最新高中数学新课标基础知识常见结论详解

高中数学新课标根底知识常见结论详解整理 宿城一中 王占魁2023.02-03一、集合与简易逻辑一、理解集合中的有关概念1集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。集合元素的互异性：如：，求； 2集合与元素的关系用符号，表示。3常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。4集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如：；5空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。如：，如果，求的取值。二、集合间的关系及其运算1符号“是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的表达 点与直线面的关系 ； 符号“是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的表达 面与直线(面)的关系 。2； 3对于任意集合，那么：；三、集合中元素的个数的计算：1假设集合中有个元素，那么集合的所有不同的子集个数为_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是。2中元素的个数的计算公式为：；3运用韦恩图.四、满足条件，满足条件，假设 且 ,那么是的充分非必要条件；假设 且 ,那么是的必要非充分条件；假设 且 ,那么是的充要条件；假设 且 ,那么是的既非充分又非必要条件；五、德摩根公式：六、数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决二、函数一、映射与函数： 1映射的概念： 第一个集合中的元素必须有象且不能有剩余，第二个集合中元素可以有剩余；形式：一对一，或多对一。2一一映射：一对一3函数的概念：数集到数集的映射。4映射的个数，如：假设，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，假设，那么到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。二、函数的三要素：_，_， _。相同函数的判断方法：_； _(两点必须同时具备)1函数解析式的求法：定义法拼凑：换元法：待定系数法：赋值法： 2函数定义域的求法：原那么：函数表达式有意义或使实际问题有意义。，那么_； 那么_；，那么_； 如：，那么_；含参问题的定义域要分类讨论；如：函数的定义域是，求的定义域。对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，那么 _；定义域为_。3函数值域的求法：分析观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过根本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；逆求法反求法,别离常数法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；换元法：i代数换元对形如的函数常设来求值域；ii三角换元法对形如的函数常用“三角换元，如令来求值域。注意:(i)新元的取值范围，(ii)三角换元法中，角的取值范围要尽量小。判别式法： 对形如的函数常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。注意：定义域为R，要对方程的二次项系数进行讨论根本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；注意“一正、二定、三等利用函数有界性：转化为含正弦、余弦等的函数，运用函数有界性来求值域、等；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。数形结合或几何意义：根据函数的几何图形，利用数形结合斜率、距离、绝对值的意义等的方法来求值域。导数法求以下函数的值域：2种方法；2种方法；2种方法；三、复合函数的有关问题1复合函数定义域求法： 假设f(x)的定义域为a，b,那么复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出 假设fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域。2复合函数单调性的判定：首先将原函数分解为根本函数：内函数与外函数；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性那么增，异性那么减来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。四、分段函数：值域最值、单调性、图象等问题。解决分段函数问题的原那么：先分段解决，再下结论。五、函数的性质：一函数的单调性单调性的定义：在区间上是增减函数当时，；单调性的判定定义法：注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法见导数局部；复合函数法见上三；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。应用：比拟大小，证明不等式，解不等式。二函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件前提；是奇函数；是偶函数 ；奇函数在原点有定义，那么；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；6假设所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；三函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，假设有 其中为非零常数，那么称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。2三角函数的周期 ； ； ；3函数周期的判定：定义法试值 图像法 公式法利用2中结论与周期有关的结论：或的周期为；的图象关于点中心对称周期2；的图象关于直线轴对称周期为2；的图象关于点中心对称，直线轴对称周期4；应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。(四)、函数图像变换(1)平移变换：，左“+右“-；上“+下“-；注意：1有系数，要先提取系数。如：把函数()经过_平移得到函数()的图象。2会结合向量的平移，理解按照向量，平移的意义。(2)伸缩变换：， 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；， 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；(3)对称变换：； ；xOyy=f(x)(2,0)(0,-1)(4)翻转变换：右不动，右向左翻在左侧图象去掉；上不动，下向上翻|在下面无图象；如：的图象如图，作出以下函数图象：1；2；3；4；5；6；7；8；9。六、反函数：1定义：2函数存在反函数的条件：_；3互为反函数的定义域与值域的关系：_；4求反函数的步骤：将看成关于的方程，解出，假设有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域即的值域。5互为反函数的图象间的关系：_；6原函数与反函数具有相同的单调性；7原函数为奇函数，那么其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。七、函数零点的求法：直接法求的根；图象法；二分法.八、几种常用的函数：一一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；二一元二次函数：一般式：；对称轴方程是_；顶点为 _；两点式：；对称轴方程是_；与轴的交点为_；顶点式：；对称轴方程是_；顶点为_；1一元二次函数的单调性： 当时：_为增函数；_为减函数；当时：_为增函数；_为减函数；2二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，、假设顶点的横坐标在给定的区间上，那么时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、假设顶点的横坐标不在给定的区间上，那么时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型：顶点固定，区间也固定。如：顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数3二次方程实数根的分布问题：转化为二次函数的图像与x轴的交点分布。注意：假设在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。三反比例函数：四幂函数1幂函数的定义：一般地，1函数为常数，Q)叫做幂函数。2函数、为互质的整数叫做幂函数2幂函数的性质：图象都经过点奇偶性：(分子)为偶数，偶函数；(分母)为偶数，非奇非偶函数；、均为奇数，奇函数。单调性：时，在上递增；k1时函数在第一象限内的图像向下凸；0 k 1时函数在第一象限内的图像向上凸；时，在上递减；其它区域的单调性结合奇偶性判断。如在以下图像中找出所给函数的大致图像o xy o xy xy o xy o y xxy o xy o y o xxy o 五指数及指数函数：1._( ) _( )2 _( ) 3_= _ ;_为既约分数4指数运算法那么： _ _ _ 5. 指数函数(1)函数的定义域为R， (2)函数的值域为， (3)当时函数为减函数，当时函数为增函数.oy0a11yax6指数函数函数图像：(1)指数函数的图象都经过点0，1，且图象都在第一、二象限，2指数函数都以轴为渐近线当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴， 3对于相同的，函数的图象关于轴对称.六对数及对数函数： 1积、商、幂、方根的对数 都是正数，且1_2_3_2对数的换底公式及对数的恒等式供选用1 _ 对数恒等式2_ 3换底公式4 5(,且,.).3.对数函数：y= (ao,a1)定义：函数称对数函数，函数的定义域为，函数的值域为R，当时函数为减函数，当时函数为增函数， o0a11y=logaxyx4对数函数的图象对数函数的图象都经过点0，1，且图象都在第一、四象限，对数函数都以轴为渐近线当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴.对于相同的，函数与的图象关于轴对称.注意：1对数函数与指数函数互为反函数. 图象关于y=对称2比拟两个指数或对数的大小的根本方法是构造相应的指数或对数函数，假设底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比拟或与0比拟。3在解题中，往往要对a分a1和0a0)是等比数列。16、bnbn0是等比数列，那么logcbn (c0且c1) 是等差数列。17、在等差数列中：项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ；项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1)； ；18、假设；假设；假设。19、 在等比数列中：（1） 假设项数为，那么 2假设数为那么，三、数列通项的求法：分析法；定义法利用等差或等比数列的定义；公式法：累加法；叠乘法型；6构造法型；迭代法；间接法例如：；作商法型；待定系数法；11理科数学归纳法。注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。1、分组法求数列的和：如an=2n+3n 2、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 4、倒序相加法求和：如an=五、求数列an的最大、最小项的方法：an+1-an=如an= -2n2+29n-3 (an0)如an=an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=六、三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制1角度制：周角的叫做1度角，用角度作单位来度量角的制度叫做角度制。2弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制3在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad那么|=。4角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度5弧长公式：；扇形面积公式：。2三角函数定义：角中边上任意一点为，设那么：3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆归纳：1公式中的角可以是任意角，记忆时看成是锐角2诱导公式可以归纳为：kkZ的三角函数值，当k为偶数时，得的同名函数值；当k为奇数时，得的异名函数值，然后在前面加上一个把看成是锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限，这里的奇偶是指k的奇偶。如：tan()=cot, cos()=sin, sin()=sin5同角三角函数的根本关系：；6两角和与差的正弦、余弦、正切公式：asinx+bcosx=其中sin=，cos=。7二倍角公式：；。8半角公式：tan=9三角函数的图像和性质1“五点法做的简图 五点的取法：设X=，由X取0，求相应的x值及对应的y值，再描点作图。2图象变换：函数的图象可由函数y=sinx的图象做如下变换得到：相位变换：y=sinxy=sin(x+)，把y=sinx图象上所有的点向左(0)或者向右(1)_(0Ab bb，bc ac3加法法那么：aba+cb+c推论1 移项法那么：a+bcacb推论2 同向可加性：ab,cda+cb+d4乘法法那么：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd推论2 乘方法那么：推论3 开方法那么：5倒数法那么：ab0,ab注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题;中介值法：先把要比拟的代数式与“0比，与“1比，然后再比拟它们的大小。二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数:假设，那么当且仅当时取等号注意：一正二定三相等；根本变形(当且仅当ab时取“=号).根本应用：放缩，变形；求函数最值：注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：函数的最小值；假设正数满足，那么的最小值。三、绝对值不等式：注意：上述等号“成立的条件； 四、证明不等式常用方法：1比拟法：作差比拟：作差比拟的步骤：作差：对要比拟大小的两个数或式作差。变形：对差进行因式分解或配方成几个数或式的完全平方和。判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意：假设两个正数作差比拟有困难，可以通过它们的平方差来比拟大小。2综合法：由因导果。3分析法：执果索因。根本步骤：要证只需证，只需证4反证法：正难那么反。5放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大或缩小利用根本不等式，如：；利用常用结论：、；、 ； 程度大、 ； 程度小6换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：，可设；，可设()；，可设；，可设；7构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；五、不等式的解法： 1一元一次不等式：、：假设，那么；假设，那么；、：假设，那么；假设，那么；2一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：3绝对值不等式：假设，那么；注意：解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：(1)对绝对值内的局部按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值； 通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论的方法来解。4分式不等式的解法：通解变形为整式不等式：0f(x)g(x)0，0；数轴标根法,步骤:移项通分分子分母最高次项的系数都化为正分子分母分别因式分解数轴标根写出解集5不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共局部。6解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况那么一般需要讨论：不等式两端乘除一个含参数的式子时，那么需讨论这个式子的正、负、零性.在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，那么需对它们的底数进行讨论.在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况有时要分析，比拟两个根的大小,设根为要分、讨论。八、平面向量1根本概念：1 向量是既有大小又有方向的量，向量常用有向线段来表示，2向量的长度叫做向量的模，记作,3长度为零的向量叫做零向量，记作,零向量的方向任意4长度等于1的向量叫做单位向量; 5方向相同或相反的向量叫共线向量,也叫平行向量, 6长度相等，方向相同的向量叫相等向量。2加法与减法的运算：(1)向量的加法是由几何作图定义得，向量可由平行四边形法那么或三角形法那么法那么作得。(2)向量的减法的几何表示：可由平行四边形法那么或三角形法那么法那么作得以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，那么两条对角线的向量=+,=,=且有+3加法与减法的代数运算假设a=,b=那么ab=4向量加法有如下规律：=(交换律);+(+c)=(+ )+c结合律;+0=()=03实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：(1)=;(2) 当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当=0时，=0(3)假设=，那么=4两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得=(其中)(2) 假设=,=那么5.平面向量根本定理：(1)假设，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得= +。不共线向量，叫做表示这平面内所有向量的一组基底。(2)、向量的正交分解：如果基底的两个基向量和互相垂直,那么称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫向量的正交分解。3、向量的直角坐标：，叫向量在x轴上的坐标分量,叫在y轴上的坐标分量.6P分有向线段所成的比：(1)设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，那么存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时，0；当点P在线段或的延长线上时，0；(2)分点坐标公式：假设=；的坐标分别为,；那么 1， 中点坐标公式：7.向量的数量积：1向量的夹角：两个非零向量与，作=, =,那么AOB=叫做向量与的夹角。2两个向量的数量积：两个非零向量与，它们的夹角为，那么b=bcos其中bcos称为向量b在方向上的投影3向量的数量积的运算律交换律数乘结合律分配律注意：积不适合乘法结合律，即与未必相等。数量积的消去律不成立，即=，不一定得到=(4) 向量的数量积的性质：假设=,b=那么e=e=cos (e为单位向量);bb=0，b为非零向量;=;cos=九、直线与圆1直线的倾斜角：轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角。 规定：与轴平行或重合的直线倾斜角为0，倾斜角的范围：0，1802斜率：假设倾角为，90直线l经过两个不同点P1(1,1) P2(2,2),那么直线l的斜率k=tan=3直线方程点斜式： ；斜截式： ；截距式： ；注意：截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形两点式： ；一般式：，A，B不全为0。直线的方向向量：，法向量4求解线性规划问题的步骤是：1列约束条件；2作可行域，写目标函数；3平移直线确定目标函数的最优解。直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 有斜率 且 不可写成 验证 分式5两条直线的位置关系：6几个公式1设Ax1,y1、B(x2,y2)、Cx3,y3，ABC的重心G：；2点Px0,y0到直线Ax+By+C=0的距离：；3两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；直线方程 平行直线系 垂直直线系 相交直线系 7直线系8圆的方程：标准方程： ； 。一般方程： 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E24AF0；圆的参数方程：圆的参数方程为9圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。10圆系：； 注：当时表示两圆相交弦所在直线方程： (D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 。11点、直线与圆的位置关系：主要掌握几何法点与圆的位置关系：表示点到圆心的距离点在圆上；点在圆内；点在圆外。或点P(x0,y0),圆的方程：(xa)2+(yb)2=r2. (x0a)2+(y0b)2r2点P(x0,y0)在圆外；(x0a)2+(y0b)2r2点P(x0,y0)在圆内；(x0a)2+(y0b)2=r2点P(x0,y0)在圆上直线与圆的位置关系：表示圆心到直线的距离相切；相交；相离。点P(x0,y0),圆的方程：(xa)2+(yb)2=r2.圆与圆的位置关系：表示圆心距，表示两圆半径，且相离；外切；相交；内切；内含。12与圆有关的结论：过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。十、圆锥曲线1.椭圆第一定义：；第二定义：平面内到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数=的点的轨迹是椭圆的离心率标准方程：，注意焦点在哪一坐标轴上4椭圆的简单几何性质(a,b,c,e的几何意义，焦点坐标，准线方程)5椭圆的参数方程当点P在椭圆上时，可用参数方程设点的坐标，把求最值问题转化为三角函数问题。2双曲线：第一定义：；第二定义：平面内到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数=的点的轨迹是双曲线的离心率标准方程：，注意焦点在哪一坐标轴上4双曲线的简单几何性质(a,b,c,e的几何意义，焦点坐标，准线方程，渐近线)3.抛物线1定义：平面内到一个定点的距离和到一条定直线不在上的距离的比等于的动点的轨迹是抛物线2抛物线的简单几何性质(开口方向，焦点坐标，准线方程)4. 焦半径公式1椭圆：e为离心率； 左“+右“-；2双曲线当P为右支上的点时，当P为右支上的点时，3抛物线：5.弦的有关问题1弦长公式：；2焦点弦长：椭圆：；抛物线：x1+x2+p=；3通径最短弦：椭圆、双曲线：；抛物线：2p。4过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： 同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线；5椭圆中的结论：内接矩形最大面积 ：2ab；P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，那么 ；椭圆焦点三角形：，；点 是内心，交于点，那么 ；当点与椭圆短轴顶点重合时最大； 6双曲线中的结论：双曲线a0,b0的渐近线：； 共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0；双曲线焦点三角形：，；P是双曲线=1(a0，b0)的左右支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，那么PF1F2的内切圆的圆心横坐标为；双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；焦点到渐近线的距离总是，且垂足为准线与渐近线的交点。7抛物线中的结论：抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质： x1x2=；y1y2=p2； ；以AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与轴相切；。 抛物线y2=2px(p0)内结直角三角形OAB的性质：； 恒过定点；中点轨迹方程：；，那么轨迹方程为：； 。抛物线y2=2px(p0)，对称轴上一定点，那么：当时，顶点到点A距离最小，最小值为；当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。6直线与圆锥曲线问题解法：直接法通法：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“还是关于“的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为防止繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解。设而不求代点相减法：涉及弦长问题，常用“韦达定理法设而不求计算弦长(即应用弦长公式)- 涉及弦的中点问题，点差法处理，步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)； 作差得； 解决问题。7求轨迹的常用方法：1定义法：利用圆锥曲线的定义； 2直接法列等式；3代入法相关点法或转移法；待定系数法；5参数法；6交轨法。十一、立体几何1.平面的根本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。能够用斜二测法作图(注意长度和角度的变化)。2.空间两条直线的位置关系：1平行、相交、异面的概念；2会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。3证明直线与直线的平行的思考途径：转化为判定共面二直线无交点；转化为二直线同与第三条直线平行；转化为线面平行；转化为线面垂直；转化为面面平行.4.证明直线与直线的垂直的思考途径：转化为相交垂直；转化为线面垂直；转化为线与另一线的射影垂直；转化为线与形成射影的斜线垂直.3.直线与平面1位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。2直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。证明直线与平面的平行的思考途径：转化为直线与平面无公共点；转化为线线平行；转化为面面平行.3证明直线与平面的平行的思考途径：转化为直线与平面无公共点；转化为线线平行；转化为面面平行.4三垂线定理及其逆定理：三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系,如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角。4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，垂直是相交的一种特殊情况(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。证明平面与平面平行的思考途径：转化为判定二平面无公共点；转化为线面平行；转化为线面垂直。(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。证明平面与平面的垂直的思考途径：转化为判断二面角是直二面角；转化为线面垂直性质定理；转化为两平面的法向量平行.5柱1棱柱与圆柱统称为柱体；2掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。3掌握长方体的对角线的性质。长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为那么：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为那么有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1方体的对角线的长l:4平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体，这些几何体之间的联系和区别。5各侧面的面积和=， 。为直截面的周长，c为底面周长，l为侧棱长6，6锥1棱锥与圆锥统称为锥体2棱锥的定义、正棱锥的定义底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心圆锥的定义3各侧面的面积和，Rl，=Sh，Sh=7台1棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的局部叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。2圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的局部叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。3h(+)，8球(1)球的截面性质：截面为圆，且满足：(2)，9正多面体：掌握定义和正多面体的种数是哪几个？_凸多面体欧拉公式：V+F-E=2V顶点数，E棱数，F面数10空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：1正视图：物体前前方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；2侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；3俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度aqq2q1ABDC11三余弦定理最小角定理、立平斜公式设AC是内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BDAD，垂足为D，设AB与(AD)所成的角为，.AD与AC所成的角为，.AB与AC所成的角为那么.12距离1两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。求法：定义法，即求公垂线段的长。如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。转化成求直线与平面的距离.2点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P，那么线段PP的长度就是点到平面的距离；求法：直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长，“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。转移法，转化成求另一点到该平面的距离等体积法，利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高。3直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；4平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形假设表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。5球面距离：经过球面上的两点的球大圆的劣弧长，叫做这两点的球面距离。求球面距离步骤：求线段AB的长；求球心角AOB的弧度数；求劣弧AB的长。 13.夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0，90、0，90和0，180。1两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。2直线和平面所成的角直接法利用线面角定义求法：“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法。先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度l作比，得sin，从而求得。3二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；利用三垂线定理或逆定理：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。由一个半面内一点作或找到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解垂面法：自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角。射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。cos，其中S 为斜面面积，S为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角14.正四面体的性质：设棱长为，那么正四面体的：高：；对棱间距离：；相邻两面所成角余弦值：；内切球半径：；外接球半径：理科局部15空间向量的概念向量：在空间，具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。16向量运算和运算律1向量运算的平行四边形法那么和三角形法那么仍然适用。2空间向量的数乘运算的运算：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，当0时，与方向相同；当0时， 是零向量。3空间向量运算满足的运算律：加法交换律：加法结合律：数乘第一分配律：数乘第二分配律： 数乘结合律：17平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数使18向量与平面平行：1如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作。注意：向量与直线a的联系与区别。2共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。3共面向量定理 如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使4推论M、A、B、P四点共面的充要条件：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使或对空间任一定点O，有19空间向量根本定理：如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使说明：由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。20空间向量数量积ABO1夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，那么角AOB叫做向量与的夹角，记作说明：规定0,因而=；ABO如果=，那么称与互相垂直，记作；在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图、中的两个向量的夹角不同，图中AOB=，图中AOB=,从而有=.2空间向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。即=3在上的投影：4空间向量的数量积的运算律交换律数乘结合律分配律注意 ：数量积不适合乘法结合律，即与未必相等。数量积的消去律不成立，即=，不一定得到=5空间向量的数量积的性质：e=e=cos (e为单位向量)；bb=0，b为非零向量；=；cos=21. 空间向量的坐标运算设，那么(1)； (2)；(3)(3)22.向量法求空间的角(1)夹角公式.设，那么cos=(1)异面直线所成角cos=其中为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量 (3) 线与平面所成角(其中为线面角，为平面的法向量)(4)二面角的平面角根据具体图形确定是锐角或是钝角或=，为平面,的法向量23、向量法求空间的距离(1)点到直线距离 (点在直线l上，为直线l的方向向量，). (2) 异面直线间的距离. (是两异面直线，其公垂向量为