第四章 量纲分析与相似原理

第四章 量纲分析与相似原理前面几章阐述了液流运动的基本方程，求解这些方程是解答水力 学的问题的一个基本途径。但由于液流问题的复杂性，求解这些方程 在数学上常常会遇到难以克服的困难，因而不得不采用其他分析途径 和试验方法来解答水力学问题。量纲分析和相似原理就是指导分析和 试验的重要方法。通过量纲分析和相似原理可以合理地正确地组织、 简化试验及整理成果。对于复杂的流动问题，量纲分析和相似原理还 可以帮助寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构。所以，在学习 了流动的基本原理以后，先介绍这个在分析流动问题上的有力工具， 为以后分析各种流动问题作准备。但是，要正确运用这个方法，还必 须对流动现象有一定的分析能力。因此，也只有在学习以后各章的各 种流动的知识之后，才能逐步加深掌握这一章的内容。4-1 量纲分析的概念（一）量纲和单位在水力学（或流体力学）研究中需用密度、粘滞系数、长度、速度、 时间和力等物理量来表述水流现象及其运动规律。这些物理量按其性 质的不同而分为各种类别，各类别可用量纲（或因次）来标志，如长度 L、时间T、质量M、力F等。量度各种物理量数值大小的标准， 称为单位。如长度为1 米的管道，可用100 厘米、 3市尺或 3.28 英尺 等不同的单位来表示1。所选用的单位不同，数值也不同。但上述单 位均属长度类，即所有测量长度的单位（米、厘米、英尺等）均具有同1 世界上大多数国家已采用统一的国际单位制（ Systeme InternationalUendites ） , 简称 SI 。我国目前正在推 广中，原使用的公制等单位还要同时使用，作为过渡。一量纲，以L 表示。量纲可分为基本量纲和诱导量纲。基本量纲必须具有独立性，即一个基本量纲不能从其它基本量纲 推导出来，也就是不依赖于其它基本量纲，如L、T和“是相互独 立的，不能从L、T中得出M,也不能从T、M中得出L。但LT 和速度的量纲v就不是互相独立的，因为v=凹。T在各种力学问题中，任何一个力学量的量纲都可以由L、T、M 导出，故一般取长度L、时间T及质量M为基本量纲。但需指出， 基本量纲并不是理论上规定必须取三个，也可以采用四个或少于三个 如采用四个互不依赖的基本量纲为L、T、M及力的量纲F，则 需把牛顿定律写成F=Cma，而系数C的量纲则为C=空一般讲，MT 通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲 通常采用L、T、M为基本量纲；也有采用L、T、F为基本量纲的， 视需要而定。其它物理量的量纲可由基本量纲推导出来，称为诱导量纲。力学 中任何一个其他物理量的量纲，一般均可用三个基本量纲的指数乘积 形式来表示。如 x 为任一物理量，其量纲可用下式表示：(4-1) 该式称为量纲公式。量x的性质可由量纲指数a0、Y来反映，如a 0、Y指数有一个不等于零时，就可以说x为一有量纲的量。上述诱导量的量纲公式均为基本量纲的指数乘积形式，其数学证 明可参阅有关文献。 123从式（4-1）可得水力学中常见的有量纲量: 如aO, 0=0, y=0,为一几何学的量；（2）如aO, 0丰O y=0,为一运动学的量；（3）如谱,0杓,yO，为一动力学的量。例如面积A是由二个长度的乘积组成，则它的量纲为长度量纲的 平方，A=L2,或写成量纲公式为A=L2TM。流速v按其定义, 其量纲为v=-，量纲公式为v=LT-iM0。加速度a的量纲公式为 Ta=LT-2M0o由牛顿定律F=ma可知力F的量纲为质量m和加速度 a的量纲的乘积，即F=MLT-2。又如动力粘滞系数，由牛顿内摩擦定律知=心，分子项T为 dn切应力，分母项乜为流速梯度，则“的量纲公式为dn运动粘滞系数V为卩与密度p的比值，即V出，而p=-,故得V P的量纲公式为v=M/p= ML-1T-1/巴厶3=L2T-1上面的讨论是以L、M、T为基本量纲的，常采用单位的厘米、 克、秒,即所谓c、g、s单位。国际单位制（SI）,长度单位用米（m）, 时间单位用秒（s）,质量单位用千克或公斤（kg）。在以L、T、F为 基本量纲时，力F的单位为公斤力（kgf）,质量m的量纲可导出为：M= F/a= F/ LT-2= FT2L-1其单位为公斤秒2/米（kgfs2/m）。各种和水力学有关物理量的量纲和单位如表 4-1 所示。表 4-1 水流运动常见物理量的量纲和单位（二）无量纲数某些物理量的量纲可简化为零，即（ 4-1）式中各指数为零，a=P=Y=0 或x=T0L0M0=1（4-2）称 x 为无量纲量（数），也称纯数，它具有数值的特性。无量纲数可以是两个相同量的比值。例如坡度J是高差对流程长度的比值,丿=竺，量纲式为J=i=1，即为无量纲数。其他如应变乞和 I厶I体积相对压缩值兰等均是无量纲数。v无量纲数也可以由几个有量纲量能过乘除组合而成,即组合结果 各个基本量纲的指数为零,满足了（4-2）式。如水力学中的雷诺数 Re（Reynolds Number）和佛汝德数Fr （Froude Number）等即为无量 纲数。现以雷诺数Re=为例说明如下：V已知流速v的量纲为LT-1，管径d的量纲为L,运动粘滞系数 v的量纲为QT-i,则雷诺数的量纲Re= LT1L=TOL0M0=1，为无T 2 T-1 量纲数。无量纲数具有如下特点：1、无量纲数既无量纲又无单位，它的数值大小与所选用的单位 无关。如某一流动状态的雷诺数Re=2000,不论是采用公制还是英制 单位,其数值均保持不变。如在原型和在模型两种规模大小不同的流 态中，其无量纲数是不变的。在模型试验中，为了模拟与原型液态相 似的模型液态，常用同一个无量纲数（Fr数或Re数等）作为相似判据。 无量纲数在模型水流和原型水流中应保持不变，这就是相似原理的基 础之一，将在后面介绍。2. 一切有量纲的物理量都将因选取不同单位制而有不同的数值， 如果用有量纲的物理量来表示一个客观规律的自变量，那么这个客观 规律所表达的因变量也将随所选用的单位而有不同的数值。而单位是 人们主观选用的，可是客观规律不应随主观意志而改变。只有无量纲 量不随所选用单位的不同而改变其数值，所以要正确反映客观规律， 最好将其物理量组会成用无量纲数表示的形式。或者说，一个完整、 正确的力学方程式应是用无量纲项组成的方程式。伯列特曼 （P. W. Bridgman）曾称此为“相对量（无量纲量）的绝对意义”定律。由此可见无 量纲量的重要性。量纲分析的目的之一就是找出正确地组合无量纲量 的方法。3. 无量纲量的重要性还表现在对数、指数、三角函数等任何超越 函数运算中，都必须是对无量纲量来说的。如气体等温压缩所作的功 W，可写为对数形式：W=p V ln（冬）1 1叫其中冬压缩后与压缩前的体积比，是无量纲量，故可以取对数， 1而对有量纲的某物理量取对数是无意义的。又如前进波在运移过程中, 水面高程 y 为y=Asinw（t-）V其中A为波幅，w为角速度，t为时间，x为波动的距离，v为波速。w(t-R的量纲为1 T=1,是无量纲量，因此可取正弦。vT女口，其中C也是一个有量纲的量，C=-lnp0，即()，只能对无量纲的比值巴取对数。p 0由无量纲量的上述特点，可以说明无量纲数的重要性。4-2 量纲的和谐原理量纲分析的基本原理是：凡是正确反映客观规律的物理方程，其 各项的量纲都必须是一致的,这称为量纲和谐原理。无数事实一再表 明，这个原理是正确的。因为只有两个同类型的物理量才能相加减， 也就是相同量纲的量才可以相加减；反之，把两个不同类型的物理量 相加减是没有意义的，例女把流速与质量加在一起是完全没有意义的 所以，一个方程式中各项的量纲必须是相同和一致的。但不同类型的 物理量却可以相乘除，从而得为诱导量纲的另一物理量，女流速和质 量相乘可得动量MLT-1 o下面举例说明量纲和谐原理的重要性。1. 一个方程式在量纲上是和谐的，则方程的形式不随量度单位的 改换而变化。量纲和谐原理可用来检验新建方程或经验公式的正确性 和完整性。例如伯诺里方程为各项的量纲都是长度量纲L,因而该式是量纲和谐的。各项的 单位不管是用米或英尺，该方程的形式均不变；女用方程中任一项遍 除式中各项，则可得到无量纲项组成的方程式。又如上一章中粘性流体运动方程式（纳维埃-司托克斯方程）为式中各项的量纲均为LT-2,因而该式是满足量纲和谐原理的。如一个方程式在量纲上是不和谐的，那就要检查一下方程式是不 是完整，所用的单位是不是一致，在数学分析中是不是有错误等。这 一原理对代数方程、微分方程和积分方程均可应用。2. 量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。例如当质量为 m 的物体沿半径为 R 的圆周运动时，作用于物体 的径向力F是与质量m、物体运动速度v及半径R有关。试用量纲和 谐原理，证明Fm2R采用L、M、T为基本量纲。已知各物理量的量纲为F=MLT-2, m=M, v=LT-i, R=L。根据量纲和谐原理，*号两边相同量 纲的指数应相等。式右侧m空=M LT-i2L-i=MLT-2 与式左侧F的量纲相同。R即证得F*mR又如,圆管中层流2的流量 Q 与管段长 l 成反比,与两端的压差 p成正比，与圆管半径r的n次方成正比，与液体粘滞系数“成反比,可写成如下形式：Qpm现由量纲和谐原理求未知指数 n。采用L、T、F为基本量纲。各物理量的量纲为Q=L3T-1， p=FL-2, M=FTL-2,代入上式：L3T-1=根据量纲和谐原理，n-l=3,得n=4,即Q*込3. 量纲和谐原理可用来建立物理方程式。仍用上例、水平圆管中层流的流量Q与圆管半径r、单位管长的 压强差年、液体动力粘滞系数“等因素有关，现用量纲和谐原理来确 定方程式的形式。可先假定Q=将基本量纲L、F、T代入，则上式可写成：L3T-1=使方程式两边相同量纲的指数相等，得F: 严 3=0L: -3 i+ 2-2a 3=3T: =-13联解上列三式，得 1=1, 2=4, 3=-1。 将这些指数代入原方程式为Q=俎 r4M-i或写成Q=k巴2所得结果与前例相同。k为一无量纲系数，可由试验和分析求得 k=n。8必须指出，尽管正确的物理方程式应该是量纲和谐的，但也有一 些方程式的量纲是不和谐的，这一般是指单纯依据实验观测资料所建 立的经验关系式。这类经验式在应用上是有局限性的。例如过去曾经 广泛应用的计算圆管水流流速的威廉-海生(William-Hazen)公式(英 制)：V=1.32C(D )0.63 J0.544其中v为断面平均流速，量纲为LT-1； C为表示管壁粗糙度的一个 尺度，其量纲可认为是L； D为直径，其量纲为L； J为水力坡降, 即单位管长中的水头降落，其量纲为凹=1。仏从量纲和谐原理，要求上式中的系数1.32具有下列量纲：1.32= L-0.63 T-1 这个量纲没有任何物理意义，这表明上式的量纲是不和谐的。如果说C的量纲不是长度的一次方，则因上式中的(1.32C)代表 阻力系数，可以从量纲和谐原理求(1.32C)的量纲，得1.32C= L-0.63 T-1 这个量纲也没有物理意义，又一次表明上式的量纲是不和谐的。在量 纲上不和谐的原因是：这个公式是纯经验性的，没有从理论上考虑公 式应有的结构形式，而是单纯地从实测数据建立的关系。这类公式还是不少的。例如在渠道设计中过去应用好几十年的一 个使渠道既不被冲刷又不会淤积的流速公式一一肯尼迪(Kennedy)公 式(公制)：V=0.546h0.64其中v为渠道断面的平均流速；h为平均水深。显然这个公式在量纲 上也是不和谐的。由于理论水平的不断提高，量纲不和谐的公式正在逐渐被淘汰。对这类量纲不和谐的经验公式，必须指明应采取的单位。这些经 验公式虽然在一定时期内仍在生产实际上使用着，但从量纲上看是不 和谐的，说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完 全的经验关系来表示局部的规律性。这就要求人们继续研究，力求得 到符合量纲和谐原理的正确反映客观规律的公式。4-3 量纲分析法之一雷别法量纲分析方法有两种，一种适用于比较简单的问题，称雷列 (L.Rayleigh)法。另一种是具有普遍性的方法，称为n定理，这将在下节 进行阐述。雷列法的实质即应用量纲和谐原理建立物理方程，在上节中已略 有涉及，现通过雷列的典型实例来进行说明。例4-1设有弦长为l的单摆(图4-1)，摆端有质量为m的摆球, 求单摆来回摆动一次的周期t的表达式。解 根据对现象的理解，认为周期t与弦长1、质量m、摆幅6 和重力加速度g等因素有关。即t=f(l m、6、g)上面的函数关系一般可用下列指数乘积形式表示，即t=f1()把上式写成量纲关系式，得T=根据量纲和谐原理，得M： a =0,2L:a 1+a 4=0，T: -2a 4=1联立求解上列三式得：a 1=1,a 2=0,a 4=-1 2 2 4 2代入原式为： t=(8)是指0的某一函数。从量纲分析角度来看，这个函数没有任 何限制，但从物理实验得(0)是一个常数，并等于2n，则得单摆周 期的关系式为：t=像这样因素较少的问题，除(0)=2n是需要另行确定外，量纲分 析可以告诉我们，质量 m 对周期没有影响，并可确定周期的基本关 系式为:T* 由该例还可以看出，当题中各物理量包含有几个基本量纲，就可 以写出几个确定指数的方程式，也就只能解出同样数目的未知数。例 4-2有两个物体质量分别为mr和m2o在真空中两物体间的相互引力F=Gm2，其中G为引力系数，T为两个物体间的距离。如果mi远 r 21比m2为大，则在引力的作用下，物体m2将近似地以mi为中心沿圆 形轨道运动。试用雷列法求物体m2绕轨道运行一周的时间周期 t的函数关系。解影响m2物体运行速度的物理量可能有my m2、r和G。但 m2的影响可以忽略，因为m2增大一倍，则引力也增大一倍，这使物 体m2在法线方向的加速度(空)维持不变。G虽是一个常数，但不能从 影响因素中去掉，因为mi和r中都不包含有时间的量纲，所以周期t 不可能只是 m1 和 r 的函数。这再一次表明，影晌因素不一定都是变 量。因而我们可以写出：t=f(m1,r,G). (1)可以认为，上述函数关系能用指数的乘积来表示，即t=km(2)其中 k 为某一无量纲常数。从引力公式可得G的量纲为M-1L3T-2。因而(2)式的量纲关系为：T=(3)从量纲和谐原理可写出以下关系式：a-Y=0,(4)0+3y=O,(5)-2y=1.(6)联解上列三式，得Y=-1,(7)20=3,(8)2a=-1,(9)2t=从而(2)式可写成(10)这个结果已在天文学里得到了证实。4-4量纲分析法之二n定理量纲分析法的更为普遍的理论，是著名的n定理，或称布金汉 (Buckingham)n定理4。这是量纲分析的主要组成部分。任何一个物理过程，如包含有 n 个物理量，涉及到 m 个基本量 纲，则这个物理过程可由n个物理量组成的(n-m)个无量纲量所表达 的关系式来描述。因这些无量纲量用n来表示。就把这个定理称为n 定理。设影响物理过程的 n 个物理量为 x1,x2， ， x ，则这个物理过程1 2n可用一完整的函数关系式表示如下：f(x1,x2， ， x )=0(4-3)设这些物理量包含有m个基本量纲。根据n定理，这个物理过 程可用(n-m)个无量纲的组合量n表示的关系式来描述，即f(ni,兀2,兀5)=0(4-3)n定理可以用数学证明，此处从略。必要时可查阅有关专著56。 现在介绍应用n定理的步骤：(1)根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理 量，即写成式(4-3)。这里所说的有影响的物理量，是指对所研究的现象起作用的所有 各种独立因素。对水流现象来说，主要包括水的物理特性，流动边界 的几何特性，流动的运动特征等。影响因素列举得是否全面和正确， 将直接影响分析的结果。所以这一步非常重要，也是比较困难的一步， 只能靠我们对所研究现象的深刻认识和全面理解来确定。下面将通过 举例来说明这一点。仍需指明的是，在列举影响这一现象的所有物理量中，既有变量， 也有常量。如水流现象中水的密度和粘滞系数等一般都按常量对待， 但也需列举进去。又如重力加速度g,一般也是常量，但在分析明槽 水流时，却是重要的影响因素之一。(2)从n个物理量中选取m个基本物理量，作为m个基本量纲的 代表， m 一般为 3。因此，要求的这三个基本物理量在量纲上是独立 的。所谓量纲上是独立的，是指其中任何一个物理量的量纲不能从其 他二个物理量的量纲中诱导出来。或者更严格地讲，这三个物理量不 能组合成一个无量纲量。如用x1=x2=x3=来表示基本物理量的量纲式，则xi, x2, x3不能形成无量纲量的条件是量纲式中的指数行列式不等于零，即#0(4-5)(4)从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个 基本物理量组合成一个无量纲的n项，这样一共可写出(n-3)个 n项：ni=n2=n =n-3式中a.、b.、c.为各n项的待定指数。iii(4) 每个n项既是无量纲数，即n=L0T0M0,因此可根据量纲 和谐原理，求出各巧n的指数a.、b.、c.。.(5) 写出描述现象的关系式F(n,兀2，nn-3)=0(4-4)这样，就把一个具有n个物理量的关系式简化成(n-3)个无量纲量 的表达式。如前所述，无量纲量才具有描述自然规律的绝对意义。所 以， (4-4)式才是反映客观规律的正确形式，而且也是进一步分析研究 的基础。由下面的实例可以很清楚地了解量纲分析在这方面的重要作 用。例 4-3 求文透里管的流量关系式(参照图 2-13 文透里管)。影响 喉道处流速v2的因素有：文透里管进口断面直径q,喉道断面直径 d2,水的密度卩，动力粘滞系数卩及两个断面间的压强差(假设文 透里管为水平放置)，现用n定理来求流量表达式。解(1) 根据上列影响因素，n=6，可写成下列函数关系式：f(v2,久，d2，p，“,3)=0(4-6)(2) 由上列6个物理量中选取3个基本物理量:即喉道直径d2， 代表几何尺度；喉道断面流速v2,代表运动学特征；水的密度p,代 表水流主要物性。这三者包括了 L、T、M三个基本量纲，根据三个基本物理量的量纲公式：d2=v2=p=各指数的行列式不为零=-1工0所以上列三个基本物理量的量纲是独立的。(3)写出n-3=63=3个无量纲n项：ni=n3=(1)(2)(3)(4)根据量纲和谐原理，各n项的指数分别确定如下：对(1)式,共量纲式为L=对L: 1=T: 0=M: 0=联立求解以上三式，得各指数为ai=1，竹=0，C=0。则可得到ni=同理，求得n2=n3=(5)将各n项代入(4-4)式得无量纲数方程为F( )=0或写成这就是文透里管流速的关系式，函数f2中Re=，这是用来判别流动型态的一个标准，称雷诺数(Re数)，将在下一章中介绍它的意义。 文透里管的流量Q=v2A2=，可得流量表达式为：其中无量纲函数 f2()可由试验或分析进一步求得。上述流量表达式与(2-28)、(2-29)式基本相同。例 4-4 求圆形孔口出流的流量公式。根据对孔口出流现象(见图2-16)的认识，影响孔口出流流速v的 因素有：作用于孔口的水头H，孔口直径d，重力加速度g，水的密 度p,粘滞系数卩及表面张力系数员现用n定理来求孔口流量公式。解(1)根据上述影响孔口流量的因素，列出 n=7 个物理量的关系式 为f(v, H, d, g , p ,卩,a)=0(4-8)(2)从上述7个物理量中选取3个基本物理量：水头H,代表现 象的主要几何尺度；孔团出流的流速v,代表现象中的运动学特征; 水的密度p,代表水流的主要物性。这三者包括了 L，T, M三个基本量纲，根据量纲式：H=v=p=则各指数项的行列式为=-1工0因此，这三个基本物理量的量纲是独立的。(3)可以写出n-3=7-3=4个无量纲兀数：(4)根据量纲和谐原理，各n数的指数可确定如下：对(1)式的量纲式为L= LT- i 厶冋MT-3C1，得L:1=T:0=M:0=联立求解以上三式，得 a1=0， b1=1， c1=0。则兀1=同理，求得兀2=3=4=(5)将各n数代入(4-4)式，并整理如下：则孔口出流流量 Q=Av= ，则或设=CQ 为流量系数，则Q=(4-9)通过量纲分析法的n定理得到了孔口流量公式的基本形式，知道 了 Q与 钢成比例；并且知道了影响流量系数的三方面因素，从而 找到了深入研究该问题的途径。通过流体力学的理论分析，得知CQ的基本值为旦=0.611(其中 Qn+2n=3.14)但还受三方面因素的影响。由实验得知，当1 0.1,出流水 H QH股收缩不完全，收缩系数大，CQ值将随之增大。第二个因素也=工, QvH vH其倒数空衡量水的粘滞性对孔口出流的影响，式中H为一特征长度，V对孔口出流实用上常用d代替H，即写成巴，这就是上节中的雷诺数VRe。此数小到一定范围(如Re=100000)时，粘滞性的影响将起作用，VCQ值将随之降低。另一个因素也的倒数即喧，实用上常写成會，叫 QV 2 Ho/po/p作韦伯数We，它代表表面张力的影响，只有当孔口很小，即出流水 股断面很小，以致表面张力的作用不能忽视，此时水股收缩也将受到 表面张力影响，致使CQ随之降低。由上述介绍可知，量纲分析法在水力学研究中是很有用处的。不 仅可以在已知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原理 可求出各物理量之间的基本关系式，并找出进一步研究该问题的途径 而且可以使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）正确的形式；同 时依靠n定理可决定相似准数（见下节）和正确处理试验数据，因此量 纲分析法在水力学和模型试验等领域被广泛应用，成为一个有效的研 究手段。然而量纲分析毕竟是一种数学分析方法，有其一定的局限性。例 如在选择与物理过程有关的影响因素时，既不要遗漏重要的物理量， 也不要把不必要的因素考虑进去，包括正确选择基本物理量应具有独 立的量纲等，这都要求人们正确理解该物理现象并熟练掌握这些方法 尤其是最后确定函数关系式的具体形式时，也还要依靠理论分析和试 验的成果。4-5 现象相似的意义及相似的特征前面谈到，很多水力学问题单纯依靠理论分析是不能求得解答的 而多要依靠实验研究来解决。这就需要知道如何进行实验以及如何把 实验结果应用到实际问题中去。相似原理就是实验的理论依据，同时 也是对液流现象进行理论分析的一个重要手段，它的应用非常广泛， 从小到物质分子结构、大到大气环流、海洋流动等，都可藉助相似原 理来探求其运动规律。在水力学的研究中，从某些水流内部机理直至 与水力机械、水工建筑物等方面的设计、施工与运行有关的水流问题， 都广泛应用水力学模型实验来进行研究，即在一个和原型水流相似而缩小了几何尺寸的模型中进行实验。而榈似原理就是模型实验的理论基磁。流动相似的概念是几何形状相似概念的推广和发展。在两个几何 相似的图形里，它们的相应长度都保持固定的比例关系，把一个图形 的任一长度乘上它们之间的固定比例关系，就能得到另一个图形里的 相应长度。把几何相似的概念推广到流动现象，则可得到流动相似的涵义如 下：如两个流动的相应点上所有表征流动状况的相应物理量都维持各 自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。表征流动的量具有各 种不同的性质，主要有三种：表征流场几何形状的，表征运动状态的 以及表征动力的物理量。因此，两个流动系统的相似，可以用几何相 似、运动相似及动力相似来描述。(一) 几何相似几何相似是指原型和模型两个流场的几何形状相似。要求两个流 场中所有相应长度都维持一定的比例关系，即1嚅式中1,代表原型某P(4-10)部位的长度，1代表模型相应部位的长度, m而片为长度比尺。几何相似的结果必然使任何两个相应的面积A和体积V也都维 持一定的比例关系，即(4-11)(4-12)九=A2A A I九=仝=入3V v Im可以看出，几何相似是通过长度比尺厶来表达的。只要任何一对 相应长度都维持固定的比尺关系心就保证了两个流动的几何相似。（二）运动相似运动相似是指质点的运动情况相似，即相应质点在相应瞬间里作相应的位移。所以运动状态的相似要求流速相似和加速度相似，或者两个流动的速度场和加速度场相似。如以 up 代表原型流动某点的流p速。 u 代表模型流动相应点的流速，则运动相似要求m(4-13)维持固定的比例，九叫做流速比尺。若流速用断面平均流速v表 U示，则流速比尺为九亠=心（4-14）v 5人其中知为时间比尺。所以运动状态相似要求有固定的长度比尺和 固定的时间比尺。流速相似也就意味着各相应点的加速度相似，因而加速度比尺也 决定于长度比尺和时间比尺，即九吕=心（4-15）a %入2（三）动力相似动力相似是指作用于液流相应点的各种作用力均维持一定的比例关系。如以F代表原型流动中某点的作用力，以F代表模型流动 pm中相应点的同样性质的作用力，则动力相似要求纭（4-16）Fm F固定不变。上述这三种相似是原型与模型保持完全相似的重要特征与属性， 这三种相似是互相联系和互为条件的。几何相似也可理解为运动相似 和动力相似的前提与依据，而动力相似是决定二个水流运动相似的主 导因素，运动相似则可认为是几何相似和动力相似的表象。总之，三 个相似是一个彼此密切相关的整体，三者缺一不可。关于上面所说的作用力，需作一些说明。作用力可以从不同的角 度进行分类，但最根本的是从流体的物理性质进行分类，如万有引力 特性所产生的重力，流体的粘滞性所产生的粘滞力，压缩性所产生的 弹性力以及液体的表面张力等。另外，还有液体的惯性所引起的惯性 力。除惯性力外上述作用力都是企图改变流动状态的力，丽惯性力是 企图维持液体原有运动状态的力。液体运动的变化和发展就是惯性力 和其他各种物理力相互作用的结果。因此，各物理力之间的比例关系 应以惯性力为一方，分别以它对其他各物理力的比例来表示。在两种 相似的流动里，这种比例应该保持固定不变。现把各种作用力的表达式和表征动力相似的准数推求如下；已知惯性力等于质量乘加速度，而质量m等于密度p乘体积V。 在相似现象中，任何两个相应的体积都维持一定的比例关系，即入3, 因此可以选择流动的某一特征长度的三次方13来表示某一体积。加速 度a=恒定流动中的加速度可用v竺代表。在相似流动中相应的流速都ds相似，故可以取某一特征流速v（如断面平均流速）代表其他各处的流速；竺也可用2来代表。因此惯性力F.(恒定流动时)可用下式来表征， dsI1即F1(4-17)其中pl2v代表单位时间内流过某一断面的质量，而plV代表单 位时间内流过某_断面的液体所具有的动量，它的大小反映流动的惯 性，即反映流体抵抗改变运动状态的能力。如把企图改变运动状态的共它物理力用F表示，熙各物理力与惯 性力之间韵比例关系可表示为Fpl 2 V 2这就是无量纲的牛顿数，以Ne表示。在相似流动中这个比例保持常数，即：Ne- f =const(4-18)pl 2 v2两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和判据, 也称牛顿相似准则。 (4-18)式也可写为也就是(4-19)上式表示原型与模型上的二个作用力之比等于二个惯性力的比值。这 是由牛顿第二定律(F=ma)所描述的两种相似流动现象所应遵循的相 似关系式。上式可改写成 式中乩也称为褶似判据(或相似指示数)，它和牛顿数一样，是用来 入Mu判别相似现象的重要标志。所以得出结论：对相似的现象，其相似判 据为1,或相似流动的牛顿数必相等3。(4-20)式是这一结论的数学表 示式。它也可由描述两种相似流动的牛顿第二定律直接导出。空为由各物理量组成的无量纲数，物理量F、m、v、t的相似比 mv尺之间的关系是受关系式沁=1约束的。四个相似比尺中可以任选 入凤三个，而第四个则必须由该式算出。如二个相似的流动，它们由同样的力所引起，当二者质量之比久=2，加速度之比2 =2 /2 =3，则只 m a v t有当二者所受的作用力之比为化=6，而不是别的数，才能流动相似。F所以,相似流动中的相似比尺是不能随便选定的,要受描述该流动现 象的数学方程式的制约。对所研究的水流运动来说,作用力有重力、粘滞力、表面张力、 弹性力等多种。对某一具体水流现象的模型试验来说,应将其所受的 单项作用力代入牛顿数Ne中的F项，从而求得表示单项作用力相似 的动力相似准则，这样(4-18)式中的F仅为一种作用力，可得到标志原型与模型相似的一个相似准则。如作用力为重力，其大小可用pgl来衡量，将它代入Ne数中的 F 项，就得重力与惯性力的比例关系为：F = pgl3 = gl_pl 2 v2 pl 2 v2 v2这个数的倒数并开方叫佛汝德数，用Fr表示。由(4-18)式得即在原型和模型中Fr =Fr ,称为重力相似准则，或佛汝德相似准则。pm根据F=A 竺,dn粘滞力大小可用理=lv来衡量，代入(4-18)式中的F项，得丄，这个数的倒数称雷诺数，以 plvRe 表示，它表征水流中惯性力与粘滞力之比， (4-18)式可写成：Re= _L=const.(4-22)“ Ip即在原型和模型中 Rep=Rem 称为粘滞力相似准则，或雷诺相似准 pm则。按同样的推理，表面张力用刃表征，/为表面张力系数，萄得表征水流中惯性力与表面张力之比的韦伯数(Weber Number)We以及表 面张力相似的韦伯相似准则：We=型=const.(4-23)/ /p弹性力用K12表征，K为流体的体积弹性系数，可得表征惯性力与弹性力之比的柯西数(Cauchy Number)Ca和弹性力相似的柯西相似 准则：Ca=上丄二const.(4-24)k Ip 这些相似准则不仅用来判别单项作用力为主的二个水流的相似，而且由这些相似准则可导出各有关的相似比尺关系 (将在后面介绍)，以作为模型设计之用；同时这些无量纲的相似准数在处理和分析试验数据方面也是很有用处的，如根据这些相似准数中所包含的物理量就 可明确哪些是试验中应测量的物理量等。上述介绍限于所研究的水流现象为仅有一种作用力的情况，从而 推导出惯性力与这一种作用力之比的相似准则，这样可使问题得到简 化。上述过程也可认为是。（4-18）式这个最一般化的牛顿相似准则对 具体简化了的水流相似运动的具体运用。但实际水流运动都是比较复杂的，同时作用于水流的不仅仅是一 种作用力，而是重力、粘滞力、表面张力等多种作用力的组合，有的 流动现象还涉及热力学、多相流动等复杂因素，这样导出的相似准数 就有好几个。也就是说两种相似的液流运动要同时受相应好几个相似 准则的约束。这就导致模型试验在实践中的困难，这个问题将在下面 4-7 中讨论。如前几章所述，水流运动可以用微分方程表述，故水流运动的相 似也可以从表述运动的微分方程出发来分析。因此，描述相似现象的 方程式（包括微分形式的方程式 ）可以改写成为各无量纲的相似准数 之间的关系式，称为准数方程4。下面以液流为例来加以说明。写出描述两个不可压缩粘性流体相似流动的纳维埃-司托克斯方程（X方向）如下：（4-25）（4-26）两个相似流动之间存在各种比尺关系为：将这些比尺关系代入(4-25)式，得(4-27)若两个豌动相似，则式(4-27)与式(4-26)应恒等。二者恒等的条 件是(4-27)式中各项的无量纲系数互等。即(4-28)改写式(4-28)，用第二项遍除各项，得各无量纲数恒等于1 的结 果，即(4-29)若将各比尺关系代入上式，以平均流速v代替u则可写成以下形式：上式中各个无量纲数都是相似准数，所以在相似流动中，各个相似准数必互等。也就是丄、空、吵、丄都恒等。这就是表征液流相似 vt gl vt pv 2的四个无量纲的相似准数(或称相似判据)。其各崮的名称为：=Fr,即为前述佛汝德准数；件21)=Re，即为前述雷诺准数；(4-22)=St，称为斯特罗哈准数，或称时间准数；(4-30)=Eu,称为欧拉准数。(4-31)由上述四式知，纳维埃-司托克斯方程所描述的两个不可压缩粘性流体的液流要保持相似，则上列四个相似准数必相等。要求四个准数同时相等，即表明各准数之间一定存在着某种函数关系，可以写成：O(Fr,Re,St,Eu)=0.(4-32)这就是相似的准数方程。关于(4-32)式的四个相似准数,有两个(Fr及Re)已在前面解释过,现需对另两个准数加以说明：斯特罗哈数(strouhal Number)St=L源于当地加速度竺x所表示的vtdt惯性作用,它是表征流动非恒定性的准数。对恒定流动此准数将不起作用。欧拉数(Euler Number)Eu=表征压力与惯性力的比值。在不pv 2可压缩流体中，起作用的是压差 P，而不是压强绝对值。因此对相似流动可写成Eu=。pu 2(4-32)式中没有We准数和Ca准数，这是因为微分方程式(4-25)及(4-26)中没有考虑表面张力和压缩性的作用。由表述不同水流现象的数学方程式均可得出相似准数方程，并从而求出相似比尺关系。如果表述水流现象的数学方程式事先并不知道 ,则可应用量纲分析法，如n定理，求出有关物理量的无量纲准数或相似准数方程。4-6 相似的条件上一节说明了相似现象的特征和属性，这一节说明相似的必要和充分条件。流动现象一般可由微分方程组来表述。显然，两个相似的流动也 必然被同一微分方程组所表述，这是流动相似的首要条件。微分方程有一般的解，也有特定的解。某一个特定流动就相应于 微分方程的一个特定的单值解，两个流动相似就意味着它们具有相似 的单值解。所以两个流动相似必须保持造成单值解的相似条件，造成 单值解的条件称为单值条件。因此，两个流动保持相似的另一个必要条件，就是要使单值条件相似。流动现象的单值条件包括以下几方面：(1) 几何条件流场的几何形状；(2) 边界条件流场进出口断面的流动情况及边界的性质，如 固体边界及其粗糙程度和自由面的流动条件等；(3) 初始条件即现象开始时刻的流动情况；(4) 物性条件即流体的物性，如密度、粘滞系数等。对于恒定流动，如原型为水流，模型也用水来作试验，则相似流 动问题的单值条件就是指几何、边界条件的相似。但只有上述两个相似条件不能保证流动的相似，还必须包括第三 个必要的相似条件即有关的相似准数要互等。而组成各准数的各物理 量中，有的是边界条件或初始条件的因素之一，由这些物理量组成的准数称为相似的条件准数。因此，这些条件准数的相 等是相似的必要条件。另一些物理量不属于边界条件或初始条件的，它们也单值条件无 关，它们的相等就不是相似的条件，而是相似的结果。综上所述可知，流动相似的必要和充分条件是： (1)相似的流动 必须由同样的微分方程来描述；(2)单值条件相似；(3)条件准数相等， 即由构成边界条件或初始条件的物理量所组成的准数要相等5。一般的流动问题要寻找的解答是流动中各点的流速、压强或切应 力，即求得流速场、压强场或切应力场。流动问题所涉及的相似准数， 如(4-32)式所表明的四个准数中，雷诺数和佛汝德数是表征特定流动 状况的，应该是已知的，是属于单值条件以内的。因此雷诺数和佛汝 德数是条件准数，它们的相等是流动相似的必要条件之一。斯特罗哈数是表征流动的非恒定性的，但非恒定性流动可有两种 情况，一是边界条件随时间变化，例如管道阀门开启过程中的非恒定 流动，这是一种边界条件，因此，这时斯特罗哈数也是条件准数之一， 它的相等是相似条件之一；另一种非恒定性属于流动的结果，如闸墩 后面的旋涡运动，有时表现为旋涡的产生、发展和消失的过程，这也 是非恒定性流动，但表征这种非恒定性流动的斯特罗哈数就不是条件 准数，这时斯特罗哈数的相等就成为相似的结果。欧拉数是表示各点压强的，所以它不是相似条件而是相似的结果 因此(4-82)式也可写成Eu= (Re，Fr，St).(4-33)此式是对非恒定流动而言的。对恒定流动或局部地区有非恒定现 象，则可写为Eu= 1(Re，Fr).(4-34)总结上述内容，要保证模型和原型水流的相似，应根据相似的必 要和充分来进行模型试验。不同的水流有不同的准数方程及不同的条 件准数，模型试验就有不同的做法。这在专门课程中是有介绍的。下一节将只针对比较常见和简单的水流情况，介绍几种主要的相 似准数及其应用。4-7 相似原理的应用和举例在前节已指出，要使两个流动现象相似，其相似的条件准数必须 相等。流动相似之后，则其他准数也将互等。如果要同时满足几个条 件准数都相等，在实际上是很困难的。因此一般在进行模型试验时， 多根据具体情况，抓住主要矛盾，使主要的条件准数保持相等，兼顾 或忽略次要准数的相等。实践证明，保证研究现象的主要方面相似（或 称近似相似），是能够满足实际问题所要求的精度的。下面通过一些 实例来说明如何应用前述相似原理来指导实验和将实验结果推广到 原型中去。现将各个条件准数相等的情况分别论述如下。（一）重力相似准则重力是液流现象中最常遇到的一个作用力，凡有自由水面并且允 许水面上下自由变动的各种流动，如堰坝溢流、闸孔出流及明槽流动 等，都是重力起主要作用的流动。在这类流动中，佛汝德数就是主要 的条件准数，佛汝德谁数相等就是重力作用的相似。原型、模型两个流动的佛汝德数相等，用数学表示为：Fr = Frpm或 （4-35）因原型和模型均在地球上，重力加速度g在各地变化甚小，故一般可认为g =g，即A=1，则上式可写为p mg这就是重力相似所要求的流速比尺。有了流速比尺及长度比尺后，就可得到：流量比尺为近件37）时间比尺为2 =（4-38）其他比尺也可推出。所以要作到重力作用相似，各个比尺之间就 必须遵从上列的关系，即各种比尺是不能任意选定的。当然，要能正 确应用这个相似准则，关键还在于能合理地判别所研究的流动是否主 要受重力作用；以及如果做不到相似，其影响如何。要回答这些问题 就需要深入分析具体的流动规律。（三）粘滞力相似准则管道、隧洞中的有压流动及潜体绕流问题主要是受水流阻力作用 重力对这种流动的机理不起作用，阻力又主要与粘滞力的作用有关， 所以这类流动的相似就要求粘滞力作用相似，也就是要求雷诺准数相 等，即Re =Repm或（4-39）一般情况下，原型与模型中都是同一种流体水（温度也相似） 故认为卩=,p =p，因此按上式就要求：p m p m亦即流速比尺为X =v上式说明：为了使流动中的粘滞力作用相似，就要求流速比尺是长度比尺的倒数，例如模型比原型缩小20 倍，则模型流速就要比原 型的流速大20 倍，这个要求一般是不很容易作到的。一根据式(4-89)可以求得其他有关比尺为：流量比尺XQ=(4-41)时间比尺X =(4-42)对于具有自由表面的河渠流动，因为它同时受重力和粘滞力的作用，从理论上讲就要求同时满足佛汝德准则和雷诺谁则，才能保证原型和模型的流动相似。但从(4-36)式要求九=石,而从(4-40)式则要求v九=丄，所以两者不能同时得到满足，唯一的出路是不用同一种流体。 v列这榉由同时满足Fr准则和Re准则出发可得：根据前述理由，应维持2=1,则上式为g九=v这就要求能找到一种模型试验用的流体，其运动粘滞系数 v 应 m是原型流体v的丄倍，才能同时满足沸汝德准则和雷诺准则。而这 p入3 2个要求在实用上(小规模的水槽试验除外)是不易作到的。所以一般说来，要同时满足上述两个准则，在事实上几乎是不可能的，除非作成 牛1的模型（即与原型大小相同），但这又失去模型试验的意义了。在工程实际上，为解决这一问题，就要对粘滞力的作用和影响作 具体深入的分析。以后面讨论流动型态及水流阻力问题的第五、六章 中可以知道，雷诺数是判别流动型态的一个标准，雷诺数不同，流动 型态就不同。在不同流动型态下，粘滞力对流动阻力的影响是不同的。 当雷诺数较小时，流动为层流型态，此时雷诺数相等是层流粘滞力作 用相似所要求的；当雷诺数大到一定程度，成为紊流型态的充分发展 阶段后，阻力相似并不要求雷诺数相等，而与雷诺数无关，只要考虑 佛汝德准数即可。这个例子说明，只有深入了解流动的特性与规律， 才能更好地运用相似原理。（三）弹性力相似准则弹性力的相似要求柯西数Ca相等，即这个相似准则只对像水击 现象那种流体压缩性起主要作用的流动才有用。因为声音在液体中的 传播速度（音速）c为K，所以柯西数实即流速与音速之比的平方。如 p把柯西数开平方，则得Ma/（4-45）CMa称为马赫数（Mach Number）。在空气动力学里，当流速接近或超过 音速时，要流动相似就要求马赫数相等。（四）表面张力相似准则表面张力作用相似要求原型和模型的韦伯数we相等，即（4-46）这个准则只有在流动规模甚小，以致表面张力作用显著时才有用。在一般永力学模型中当水流表面流速大于0.23 m/s,水深大于1.5cm时, 表面张力的影响可予忽略。（五）惯性力相似准则在非恒定流动里，当地加速度（空）不等于零，这个加速度所产生 dt的惯性作用与迁移加速度的惯性作用。之比就是斯特罗哈数St。I在非恒定流动里， St 数也可以是条件准数。这种非恒定流动的相似， 就要求斯特罗哈数相等，即（4-47）或如2由佛汝德准则确定，即2=万，则vv t（4-48）在原型流动中，在时间t,内发生的变化，在模型中必须在tm时 间内完成。（六）压力相似准则流动中压差的相似要求欧拉数Eu相等，即（4-49） 在相似流动中，压强场必须相似。但压强场相似是流动相似的结 果。根据上述流动相似的条件，可以得出压强场决定于流动边界的形 状和性质以及各条件准数的相等。用数学式可表示为Eu=0(Fr,Re,We,Ca,St,).般情况下，表面张力、弹性力的影响可以忽略，在恒定流动情况下，就可得到与式(4-34)相同的形式：Eu= (Fr, Re)。下面举例说明相似原理的应用。例4-5溢流坝的最大下泄流量为1000 m3/s，用缩小比尺久尸60 的模型进行试验，试求模型中最大流量为多少?如在模型中测得坝上 水头H为8cm，测得模型坝脚处收缩断面流速v为1 m/s,试求原 mm型情况下相应的坝上水头和收缩断面流速各为多少?解 为了使模型水流能与原型水流相似，首先必须做到几何相似由于溢流现象中起主要作用的是重力，其它作用力如粘滞阻力和表面 张力等均可忽略，故要使模型与原型保持相似，必须满足重力相似准 则。根据前述重力相似准则，流量比尺为久=Q则模型中流量Qm=m因为，所以原型坝上水头为：已知流速比尺为2=v则收缩断面处原型流速为v=p例4-6有一直径为15 cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18 m3/s，现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温 为10C(原型用油的运动粘滞系数v=0.13 cm2/s)，问水的模型流量应 为多少才能达到相似?若测得5 m长模型输水管两端的压强水头差为3 cm,试求在100m长输油管两端的压强差应为多少(用油柱高表示)?解(1) 因为圆管中流动主要受粘滞力作用,所以相似条件应满足 雷诺准则,即由于d =d，则上式可化简为：pm或直接写成下式,将已知油的v =0.13cm2/s，水的v =0.131cm2/s代入上式，可得水的模pm型流量为Qm=m(2)研究压强问题,须按欧拉准数相等,才能保证原型模型压强 差相似,即已知模型测得压强水头差=3cm，贝U原型输油管两端的压强差 (油柱)为已知由于YPg g=g，因此得5m长输油管的压差油柱为pmh=p则在100 m长管道中的压强差(油柱高)为295 X 100=59m.5例 4-7 轮船的螺旋桨缩制成几何比尺为 4 的模型，在水面下进行试验，选定相似准则并求出转速比尺和推力比尺。解 螺旋桨在水下运动，受粘滞力作用；同时，当螺旋桨转动时， 水面将引起波动，自由水面的任何变动都受重力作用的影响；考虑到 模型不是太小, 表面张力可以忽略。如前所述，一个模型要同时满足佛汝德准则和雷诺准则相似是很 难做到的。按(4-48)式，同时满足两个准则就要求模型中采用一种符 合下述要求的液体，即或模型中要用等于1倍水的v的液体来作试验，这在实际上是不能 8p到的。但已知原型螺旋桨转动时，流动的雷诺数已足够大，这时粘滞阻 力相似已不要求雷诺数相等，即已与雷诺数的大小无关。因此要求模 型中的Re大到足以使模型中的阻力也与雷诺数无关，就可按重力相 m似准则设计模型。即按佛汝德准则得流速比尺为：久=v又知v二eR,此处3为角转速，R为旋桨半径，则即X =v即也就是=2 .mp对推力F的比尺，根据XF=，又知2=