对称式和轮换对称式及答案

6 设 a= ., b= _,c= ，且 x+y+zH0, 工十y则a+1 b+1对称式和轮换对称式之五兆芳芳创作一填空题(共10小题)1已知，a, b,。是厶ABC的边，且,则此三角形dc L1cc12 l+az的面积是：2已知实数a、b、c,且bH0 若实数x、x、y、y满足x 2+ax 2=b, x y12 12 1 2 2 1-x y =a, x y +ax y =c，贝U y 2+ay 2 的值为 1 2 11 2 2 1 23已知正数a, b, c, d, e, f满足氏屁f=4,=9,必血f=16,abc訪ef=l： 訪cdf=l, 訪cdu= 1 , 则 (a+c+e)-(b+d+f) 的值为d 4 e 9 f 164已知 bc - a2=5, ca-b2=- 1, ac - c2= - 7,贝U 6a+7b+8c=x1y1+x2y2=3则 y12+y22=5. x、x、y、y 满足 x卄x 2=2, xy -xy=1,12 12 1 2 2 1 127已知“，,，其中a, b, c为常数，使得凡满足第一式9irH-5n Q bP+cQ 5id - 12n 的m, n, P, Q,也满足第二式，则a+b+c= 8设 2 (3x - 2) +3=y, 2 (3y - 2) +3=z, 2 (3z - 2) +3=u 且 2 (3u - 2)+3=x，贝U x= 9若数组(x, y, z)满足下列三个方程：，、，、；，则x-t-y+z x4-y4-z 2 x+y+z:xyz二10设x、y、z是三个互不相等的数，且x+丄二y+丄二z+丄，则xyz=y z k选择题(共2小题)11已知旦_A,a-Fb15be _ 1, ca b+c 17c：+且B. 122L,贝血的值是（)D. 12416ab+bc+caA. 121c.12312.如果a, b,c均为正数，且a(b+c)=152, b (c+a) =162, c (a+b)=170，那么abc的值是（)A. 672B. 688C.720D. 750三解答题（共1小题）13已知 b20,且 a+b二c+1, b+c二d+2, c+d二a+3,求 a+b+c+d 的最大值.答案与评分尺度一填空题（共10小题）1已知，a, b,。是厶ABC的边，且,则此三角形1+c21+a21+b2的面积是：竺.4考点：对称式和轮换对称式.阐发：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，便可得：丄+丄+丄二+ +_?,再整理，配方便可得：（丄-1）2+ （丄-1）2+ （丄-a b c 2c2 2a2 2b2 2日bc：1） 2=0,则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积.解答：解：Ta二,b= , c=N!1+ c2 1+ a2 1+b2全部取倒数得：丄二丄+丄，2二丄+丄，丄二丄+丄，a 2c2 2 b 2a2 2 c 2b2 2将三式相加得：丄+丄+丄二+a b c 2c2 2a2 2b2 2两边同乘以2,并移项得：丄-卫+丄- 丄-卫+3=0,配方得：（丄 -1）2+ （丄 -1）2+ （丄 -1）2=0,abc丄-1=0,丄-1=0,丄-1=0,abc解得：a=b=c=1,/.ABC是等边二角形，ABC的面积二丄XIX卫二卫224故答案为：仝.4点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配办法与等边三角 形的性质此题难度较大，解题的关头是将三式取倒数，再利用配办法求 解，得到此三角形是边长为1的等边三角形.2已知实数a、b、c，且bHO 若实数x、x、y、y满足X2+ax2=b, x y12 12 1 2 2 1-x y =a，x y +ax y =c，贝U y 2+ay 2 的值为品11 2 11 2 2 1 2考点：对称式和轮换对称式.阐发：.x2+ax2二b，x y -x y =a，x y +ax y =c首先将第、组1 2 2 1 12 11 2 2分解一个方程组，变形把X、X暗示出来，在讲将X、X的值代入，通过1 2 1 2化简就可以求出结论.解答：解：.x2+ax2二b,2X2y1- X1y2=aX1y1 + aX2y2=C由，得,A 9 一2灯 把代入，得1 片+羽； 把代入，得把、代入,=b(J+C 巧 y；+ ( 异.(a3+c2)(y2+ay2)=b (y 2+ay 2) 21 2 1 232.y 2+ay 2=12 b 故答案为：斗 点评：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数 式求值进程中的运用.3已知正数a, b, c, d, e, f满足回琶=4,=9,必屁f=16,abc必wf=l： 曲cdf=l, 曲cdu= 1 ,1则 (a+c+e)-(b+d+f) 的值为 -昱.d 4 e 9 f 1612考点：对称式和轮换对称式.阐发：按照题意将六个式子相乘可得(abcdef)4=l,又a, b, c, d, e, f 为正数，即abcdef=1，再按照所给式子便可求出a, b, c, d, e, f的值, 继而求出答案.解答：解：按照题意将六个式子相乘可得(abcdef)4=l,且a, b, c, d,e, f为正数，：abcdef=1,.bcdef二丄,T buduf=4,a *.bcdef=4a,.4a二丄，aa二丄.2同理可求出：b二丄，c二丄，d=2, e=3, f=4.34原式二丄+2+3 -丄-2-4,2 43=_故答案为：-里12点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来 解答本题，有一定难度，按照所给条件求出a，b, c, d, e, f的值是关 头.4. 已知 bc - a2=5, ca - b2= - 1, ac - C2= -7,贝U 6a+7b+8c= 44 或-44.考点：对称式和轮换对称式.阐发：令bc - a2=5，ca - b2= -1，ac - C2二-7，用式减式 得 bc-a2 - ca+b2=c (b - a) + (b+a)(b - a) = (a+b+c)(b - a) =6, 式减式得 ca-b2-ab+c2二a (c - b) + (c+b)(c-b) = (a+b+c)(c- b) =6,于是求出b和a、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值， 6a+7b+8c的值便可求出.解答：解：令bc - a2=5，ca - b2= -1，ac - C2二-7， 式减式得 bc-a2 - ca+b2=c (b - a) + (b+a)(b-a) = (a+b+c)(b-a) =6, 式减式得 ca-b2-ab+c2二a (c - b) + (c+b)(c-b) = (a+b+c)(c-b) =6,所以b - a=c - b,即b二空，代入得ca - %匚，=-1,244ac -(a+c) 2= -4,(a- c) 2=4, a - c=2 或 a - c=4,当 a - c=2 时，a=c+2, b二童fc+1,代入式得(c+2)(c+1)-C2=-7,23c+2= - 7, c=-3,所以 a= - 1, b= - 2,此时 6a+7b+8c=6X( - 1)+7X( - 2)+8X(-3) =当 ac=2 时，a=c - 2, b=n+=c - 1，代入式得(c-2)(c-l)- C2= 2-7 - 3c+2= - 7, c=3,所以 a=1, b=2 此时 6a+7b+8c=6Xl+7X2+8X3=44,所以 6a+7b+8c= - 44 或 6a+7b+8c=44,故答案为44或-44点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关头是求 出b二土，此题难度不大.25. x、x、y、y 满足 x 2+x 2=2, x y -x y =1, x y +x y =3 .贝U y 2+y 2=1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 25.考点：对称式和轮换对称式.阐发：按照题意令X二近sinG, x2二血cosG，又知xy -x y +x y =3,列出方程组解出y和y ,然后求出y 2+y 2的值.11 2 2 1 2 1 2解答：解：令 xjsinG, x2二任cosG,又知 x y -x y =1, x y +x y =3,2 1 1 2 11 2 2故 . 2m弓日珥-注in。y2= 1|72sin0 yL+VC0S 0 y2=3解得：迈yjcosG+BsinG,迈y2=3cos G-sinG,故 y 2+y 2=5.1 2故答案为5.点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关头是令x迈cosG, 乂2=迈sinG，此题难度不大.6设 a=*_，b=*j c=*_，且 x+y+zHO,贝=1 .y+z z+x s+ya+1 b+1c+1考点：对称式和轮换对称式.阐发：Ta二 ,b二丄，c= 辨别代入_L,暗示出_L,y4-z z+x i-Fya-Fl b+1c+1a+1b+1 c+l的值，然后化简就可以求出结果了.解答：解：Ta二,b= , c=y+zh+工工+ya = aa+l s+y+zb = yb-l-1 x+y+zc = zc+1 x+y+z.y=+a+l b+1c+1 x十y+z x+y4-z x十y+z=x+y+zTx+y+zHO原式=1故答案为：1 点评：本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换 对称式在化简求值中的运用具有一定的难度.7已知.,，其中a, b, c为常数，使得凡满足第一式9irH-5n Q bP+cQ 5id - 12n的m, n, P, Q,也满足第二式，则a+b+c二旦.2考点：对称式和轮换对称式.，由可得：bP+cQ 5m_ 12n解出a、b和c的值便可.阐发：令 P= (m+9n) x, Q= (9m+5n) x (xHO)nr+9n4u (9nrl-5n)= (9“1)讯(5u+9) n二酣tl ,b (nd-9n) +c ( 9irrl-5n) (9c+b) irrl- ( 9b4-5c) 5m _ 12口解答：解：令 P二(m+9n) x, Q= (9m+5n) x (xHO), 又知.bP+cQ Sid _ 12n艮卩二二 硏门 ,b (nd-9n) +c (9时5口)(9c+b) nrF (9b+5c) 5m_ 12n解得 a=2, c=iL b二-.44即a+b+c=2 _速+邑也.442故答案为戲.2点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关头是令P= (m+9n) x, Q= (9m+5n) x,此题难度不大.8.设 2 (3x - 2) +3=y, 2 (3y - 2) +3=z, 2 (3z - 2) +3=u 且 2 (3u - 2) +3=x，则 x二丄.5考点：对称式和轮换对称式.专题：计较题.阐发：先化简各式，将各式联立相加，然后辨别将y、z和u关于x的式子 代入消去y、z和u,便可求出x的值.r6K-l=y 解答：解：将各式化简得：，6z - l=y (3);6u-1=k (1) + (2)+ (3) + (4)得：x+y+z+u= ，5辨别将y、z和u关于x的式子代入中，得：x+6x - 1+6 (6x-1)-1 +葢+1=4,解得：X二丄.5故答案为：丄5点评：本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关头是将y、 z和u关于x的式子代入消除y、z和u.9若数组(x, y，z)满足下列三个方程：，、.、， ，则x-t-y+z工+什三 2 K+y+zxyz= 162.考点：对称式和轮换对称式.阐发：将3个方程辨别辨别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程就可以把x、y用含z的式子暗示出来，然儿女入第一个方程就可以求出z、x、y的值，从而求出其结果.解答：解：-=1 z+y+zx-by+z 2工+y+z由一，得y= 3由一，得X二三 3把、代入，得_z _2z_，解得 巳I匪|z=9.y=6, x=3原方程组的解为：.*.xyz=3X6X9=162.故答案为：162点评：本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的办法，解方程组的进程以及求代数式的值的办法.10设x、y、z是三个互不相等的数，且x+丄二y+丄二z+丄，则xyz= 1y z k考点：对称式和轮换对称式.专题：计较题.阐发：阐发本题x, y，z具有轮换对称的特点，我们无妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=，同理可得出zx二二，xy=Z，三k _ yy_ zz_ z式相乘可得出xyz的值.解答：解：由已知x+3二y+丄二z+丄，y z k得出x+J=y+丄，y zx-y二丄口，zy二口s _ y同理得出：zx二HZ，y _ zxy二二Z ，Z _ XXX得X2y2Z2=l,便可得出xyz二土1.故答案为：土1点评：此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关 头是辨别求出yz、zx、xy的表达式，技能性较强，要注意不雅察所给的等 式的特点.二选择题（共2小题）D. 12411已知 ,.,.，贝I的值是a+b 15 b+c 17 c+a 1& ab+b c+caA. 2B 2C. 2212223考点：对称式和轮换对称式.专题：计较题.阐发：先将上面三式相加，求出丄+丄，丄+丄，丄+丄，再将化简便可得a b b c a cab+b c+ca出结果.解答：解：.，.丄+丄=15,a+b 15 a b ，H=17；b+c 17b c ，丄+丄=16，c+a 1&a c:+得,2 （丄+丄+丄）=48，a b c丄+2+2=24，abca b cabcab+bc+ca 且b+bc+且c：丄 J J 24abc cab故选D 点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是根本知识要熟练掌握12.如果 a, b, c 均为正数，且 a (b+c) =152, b (c+a) =162, c (a+b) =170，那么abc的值是()A.672B.688C.720D.750考点：对称式和轮换对称式.阐发：首先将 a(b+c)=152，b(c+a)=162，c(a+b)=170 辨别展开，便 可求得ab+ac=152，bc+ba=162，ca+cb=170，然后将三式相加， 便可求得ab+bc+ca值，继而求得bc， ca， ab的值，将它们相乘再开方， 便可求得abc的值.解答：解：.a(b+c) =152，b (c+a) =162，c (a+b) =170，*ab+ac=152，bc+ba=162，ca+cb=170，+得：ab+bc+ca=242，-得：bc=90，-得：ca=80，-得：ab=72，.bccaab=90X80X72，即(abc) 2=7202，Va，b，c均为正数，abc=720.故选C点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解办 法此题难度较大，解题的关头是将 ab，ca，bc 看作整体，利用整体思想 与方程思想求解三解答题（共1 小题）13已知 b20,且 a+b二c+1, b+c二d+2, c+d二a+3,求 a+b+c+d 的最大值. 考点：对称式和轮换对称式.阐发：辨别暗示出a, b, c, d,然后通过辨别代入，使最后成为只含b的 代数式，b的规模知道从而得解.解答：解：Ta+b二c+1, b+c=d+2, c+d=a+3,.2b+c=6, c=6 - 2b,代入 a+b=c+1 得 a=7 - 3b,代入 b+c=d+2 得 d=4-b,则 a+b+c+d=17-5b,因为b20,所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17. 点评：本题对称式和轮换对称式,关头是按照代数式的运算,用代入法, 转换成关于b的代数式，从而求出取值规模.