知识讲解-导数的计算-基础

导数的计算【学习目标】 1.牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。3. 能熟练运用四则运算的求导法则，4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导” 【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式(1) f (X) = C (C 为常数),f(x)二 0(2) f (x)二 xn (n 为有理数),f (x)二 n - Xn-1(3) f (x) = sin x , f(x) = cos x(4) f (x) = cos x , f (x) = 一sin x(5) f (x)二 ex, f (x)二 ex(6) f (x) = ax, f(x) = ax -lna1(7) f (x)二 lnx , f (x)二x1(8) f (x)二 log x, f (x)二 log e 。ax a要点诠释：1.常数函数的导数为0,即7 =0 (C为常数).其几何意义是曲线f (x)二C (C为常数)在任意点 处的切线平行于x轴.2有理数幕函数的导数等于幕指数n与自变量的(n1)次幕的乘积，即(xn )二nx-1 (nQ).(1A 111特另H地)=尸。V x 丿x22丁 x3. 正弦函数的导数等于余弦函数，即(sin x) =cos x.4. 余弦函数的导数等于负的正弦函数，即(cos x) = sin x.5. 指数函数的导数:(ax) axlna , (ex) ex.116. 对数函数的导数：(log x) log e , (lnx).ax ax11有时也把(log x) log e 记作：(log x)a x aa xlna以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可.知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：(1) 和差的导数：f (x) 土 g(x)二 f(x) 土 g (x)(2) 积的导数：f (x) - g(x)二 f(x)g(x) + f (x)g (x)(3)商的导数：/異=g(x)f(x) g (x) f (x) g (x)g ( x)2(g (x)丰 0 )要点诠释：1. 上述法则也可以简记为：(i)和(或差)的导数：(u土v) = u土v,推广：(u1+ u + L 土 u ) = u + u + L 土 u2 n 1 2 n(ii)积的导数：(u - v)二 u v + uv,特别地：(cu) = cu (c为常数).(iii)商的导数J耳二土空(v丰0)，I v 丿v 2两函数商的求导法则的特例f(x)g (x) f (x)g (x) (g (x)丰 0)g2(x)f (x) g (x)当 f (x)二 1 时,1g (x)1. g(x) -1. g (x)g 2( x)这是一个函数倒数的求导法则2两函数积与商求导公式的说明(1)类比：(uv) = u v + uv，uvuvv2(vMO),注意差异，加以区分.(u )ur u)r且I v丿vIv丿2)注意：*u v + uv(vMO).v23.求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可 将函数先化简(可能化去了商或积)，然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量.知识点三：复合函数的求导法则1复合函数的概念对于函数y二f 2(x)，令u(x)，则y二f (u)是中间变量u的函数，u(x)是自变量x的函数，则函数y = f W (X)是自变量X的复合函数.要点诠释：常把u =9 (x)称为“内层” y = f (u)称为“外层”。2.复合函数的导数设函数u =9 (x)在点X处可导，u =9 (x)，函数y = f (u)在点X的对应点u处也可导y = f (u)，xu则复合函数y = f 9 (x)在点x处可导，并且y = y - u ，或写作f 9(x) = f (u) -9(x).x u xx3掌握复合函数的求导方法(1) 分层：将复合函数y = f9(x)分出内层、外层。(2) 各层求导：对内层u =9(x)，外层y = f (u)分别求导。得到9 (x), f(u)(3) 求积并回代：求出两导数的积：f (u)-9 (x)，然后将u用9 (x)替换，即可得到y = f 9 (x)的导数。要点诠释： 1.整个过程可简记为分层求导回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复 合，可以相应地多次用中间变量。2.选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求 导后，要把中间变量转换成自变量的函数。【典型例题】类型一：求简单初等函数的导数例1.求下列函数的导数：1 x3(2)(3Wx (4)y = sinx (5)lnxx 2【解析】(1) (X3) =3X3-1=3X2;1(2)()/ =(x-2)/ = 2x-2-i= 2x-3 x2(3)12%x4) y = (sin x) = cos x ；5) y=(ln x) = 1可以简化点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式 求导过程，降低运算难度。（2）准确记忆公式。（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。举一反三：变式】求下列函数的导数：1(i)y =x3(2)y = 3 x(3) y=2x3 3x2+5x+4(4) y = log x2 一log x ；22答案】1(1) yz =() =(x-3) =3x-3-i= 3x-4x3(2 y y二(log2 x)1x - ln2(1) y=3x2+xcosx；(2)y=(3)y=lgx-ex；(4)y=tanx.解析】1 + x 一 x1(l)y=6x+cosxxsinx.(2)y= y(1+ x)2(1+ x)2=(lgx)-(ex)1x lnlOex.(3) y二 2(x3) 3(x2) + 5(x)+ (4)二 6x2 一6x + 5(4) V y = log x 2 log x = log x ,2 2 2类型二：求函数的和、差、积、商的导数例2. 求下列函数导数：（4）=tanx+.【点评】（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提（2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。举一反三：【变式1】函数y二（x+1）2（x1）在x = 1处的导数等于（）A1B2C3D4【答案】D法一：y = (x + l)2(x 1)+ (x + l)2(x 1)=2( x +1) (x 一 1) + (x +1)2 = 3 x2 + 2 x 一 1 yI 二4.x=1法二：/ y = (x +1)2(x 一 1) = (x2 一 1)(x +1) = x3 + x2 一 x 一 1 y二(x3) + (x2)-x-1二 3x2 + 2x-1yl 二4.x=1变式2】求下列各函数的导函数1)y=(x+1)(x+2)(x+3)。2)y=x2sinx;x + cos x(3) y= x + sin x答案】(1) y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+llx+6,y/ =3x2+12x+ll。(2) y =(X2) sinx + x2 (sinx) =2xsinx + x2cosx3)(x + cos x)( x + sin x) 一 (x + cos x)( x + sin x)(x + sin x)2(1 一 sin x)( x + sin x) 一 (x + cos x)(1 + cos x)(x + sin x)(3) y=(sin x x cos x) (cos x +x sin x) (sin x x cos x)(cos(cos x + x sin x)2x+x sinx) 1=(cos x cos x +x sin x) (cos x +x sin x) 一 (sin x x cos x)(cos x + x sin x)2一 x cos x 一 x sin x + sin x 一 cos x 一 1(x + sin x)2变式3】求下列函数的导数.(1) y =(2 X25 x +1) ex；2)y = ( x +1)(一 1)；xsin x 一 xcos x(3) y =cos x + x sin x答案】1) y=(2x25 x+1)e x+(2x25x+1) (e x) =(4x5)e x+(2x 25 x+1)e x=(2x 2x4)ex2)y=x = x(x cos x)xsin xcos x + x2 sin2 x - xsin xcos x + x2 cos2 xx2(cos x + x sin x)2cos x + x sin x类型三：求复合函数的导数例3求下列函数的导数：1)1(1 - 3 x )4兀2) y =cos(3x 一一)；6(3) y = ln(2x2 + 3x +1)；【解析】(1)设卩=i-3x, y =卩-4，则y二 y卩=-4卩-5x卩 x12(1 - 3 x )5c 兀(2) 设卩=3x 一, y=cosu,则6兀y二 y屮二一sin 3 = -3sin(3x - )。x卩 x6(3) 设u = 2x2 + 3x +1,贝卩u = 4x + 3, y = lnu = ln(2x2 + 3x +1)uy = y - u = (4x + 3)ln(2x2 + 3x +1)xu x点评】把一部分量或式子暂时当作一个整体,这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量,注 意逐层求导,不能遗漏。求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数。举一反三：【变式】求下列函数导数.(1) y 二 ln(x + 2)；(2) y e2x+1 ；3) y =cos(2 x 2 +1).答案】(1) y = ln u , u = x + 2.y = y u = (ln u) (x + 2)xu x2) y = eu , u = 2x +1.y = y -u = (eu) (2x +1) = 2eu = 2e2x+1xu x3) y =cosu, u =2x2+1,/. y = y -u = (cos u) (2x2 +1) = 一4xsinu =-4xsin(2x2 +1).x u x例4 求下列函数导数.兀 (1) y = (1 + 2x2)8 ；(2) y 二 x、.：1 + x2 ；(3) y = sin2(2x + )【解析】(1)令 u = 1 + 2 x 2, y = u 8,y = yu = (u8)(1 + 2x2) = 8u7 -4x = 32x(1 + 2x2)7. x u x(2) y = (xl + x2) = x：l + x2 + x-G.-1 + x2)(1+ x 2)2 1 + x 21 + 2x23)设 y = p 2，u =sinv, v = 2x + ，则y = y .p -v = 2 |Li - cos v - 2 xp V x=2 sin(2 x + ) - cos(2 x + ) - 2 332=2sin(4 x +)在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：y=兀兀sin 2(2x + ) = 2sin(2x + ) - sin(2x + )=2 sin(2x + ) - cos(2x + ) - (2x + )3332=2sin(4 x + 兀)点评】（1）复合函数求导数的步骤是： 分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）； 分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）； 将中间变量代回为自变量的函数。简记为分解求导回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，即分解（复合关系）求导（导数相乘）。（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导 举一反三：【变式1】求y = simx +cos 4x 的导数.【答案】解法1y =sin 4x +cos 4x=(sin2X +cos2X)2 2sin2cos2X=lsin22 x解法二13=1 (1cos 4 x)=44yz=(sin 4 x)z+(cos 4 x)z=4 sin3 x cosx41+ cos 4 x. y=sin 4 x.4=4 sin 3 x(sin x)z+4 cos 3X (cos x) cos3x (sinx)=4 sinx cosx (sin2xcos2 x)=2 sin 2 x cos 2 变式2】求下列函数导数：2 x 2 ）；1）2）求函数y =I sm2 x丿答案】x= sin 4 x2的导数（sinx丰0 ）。一 1(1)设 U=12x2，则 y = u 2。. y _ y - uxu1 u -3 (4 x)二一1 (1 2x2)-2 (4x)二 2x(1 2x2)22x(1 2 x 2) ； 1 2 x2cos x(2).方法一：y _2-.sin 2 x v sin 2 x 丿_ 2cos xsin2 x(cos x) sin 2 x 一 cos x(sin2 x)sin 6 x2cos x 4cos3 x_ 2cos x( sin3 x 一 2cos 2 x - sin x)sin 6 xsin3 x sin5 xcos2 x方法二： y _sin4 x.y(cos2 x)sin 4 x 一 cos2 x(sin4 x) sin8 x_ 2cos x( sin x)sin 4 x 一 cos2 x - 4sin3 x cos x _ 2cos x 4cos3 xsin 8 xsin 3 x sin 5 x类型四：利用导数求函数式中的参数例 5(1) f (x) _ ax3 + 3x2 + 2，若 f (1) _ 4，则 a 的值为()10131619A.B.C.D.3333(2)设函数 f (x) _ cos(3x + 9 )(0 *兀)，若 f (x) + f(x)是奇函数，则 9 =。【解析】(1)V f(x)二 3ax2 + 6x ,f(-l) = 3a 一 6 = 4，.: a = ，故选 A。(2)由于 f(x) = r 3sin(3x + 申),f (x) + f(x) = cos(羽x + Q) -3sin/3x + Q) = 2sin | x/3x + 申 + 竺 , I6丿(5兀)若 f (x) + f(x)是奇函数，则 f (0) + f (0)二 0，即 0 二 2sin Q +,I6丿5兀 所以申+= k兀(k g Z)。6兀 又因为09兀，所以 = 。6点评】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。举一反三：【变式1】已知函数f (x)二ax3 + bx2 + cx过点(1, 5)，其导函数y二f(x)的图象如图3-2-1所示，求f (x)的解析式。【答案】T f(x) = 3ax2 + 2bx + c，由 f (1)二 0，f (2)二 0，f (1)二 5，得3a + 2b + c = 0 12a + 4b + c = 0 ,解得 0.【解析】显然广是一个常数，所以f(x) = 2 x + 2f(1)所以 f (1) = 2x 1 + 2f (1)即 f (1) =-2所以 f(0)二 2 X 0 + 2 f(l) =4/ f(x) = 3x2 一 6x可设 f (x) = x3 一 3x2 + c/ f (0)二 c 二 4/. f (x)二 x3 一 3x2 + 4 二(x + 1)(x 一 2)2由 f (x) 0解得x I x 一1且x主2)