导数与微分

二、 导数与微分学选择题容易题 139，中等题 40106，难题 107135。1. 设函数y = f (x)在点x处可导，Ay二f (x + h) - f (x ),则当h T 0时，必有()0 0 0(A) dy是h的同价无穷小量.(B) Ay - dy 是 h 的同阶无穷小量。(C) dy是比h高阶的无穷小量.(D) Ay - dy 是比 h 高阶的无穷小量.答D2. 已知f (x)是定义在(-,+)上的一个偶函数，且当x O,f(x) 0,f(x) 0,f(x) 0。(C)f (x) 0, f (x) 0。(D)f (x)0。答C3已知f (x)在a, b上可导，则f(x) 0是f (x)在a, b上单减的()(A) 必要条件。(B)充分条件。(C)充要条件。(D)既非必要，又非充分条件。答Bx24.设n是曲线y =arctanx的渐近线的条数，则n二()x 2 - 2(A) 1 .(B)2(C)3(D)4答D5设函数f (x)在(1,1)内有定义，且满足|f(x)| 0，其导数的定义域是()(A) x 0(B) x 丰 0(C) x 0(D) x 010设函数f (X)在点x不可导，则()( A) f( x) 在点 x 没有切线( B) f( x) 在点 x 有铅直切线( C) f( x) 在点 x 有水平切线(D)有无切线不一定答:D11设, 则()(A) 是的极大值点(B) 是的极大值点(C) 是的极小值点(D) 是的拐点答: D则命题12. (命题I):函数f在a,b上连续.(命题II):函数f在a,b上可积II 是命 题I 的( )(A) 充分但非必要条件(C) 充分必要条件答: B13. 初等函数在其定义域内()(A)可积但不一定可微(C)任意阶可微答: A14. 命题I):函数f在a,b上可积.I 是命题 II 的 ()(A)充分但非必要条件(C)充分必要条件答: A(B) 必要但非充分条件(D)既非充分又非必要条件(B) 可微但导函数不一定连续( D) A, B, C 均不正确(命题II):函数|f|在a,b上可积.(B)必要但非充分条件(D) 既非充分又非必要条件则命题15.设 yeu( x) 。则 y 等于( )A)eu( x)B) eu(x) u (x)(C) eu(x)u(x) + u(x)(D) eu(x)(u(x)2 + u(x)答： D16.若函数 f 在 x0 点取得极小值，则必有( )(A)八x0)二 0且f(x) = 0(B)八x0)二 0 且八x0) 0(D) /(x0) - 0或不存在答： D17.f (a)丰(A)lim f (x) - f (a)xTa(B).lim f (a) - f (a-Ax)AxT0(C).limf (t - a) - f (a)tT0答： CAx/ (a + ?) 一 / (a -专)(D ).lim2S T0s18y在某点可微的含义是：(Ay a a Ax, a 是一常数;B)Ay与Ax成比例C)Ay = (a +a )Ax, a 与 Ax 无关,D)Ay = a Ax + a , a是常数，a是Ax的高阶无穷小量(A t 0).答：19.关于Ay = dy,哪种说法是正确的?(A)当y是x的一次函数时Ay = dy .(B)当 Ax a 0 时，Ay = dyC) 这是不可能严格相等的.(D)这纯粹是一个约定.答： A20哪个为不定型?()0(B)gg(A)-C)D) g 0答： D21函数不可导点的个数为(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3答：22若 f(x) 在 x 处可导则lim f (x0 - h) - f (x0)=A) - f (x0 )B) f (-x0)C)广(x0);(D) 一 八-x0).答：23f (x)在(a,b)内连续，且x G (a,b),则在x0处()A) f (x) 极限存在，且可导；B) f ( x) 极限存在，且左右导数存在；C) f(x) 极限存在，不一定可导；D) f ( x) 极限存在，不可导.答：24若f (x)在x0处可导，则1 f (x)|在x0处(A)必可导；(B)连续，但不一定可导；(C) 一定不可导;(D)不连续.答：25设f (x)二(x - x0)| 9 (x)|，已知9 (x) 在 x 0连续，但不可导，则f(x)在x0处()(A)不一定可导；(B)可导；(C)连续，但不可导；(D)二阶可导.答：26设 f (x) = g (a + bx) - g (a - bx),其中g(x)在(-,+)有定义，且在x二a可导，则f (0)=()(A) 2a ；(B) 2g(a)；(C) 2ag(a)；(D) 2bg(a).答：D27设 y = f (cos x) - cos(f (x)，且 f 可导， 则 y=()(A) f (cosx) - sin x - sin(f (x)f(x)；(B) f (cosx) - cos(f (x) + f (cosx) - -sin(f (x)；(C) - f (cosx) - sin x - cos(f (x) - f (cosx) - sin(f (x) - f (x)；(D) f(cosx) - cos(f (x) - f (cosx) - sin(f (x) - f(x).答：28哪个为不定型？(C) 0gD) g 0g（A）00(B)g答：29设 f (x) = x( x -1)( x - 2)(x - 99)(x -100)，则广(0)二().答：30A)100(B )100！ (C )-100D)-100！设 f （ x ） 的 n 阶导数存在，f (n-1) (x)且lim7 v丿xTa=/(n)(a)，则 f (n-1)(a)=()x-aC)1D）以上都不对答：31列函数中，可导的是（）。A)f (x) = x|x|B)f (x) = |sin x|f(x) =x2, x 0D)f (x)= 1.B)D)则 的值为(A).(B).;(C).;(D).。答：B37若抛物线与相切,则()。(A). 1 ;(B).1/2;(C).1e2;(D).2e .答： C38若为内的可导奇函数,则()。答：39(A) .必为内的奇函数;(C). 必为内的非奇非偶函数;设, 则()。(A). 0;(B). 1 ;记Ay为f (x)的增量,1 一 log log xx(log x) 21 + log log xx(log x) 2)。B). 必为内的偶函数；(D). 可能为奇函数,也可能为偶函数。(C). -1 ;(D). 不存在。答： A 40.已知f (x)在(一8,+8)上可导，则()(A)当f(x)为单调函数时，f (x) 一定为单调函数.(B)当f(x)为周期函数时，f (x) 一定为周期函数.(C)当f(x)为奇函数时，f (x) 一定为偶函数.(D)当f(x)为偶函数时，f (x) 一定为奇函数.41.设f (x)在(卩+8)内可导，则(答：C( A )当 lim f ( x) = +8 时，必有 lim f ( x) = +8 。xT+8x T+8( B )当 lim f ( x) = +8 时，必有 lim f (x) = +8 。xT+8xT+8( C)当 lim f ( x) = 8 时，必有 lim f(x) = 8 。xT8x T8( D)当 lim f ( x) = 8 时，必有 lim f (x) = 8xT8xT8答： A)42设周期函数f (x)在(8,+8)内可导，周期为3,又lim: =1，则曲线xtO2 x在点(4, f (4)处的切线斜率为()(A) 2.(B)1.(C) 1。(D)2。答： Af (x)43. 设f (x)有二阶连续导数，且广=0, hm=1，则()xti |x -1|( A) f(1) 是 f(x) 的一个极大值。( B) f(1) 是 f(x) 的一个极小值。(C) x = 1是函数f (x)的一个拐点。(D) 无法判断。答： A44. 设f (x) = (x2 + x 2)|x(x2 + x 2)|，则 f (x)不可导点的个数是()( A) 0.( B) 1 。( C) 2。( D) 3。答： B45. 设f (x) = xx，则其导数为()A) f (x) = x x(B) f(x) = xx InxC)f( x)二 xx (In x +1)D)f f(x)二 xx-1答：46设 y = sin4 x + cos4 x，贝y ()n兀y(n) = 4n-i cos(4x +), n 12B)y(n)= 4n一i cos(4x), n 1C)D)n兀、1y(n)= 4n-i sm(4x +), n 12n兀y(n)= 4 cos(4x +), n 12答：47设 f (x) = x：1 - e - x2，则()(A) f(0) = 1+B) f (0) = 1(C) f (0) = 0(D) f (0)不存在答：A 48设f（x）=（x一1）arc叫荷，则（）A) f (1) =0B) f (1) =1兀(C)广(1)=-D) f (1) 不存在 答：(A) (esc xy = CSC xcotx(B) (sec x)，= 一tan xsec xC) (tan x) = csc2 xD) (cot x) = CSC2 x答：A50设, 其中有二阶连续导数, 且,则(A) 在连续，但不可导，(B)存在但在处不连续(C) 存在且在处连续, (D) 处不连续 答： C 51设可导， 且满足条件， 则曲线在处的切线斜率为(A) 2，(B) -1，(C) ，(D) -2答： D52若的奇数， 在内， 且， 则内有(A)(B)(C)(D)答： C 53设可导， 且满足条件， 则曲线在处的切线斜率为 ()(A) 2，(B) -1，(C) ，(D) -2答： D54设， 其中有二阶连续导数， 且， 则(A) 在连续， 但不可导(B) 存在但在处不连续(B) 存在且在处连续(C) (D) 处不连续 答： 55设可导, , 若使处可导, 则必有(A)(B)(C) (D)答：A56设, 其中是有界函数, 则在处()(A) 极限不存在(B) 极限存在, 但不连续(C) 连续, 但不可导(D) 可导答： D57 .设 y = x In x,贝 y y(10)等于()C)答：58A) 0X -98! x-91xp smx0B) 1B)- x -9D)8! x-9，在点x = 0处连续，但不可导，则p=()C) 2D) 3答： B59判断 f ( x) =x + 22x2x 1在x =1处是否可导的最简单的办法是(A )由 f (1) = 3得 f(1) = 3= 0，故可导(导数为0)(B )因f (1 + 0)丰f (1 - 0)，故f (x)在该点不连续，因而就不可导(C)因lim心屮 丰lim公屮，故不可导xt1+0x 1xt1-0x 1(D )因在x二1处(x + 2)丰(2x2)，故不可导答： B60若 y = ln| x|，则 dy =() dxA )不存在C)(D ) 土丄x答：61若f (x)是可导的，以C为周期的周期函数,则 f(x) =( A )不是周期函数( B )不一定是周期函数(C )是周期函数，但不一定是C为周期(D )是周期函数，但仍以C为周期答: Ddxd2xdyd 2 y62.设 x = / (t)， y = tf (t) - /(t),记 x =,x =,y =,y= ，则dtdt 2dtdt 2d2y盂=(B )兰=t + 3 x f(t)答:(c ) x y-x y=i在计算学时，有缺陷的方法是：(dx2d ( x 3)3dx3(A)原式=d (x 3)3dx 3iT77(t)(B)原式=d (x 2)|dx2=-(x 2)22十,dx3 i dx23x233 x 2 dx3=x2 xdx2(C)原式=莎：石=东=2 X( D)因 dx 3 = 3x 2 dx, dx 2 = 2 xdx,故dx2答: B64以下是求解问题f x 2x W 3“ a,b取何值时，f (x) = 3的四个步骤.指出哪一步骤是不严密的：()(A) 在x = 3处f (x)可微n f (x)连续n limf (x)存在x t3(B) limf (x)存在n f (3 + 0) = f (3 - 0) n 3a + b = 9xt3(C) 在x = 3处f(x)可微n f(3 + 0) = f(3一0)(D) f(3 + 0) = lim (ax + b),f(3 -0) = lim (x2)n a = 6 n b = -9xt3+0xt3-0答: D65.若 f(x)与 g(x)，在 x 0处都不可导，则 9 (x)=f(x)+ g(x)、屮(x)= f(x) - g(x)在 x 处( )0(A) 都不可导；(B)都可导；(C)至少有一个可导；(D)至多有一个可导.答：Dfe -2x + bx 066若f (x)=彳.在x = 0可导，则a,b取值为()sm axx 00( A) a = 2, b = 1；( B) a = 1, b = -1 ；答：67.C) aD) a = -2, b = 1 .设函数y = y(x)由方程xy2 + y2 Inx + 4 = 0确定,dy贝y 丁 =(dxA)-y2(xy2 - y2 + xln x)B)2xln x答68答69答70答71答72(A)(B)(C)C)y2xln x(D)2 x In x( xy2 +1)若 f (x)=maxx, x2，则 f(x)=()0x21,1,C)f，( x)(B) f (x)= 八x)zx,zx,1,zx,(D) f (x) = j1.zx,0 x 11 x 2,74 .设函数/(x) = 其中a,b为常数。现已知f (2)存在，则必有lax + b, x 0时，(C)仅在x丰0时，(D) x为任何实数时，f(x)存在。答: C77.设函数f (x)在点x = a处可导，则lim_f 力=()x t0x(A)2f (a). f (a).(C) f(2a).(D) 0.答:Af ( x)78.设函数f (x)是奇函数且在x = 0处可导，而F(x)=，贝y ()o F(x)在x T 0x时极限必存在，且有lim F (x) = f (x)xT0(A) F(x)在x二0处必连续。(B) x = 0是函数F(x)的无穷型间断点。(C) F (x)在 x = 0 处必可导，且有 F (0) = f(0)。答: A 79.设a是实数，函数x丰1,x = 1,1 1/ (x) = (x - 1) a x - 10,则f (x)在x二1处可导时，必有()(A) a -1.(B) 1 a 0.(C) 0 a 1.答: A80设函数f (x)=x sin-X* 0,则 f (x)在 x 二 0 处 x = 0,(A) 不连续。(B) 连续，但不可导。(C)可导，但不连续。(D)可导，且导数也连续。答: Bf 2( x + Ax) 一 f 2( x)81.设f (x)是可导函数，Ax是自变量x处的增量，则limA=()AxtOAx(A)0.(B) 2f(x).(C) 2f(x).(D) 2f(x) f(x).答: D82.已知函数f (x)在x = a处可导，且f(a) = k, k是不为零的常数，则lim f (a 3t) 一 f (a 5/)t t0t).答: B(A) k .(B) 2k.(C) - 2k.(D) 8k.x 2 sin1x0x丰0,x = 0,则 f(0)=(A)答：c1.(B) - 1.(C) 0.(D)不存在。84设 f (x)在(a, b)可导，则 f(x)在(a, b)().(A) 连续(B) 可导(B) 高阶可导(C) (D) 不存在第二类间断点答： D85.设曲线y = ei-x2与直线x = -1的交点为P，则曲线y = ei-x2在点p处的切线方程是 ( )(A) 2x y 1 = 0.(b) 2x + y +1 = 0.(C) 2x + y 3 = 0.(D) 2x y + 3 = 0.答： D86.设f (x)在x = 0的某个邻域内连续,且f (0) = 0, lim 空-=1,则在点 so 2Sin 2 -2x 二 0 处f (x)()(A )不可导；(B )可导； (C)取得极大值； (D)取得极小值。答： D87.设方程x3 3x + a = 0有三个实根，则()(A) a =2(B) a 2(C)|a|2(D)与a无关答： C 88.设f (x)定义于(s,+s), x0丰0是f(x)的极大值点，则()(A) x必是f(x)的驻点.(B)-x必是-f(-x)的极小值点.00(C) -x必是-f(x)极小值点.(D)对一切x都有f(x) g(x)是 f (x) g (x)的()( A)必要条件( B)充分条件( C)充要条件( D)无关条件答:D93.设函数 f(x) 二阶可导，则 f (x) 的表达式是()A lim f(x + h f (x h 2f (x) h0h2C lim f (x+h + f (x h 2f (x)h0h2B lim f (x + h + f (x h + 2f (x)h0h 2D 以上都不对答：c94. 设 f 为可导函数，y = sinf sin f (x)，则 dy =()dxAf(x) - f sinf (x) -cosf sinf (x)Bf(x) -cosf (x) - cosf sinf (x)Ccosf(x) - f sin f (x) - cosf sin f (x)Df(x) -cosf (x) - f sin f (x) -cosf sin f (x)答: D95. 一直线与两条曲线y = x3 + 3和y = x3 -1都相切，其切点分别为()A(1,2)和(I,-2)B (1,4)和(1,2)C(-1,2) 和 (-1,-2)D(-1,2) 和 (1,4)答:B96.当参数a =()时，抛物线y二ax2与曲线y = logx相切。答:97.(A)A 2e1B2ee2. ax + bx 丄 设 a 0, b 0 则 lim() xxtO2ab (B) vab (c)ln ab(D)答：98.设 y 二 log a(a 0),则 dy =(xdxIlog a”1x log a2 1x log a答:99 .设函数x = f(y)的反函数y 二f-1(x)及 ff-1(x),ff-1(x)都存在,广f -1( x)丰 0，则 d 2 f T( x)=(dx2(A).f f -1( x)f f -1( X)2(B).ff -1( x)f f -1( x)2(C).f f -1( x)f f -i(而(D).f f -1( x)f f -1( X)3答 :C且 f( x 0)二 2,100.设f(x) = xlog2x在x0处可导,答 :B101设 ，又均存在，则是在点可导的()。(A) . 充分非必要条件； (B). 充分必要条件；(C).必要但非充分条件；(D).既不充分也不必要条件。答:B 102设，在连续，则 在可导是在可导的 ( )条件。(A) . 充分非必要条件； (B). 充分必要条件；(C).必要但非充分条件；(D).既不充分也不必要条件。答:A103.设 在的某邻域内有定义，在可导的充分必要条件是 ().(A). 存在； (B). 存在；(C). 存在；(D). 存在。答：C104 .设为奇函数，且在内，则在-内有()。(A)., ;(B).(C). ;(D).。答:C105 .不可导点的个数是()。(A).3 ;(B).2 ;(C).1 ;(D).0答:B106若函数在点有导数，而在处连续但导数不存在，则在点处( )。(A) 定有导数;(B) . 一定没有导数;(C) . 导数可能存在；(D) . 一定连续但导数不存在。答:C 107 .已知 f (x)在a, b上二阶可导，且满足 f(x) + 2f(x) - f (x) = 0, x e a, b若 f (a) = f (b) = 0，则 f (x)在a, b上()(A)有正的最大值。(B)有负的最小值。(C)有正的极小值。(D)既无正的极小值，也无负的极大值。答:D108.设f (x)在(0,1)内 n 阶可导，则 Vx,x e (0,1)，有()(A) f(x) = f(x0)+ 广(x0)(x-x0)+ 2；厂(x0)(x-x0)2 + +f (n)(x )(x - x ) n。n!00f (x)=f (x 0)+八 xo)( x - x 0)4 厂(x o)( x-xo)2+f(n) (x )(x x )n +n!00(n +1)!1f (n+吨)(x-x0)n+1，E 在x 与x0 之间。(C)f(x) = f(x0)+ 广(x0)(x-xo)+ 2!八xo)(x-%)2 + +f (n)(x )(x - x ) n + O(x - x ) n 。n!000(D) f (x) = f (x ) + 广(x )(x-x ) +f(x )(x-x )2 + 0 0 0 2! 0 0+f (n)(x )(x - x ) n + o(x - x ) n+1。n!000答：C 109.设 f(x) 在 x 点可导，则( )(A) f (x)在x附近连续。(B) 当f(x ) 0时，f (x)在x附近单增。(C) 当f (x)在x附近可导时，有f(x ) = lim f(x)。00XTX0= lim f (x)。xx0(D) 当f (x)在x附近可导，且lim f (x)存在时，有f(x )0xx00答:D110.设f (x)、g (x)在x附近可导，且g (x)丰0,则()(A) 当 lim f,(x) = A 时，lim = A。xx0 g ( x)xx0 g ( x)(B) 当 lim = A 时，lim f (x) = A。xx0 g (x)xx0 g (x)f(x)f (x)(C) 当lim= A不存在时，lim= A不存在。xx0 g(x)xx0 g (x)(D) 以上都不对。答:D111.设 f (x)= 0x = 0，则 f (x)在 x =x 0A) 不连续。(B) 连续，但不可导。(C) 可导，但导函数不连续。D) 导函数连续。答：C兀112.设函数f(x)=则(cos , x 丰x0,x = 0(A) f (x)处处可导(B) f (x)处处不可导(C) f(x)在零点的导数不存在D) f (0) =0答:D则()113.设函数f(x)=sin2 x, x e Q0, x e R QA) f (x) 处处可导B) f (x) 处处不可导C) f (x) 在零点的导数不存在(D) f(k兀)=0,k e Z答:D114.设f(x)= 0(B) 1 a 0(C) a 0(D) a 0B) 1 a 0C) a 1D) a 0arcsin x21sm , x 丰 0xx则函数(0,x=0(A) 在x = 0点连续(B) 在x = 0点可导(C) 在X二0点不连续(D) 在x二0点不清楚答:A117设在上二阶可导, 且, , 则在内(A) , (B) 至少存在一点, 使,(C) 至少存在一点, 使, (D)答：D118设在内可导, 且对任意当时, 都有, 则(A) 对任意(B) 对任意(C) 单调增加(D) 单调增加答： D119 设, 且, , 则(A) 是的极大值(B) 是的极小值(C) (0 , f (0 ) 是的拐点(D) 不是的极值点, (0 , f (0 ) 也不是的拐点 答： B120设在区间内有定义, 若当时, 恒有,则必是的(A) 间断点, (B) 连续而不可导的点(C) 可导的点, 且, (D) 可导的点, 且 答： C 121设为可导函数, 则(A) 当必有(B) 当必有(C) 当必有(D) 当必有(D) 有无穷多个实根a, b,必存在常数L0,使答：D122方程在内(A) 无实根, (B) 恰有一实根, (C) 恰有二个实根,答： C123设, 则(A) 是的极大值点(B) 是的极大值点(C) 是的极小值点(D) 是的拐点答： D124设在0,1上, 则的大小顺序是(A)(B)(C)(D)答： B125设在的某领域内连续, 且为其极大值, 则存在, 当时, 必有(A)(B)(C)(D)答： C126以下哪个 条件可保 证对开区 间 X 上的任 意两 点f (a) - f (b)| L|a - b| 成立()(A) f (x)在X上有界(B) f (x)在X上连续(C) f (x)在X上有界(D) f (x)在X上连续127 .设 f (x)= 0, a b 0. 则(A)(Xa + ya ) 1a = (Xb + yb )丄(C)(Xa + ya ) 1a (Xb + yb )眾(B) (Xa + ya ) 1a (Xb + yb )眾D) A, B, C 均不成立答：B134 设 函 数 f 在 a, b 上 有 定 义 ，且对任意X1,X2e a，b均有1 f (X1)- f (X 2疋(X-X2)2.则 f 等于A) sin XC)常数B)cos XD) A, B, C 均不正确答： C135.设函数f (x),0 (x), g(x)二阶可导，且f ( x) limf ( x + h) hT0 hkf (X + 2h)e (X)g(X)( x + h)g(X)( x + 2h)g ( x + 2h)则 k 二()A1B 2C 3D 4答：