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例1 证明:连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半解析 利用向量共线能够证明线段平行,利用向量的模长关系能够证明数量关系证明:如以下列图,在中,分别是边的中点,则=, 向量与方向相同,且又与不在同一条直线上, ,且=故原命题成立变式训练1如以下列图,在平行四边形ABCD的对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E、F,使BEDF,求证四边形AECF是平行四边形证明:由向量加法的三角形法则可知,, 是平行四边形 .又,且E、B、D、F四点共线, , 故四边形AECF是平行四边形例2 化简以下各式:(1)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)+2(c-2b);(2)23(4a-3b)+14b-14a-7b)解析 利用向量的数乘运算律实行化简答案 (1)原式(2a+3b-c)-(3a-2b+c)+2(c-2b)(2-3)a+(3+2-6)b+(-1-1+2)c-a-b-(a+b)(2)原式2/3 (4a-3b)+1/4b-1/4(6a-7b)变式训练2 如以下列图,设ABC的重心为M,O为平面上任一点,OAa,OBb,OCc,试用a、b、c表示向量OM例3 在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,点N在对角线BD上,且BN1/3 BD求证:M、N、C三点共线解析:用向量方法证明M、N、C三点共线,即证明向量MN与MC(或NC)共线,从而只要证明存有一个实数,使MNMC即可证明:设ABa,ADb 则MNMB+BN1/2AB+1/3BD1/2 AB+1/3(AD-AB)故M、N、C三点共线变式训练3 设a、b是两个不共线的非零向量,已知AB3a-3b,BC-2a+4b,CD-2a-4b,试判断A、C、D三点是否共线答案 ACAB+BC(3a2b)(2a4b)a+2b又CD-2a-4b-2(a2b)CD-2AC,从而向量CD与AC共线故A、C、D三点共线
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