积化和差和差化积

积化和差与和差化积公式田云江基本要求能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。知识要点1、积化和差公式：1sinasinp二cos（a+P）_cos（a_P）12cosacos 卩=cos（a+卩）+cos（a_ 卩）12 . .sinacos 卩=sin（a+卩）+sin（ a-卩）1.2 . .cosasin 卩=sin（a+卩）-sin（ a-卩）积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个：sinacos 卩=sin（a+卩）+sin（ a-卩）2、和差化积公式B +中 e. .2sin0+sin=2sincose + Cfj e -CfJ .2 sin0-sin=2cossin日+中 ecos0+cos=2coscos8 +中 e -cjj2 2cosB-cosq=-2sinsin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：B +中 B -中2 2 其中前两个公式可合并为一个：sin0+sin=2sincos 积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余 弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 合一变形也是一种和差化积。 三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化 积公式在三角中就起什么作用。3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如 在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幕公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使 用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生 特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化” 是三角恒等变形的一种基本手段。例题选讲1、求下列各式的值 cos40+cos60+cos80+cos160 cos23-cos67+2 灯 sin4+cos26 csc40+ctg80 cos271+cos71cos49+cos249解： cos40+cos60+cos80+cos1601=3 +cos80+2cos100cos601 1=+cos80-cos80= cos23-cos67+2*sin4cos26=2sin45sin22+(sin30-sin22)sin22+ -Ein22=亍1cos-SCTc c? s4 0 + 2c c? s6 O1 c c? s2 O5E 科 E!(Tcsc40+ctg80=贾曲灯说”=莎頤尸cas4 0，?4-2coff6 O+ca 0 匕口禺 CT+uc1 或 0_小贬0= 贞用规CT2cos? 0花口罰 00解法一：cos271+cos71cos49+cos249_(cos71+cos49)2-cos71cos491_(2cos60cos11)2- (cos120+cos22)1 14 2_cos211+ - cos221 14 2_cos211+- (2cos211-1)11 342 4_cos211+ -cos211+_解法二：cos271+cos71cos49+cos2491+&口占1421182 2 2_M+(cos120+cos22)+ 乙1111cos92Jcos142Jcos22J+3 114 22+ (cosl42+cos98)+ +cos22313J+cos120cos22Jcos22=解法三设 x=cos271+cos71cos49+cos249y=sin271+sin71sin49+sin249则 x+y=2(cos71cos49+sin71sin49)=2+cos22x-y=(cos271-sin271)+(cos71cos49-sin71sin49)+(cos249-sin249)=cos142+cos120+cos98=-+(cos142+cos98)=-+2cos120cos222=-cos223、联立二式得x=2、cosa+cos卩=求tgatg卩的值解:1 1T2+2 得 2+2(sinasin卩+cosacos卩)=3. 8.cos(a-P)=5,42-2 得 cos2a+cos2卩+2(cosacos卩-sinasin卩)=-5J35J cos(aj5cos(a+P)=-1 1115 37322 TI又 sinasinp=- cos(a+P)-cos(a-P)=-(-& 176)=12 _ cosacos 卩=cosa+卩)+cos( a-卩)=-153工TT+兀-717673176siK Q siyi p 7. 门 casdcasB176.tgatgp-73=丄 21 5再2 飞3、设函数 f(x)=asinx+bcosx+1(a、b#0 0 )的周期是 n, f(x)有最大值 7 且 f( )=+4(1)求a、b的值若a#kn+P (kw z)且a、卩是f(x)=O的两根求tg(a+卩)的值。解：(1)x)=ksin(x+q)+l0)=n由条件 asin +bcos +1=+4/. a= b=6严説血 a -bcos2 Cl +1 二 0 /c、hA说&认2 p +bcc?s2 廿 +1 = 0由两式相减得 a(sin2a-sin2卩)+b(cos2a-cos2卩)=0 2asin(a-卩)cos(a+卩)+2b- sin(a+卩)sin(a-卩)=0 *.* a#kn+卩(kz)/. a-卩工kn(kz)acos(a+卩)-bsin(a+卩)=0tg(a+卩/ /J4、求函数 y=cos2xcos(2x+ ) (0x)的最值解：y=cos2xcos(2x+17Tcos(4x+)+cos(-)cos(4x+ )+?0x-lcos(4x+ )自我检测1、.戈.sin（a+卩）cosa- sin（2a+卩）-sin 卩可化简为（）A、sin卩B、cos卩C、sinaD、cosa12、已知cos（a+卩）cos（a-卩）= 则cos2a-sin2卩的值为（）A、B、C、D、3、在AABC中，若B=30则cosAsinC的取值范围（）111331 34 44 4A、-1, 1B、-,C、-,D、-,4、 函数y=sin（2x+a）cos（2x-a）,（a为常数）的最小正周期是（）7TA、2B、nC、2nD、4nCL + p15、设 m=l2l,n=lsin|,则m、n的大小关系是（）A、mnC、m=nD、不能确定.3若 sina+sin卩=（cos卩-cosa）且 a（0,n）,卩丘（0,n）则 a-卩等于（）A、2 7LTB、C、D、7、函数f(x)=sinxcos(x-)的最小值是()A、B、C、D、8、sin25+cos35cos25 的值是（A、3bJC、D、9、已知函数y=asinx+cosx的最大值为宁，则a的值为(A、B、C、3D、210、若 sinx-cosx=2sin(x+q),申丘0, 2n)则角申等于(A、7TTC、D、参考答案、戈.、1、 原式=sin（a+卩）cosa-2cos（a+卩）sina=sin（a+卩）-a=sin卩.选 A。12、cos（a+卩）cos（a-卩）=cos（a+卩）+（a-卩）+cos（a+卩）-（a-卩）1122=cos2a+cos2 卩=2cos2a-1+1-2sin2 卩=cos2a-sin2 卩.选 C.11223、cosAcosC= sin（A+C）-sin（A-C）= sin（n-B）-sin（A-C）1 14 2=-sin（A-C）V-1sin（A-C）1.选 C.14、y= sin4x+sin2x2 7T 7T.t= 4=2.选 A.5、m=|sincosCLT|JI.选 A.6、D 7、D8、B9、D10、D来自：中基网教学参考