练习1:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数函数值为值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这个二次函数的解析试求这个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy724410cbacbacba5,3,2cba解得，5322xxy所求的二次函数是练习练习2：根据二次函数的图象上三个点的坐标（：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（，（3，0），（），（1，-5），求函数解析式。），求函数解析式。解法一解法一 设所求二次函数解析式为：设所求二次函数解析式为：y=ax2+bx+c.又抛物线过点（又抛物线过点（-1，0），（），（3，0），（），（1，-5），依题意得），依题意得 a b+c=0 9a+3b+c=0 a+b+c=-5 解得 45a25b415c所求的函数解析式为 。41525452xxy解法二解法二 点（-1，0）和（3，0）是关于直线x=1对称，显然（1，-5）是抛物线的顶点坐标，故可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2-5,又抛物线过点（3,0），0=a(3-1)2-5,解得 ,即所求的函数解析式为 。45a5)1(452xy41525452xxy练习练习2：根据二次函数的图象上三个点的坐标（：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（），（3，0），（），（1，-5），求函数解析式。），求函数解析式。解法三解法三 经上述分析，点（1，-5）是抛物线的顶点坐标，依题意得：解得 即所求的函数解析式为 。a-b+c=012ab45a5442abac25b415c41525452xxy练习练习2：根据二次函数的图象上三个点的坐标：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（），（3，0），（），（1，-5），求函数解析式），求函数解析式。已知抛物线的顶点与已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，抛物线上另一点时，通常设为顶点式通常设为顶点式例2：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求出对应的二次函数解析式又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k顶点是（1，2）y=a(x-1)2+2，y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3顶点式顶点式 ：khxay2)(练习：1、已知二次函数的图象经过点（4，3），并且当x=3时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；已知条件中的当已知条件中的当x=3x=3时有最大值时有最大值4 4也就是抛物线的顶点坐标为（也就是抛物线的顶点坐标为（3,43,4），），所以设为顶点式较方便所以设为顶点式较方便y=-7(x-3)2+4也就y=-7x2+42x-59练习练习2、已知抛物线的顶点在、已知抛物线的顶点在(3,-2),且与且与x轴轴两交点的距离为两交点的距离为4,求此二次函数的解析式求此二次函数的解析式.解：设函数关系式解：设函数关系式 y=a(x-3)2-2抛物线与抛物线与x轴两交点距离为轴两交点距离为4,对称轴为对称轴为x=3过点过点(5,0)或或(1,0)把把(1,0)代入得代入得,4a=2a=21y=(x-3)2-221已知已知抛物线与抛物线与x x轴的交点轴的交点或交点横坐标时，通常或交点横坐标时，通常设为交点式（两根式）设为交点式（两根式）例例3 3：已知抛物线与：已知抛物线与x x轴两交点横坐标为轴两交点横坐标为1 1，3 3且图像过（且图像过（0 0，-3-3），求出对应的二次函），求出对应的二次函数解析式。数解析式。解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，y=a(x-1)(x-3),又过（0，-3），a(0-1)(0-3)=-3,a=-1a=-1 y=-(x-1)(x-3),y=-(x-1)(x-3),即即y=-xy=-x2 2+4x-3+4x-3交点式交点式 ：)(21xxxxay练习：已知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，那么这个二次函数的解析式是 。分析：因为抛物线与分析：因为抛物线与x x轴的两个交点关于轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，又抛物线的对称轴对称，又B(5B(5，0)0)关于直线关于直线x x2 2的对称点坐标为（的对称点坐标为（-1,0-1,0），所以可以），所以可以设为交点式，类似例设为交点式，类似例3 3求解，当然也可以按求解，当然也可以按一般式求解。一般式求解。y=(x-5)(x+1),y=(x-5)(x+1),即即y=xy=x2 2-4x-5-4x-5 _年 _月_日 星期_ 天气_ 学习课题学习课题 ：知识归纳与整理：知识归纳与整理：自我评价：自我评价：我的收获与困惑：我的收获与困惑：
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