浅析一致收敛性的判定极其应用研究分析 工商管理专业

浅析一致收敛性的判定极其应用研究摘要:随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.鉴于以上所言，本文在前人已有的研究基础上，以连续性，可微性，可积性为基本切入点，列举两个一致收敛在解析函数中的应用，探讨一致收敛性在函数解析性中的作用关键词：函数项级数；一致收敛性；解析性；应用.The determination of uniform convergence is extremely applied.Abstract: with the development of science and technology, have already cant satisfy peoples needs of elementary function. As people to the series of in-depth study, the theory of infinite series has been rapid development. With infinite series, the series expressed by function terms arises at the historic moment. Series expressed by function terms in the field of mathematical sciences and engineering technology have a wide range of applications, the uniform convergence of series expressed by function terms plays an important role in the application, so the function of a series of uniform convergence and its decision has become an important link in the whole process of application. In view of the above, this article, on the basis of existing research on continuity, different, inseparability as the basic starting point, cited two uniform convergence in the application of the analytic function, to explore the role of uniform convergence in the analytical function.Key words: function term series; Uniform convergence; Analyticity; Applications.1 引言随着科学技术不断的发展，人们对于自然的认识逐渐深入，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地；其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性判定的方法进行归纳与总结，并一一举例证明，并且以一类最简易的函数项级数幂级数为例，对其在计算方面的应用进行了举例说明3.2 一致收敛性的判定与性质2.1 一致收敛性的内容 想要研究一致收敛性在函数的解析性中的应用以及作用，我们首先就要了解什么是一致收敛性设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛4.2.2 一致收敛性的判定为了研究一致收敛的性质，首先简要的了解判定函数项级数的一致收敛性的几种方法2.2.1 定义证明法设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛5. 定理：若对，0使得,并且当时有.则当时一致收敛于.例2.1：若在上可积，且与在上都可积 .设，则在上一致收敛于. 证明： = = 所以时，一致收敛于.2.2.2 定理证明法函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是 （2.1）例2.2 定义在上的函数项级数，由于 ， 知道级数在上不一致收敛 对任意 ， 可得级数 在上内闭一致收敛2.2.3魏尔斯特拉斯判别法设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若对一切，有， （2.2）则函数项级数在上一致收敛6例2.3 函数项级数，在上一致收敛，因为对一切有，而正项级数是收敛的此类判别法是根据级数各项的特点来判别级数是否一致收敛2.2.4阿贝尔判别法设（）在区间上一致收敛；（）对于每一个，是单调的；（）在上一致有界，即存在正数对一切和正整数，使得， 则级数在上一致收敛证 由（），任给，存在某正数，使得当及任何正整数，对一切，有又由（），（）及阿贝尔引理得到 2.2.5狄利克雷判别法 设 （）的部分和函数列 = 在上一致有界； （）对于每一个，是单调的； （）在上一致收敛于0 ， 则 级数在上一致收敛. 证明：由（），存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时， 对任何一个 ，再由（）及阿贝尔引理，得到 再由（），对任给的0，存在正数，当时，对一切，有,所以 于是由一致收敛性的柯西准则，得级数在上一致收敛7-9.例2.4：设单调收敛于0，则与在上内闭一致收敛.证明： 数列收敛于0，意味着关于 一致收敛于0. 另外，对任意 当 时， =； =； 由狄利克雷判别法，得到 与在上一致收敛， 故 与在上内闭一致收敛.2.3 一致收敛的性质 本文想要研究一致收敛性在函数的解析性中的应用，对一致收敛性的性质进行了解是极其必要的本章节列举了一致收敛函数列及函数项级数的几项性质 在开始了解一致收敛性的性质前首先了解一条定理定理 设函数列在上一致收敛于，且对每个，则和均存在且相等102.3.1函数列的连续性若函数列在区间上一致收敛，且每一项在上都连续，则其极限函数在上也连续由以上性质可得到以下推论：若连续函数列在区间上内闭一致收敛于，且每一项在上都连续，则在上连续11而函数的连续性正是函数的解析性中的一项性质例2.5 在上不一致收敛，但内闭一致收敛，其极限函数在上是连续的2.3.2 可积性若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则 （2.3）这一项定理表明在一致收敛的条件下，函数列的极限运算与积分运算的顺序是可以交换的2.3.3可微性设为定义在上的函数列，若 为的收敛点，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则 （2.4）例2.6 函数列， 与， 在上都收敛于，由于， 所以导函数列 在上不一致收敛，但对任意， ， 所以在上内闭一致收敛 且在上，仍成立 事实上，在上都成立2.3.4函数项级数的连续性若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项在上都连续，则其和函数在上也连续11在此定理的基础上，我们可以知道在保证一致收敛的前提下，无限项的求和运算与求极限运算可以交换顺序9而且我们也可以看出，由函数项级数的连续性可以直接的判断出它的和函数的连续性，借此应用于函数的解析性当中2.3.5逐项求积若函数项级数在上一致收敛，且每一项在上都连续，则 （2.5）2.3.6逐项求导若函数项级数在上每一项都有连续的导函数， 为的收敛点，且在上一致收敛，则 （2.6）以上两项性质指出，在一致收敛的条件下，逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导12-132.4 小结本章系统地介绍了一致收敛性的概念，判定方法及性质本章所介绍的六项性质不但可以应用于求函数列的极限函数以及函数项级数的和函数，同时还可以通过这六项定理，由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性例如我们由一个函数项级数的连续性就可以看出它的和函数的连续性，且和函数求积求导也可以利用函数项级数逐项求积求导的方式来进行运算而函数项级数逐项求积求导也是和与是否一致收敛紧密相关的而把函数转化为级数，利用逐项求积的性质对函数的解析性进行证明与判断也是函数的解析性中极为常用的手段由此我们也可以看出一致收敛性在函数的解析性中拥有着极其重要的作用3 幂级数的应用 幂级数是一种最简易的函数项级数，下面我们就以幂级数为例，说明函数项级数的一致收敛性在计算中的相关应用3.1幂级数的定义定义5 由幂函数列所产生的函数项级数，称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上讲，它可以看作是无穷多项式函数的延伸15.3.2 幂级数的应用幂级数在高等数学中是一个非常重要的内容,因为它有一个简单的结构和推导,逐项逐项正交的优良性能使其成为一种有效的计算工具,它可以应用于近似计算,积分计算,级数求和和欧拉公式推导,等等。如果你能熟练使用函数的幂级数和幂级数的性质可以把一个复杂的一些性质和不容易理解的形式表达成最简单的形式,所以使用它可以使思路更加明确去解决问题,条理组织的更清楚16.3.2.1 幂级数在近似计算中的应用我们能利用幂级数展开式来近似计算，也就是说，根据精度要求在展开式的有效区间上，可以近似的用这个级数计算函数值.例3.1 计算积分 的近似值，要求误差不超过0.0001.解 由于，因此所给积分是反常积分.如果定义被积函数在处的值为1，则它在积分区间上连续.展开被积函数，有 ，在区间上逐项积分，得 .因为第四项的绝对值 ，所以取前三项的和作为积分的近似值： ，算得 .3.2.2 幂级数在计算积分中的应用当函数不能使用有限的形式的初等函数来表示时，函数定积分的计算就遇到了麻烦.现在，我们可以用有限幂级数展开法来求定积分近似计算的值。计算积分和生成收敛幂级数的要求，积分区间必须在幂级数收敛的范围内，然后用幂级数的性质来计算积分值17.例3.2 证明： 证明 因为 ，所以 =，3.2.3 幂级数在求极限中的应用求函数极限的方法有很多，我们也可以利用幂级数法去求极限.例3.3 求的值.解 因为 ， ， 所以3.2.4 幂级数在数项求和中的应用一致收敛的幂级数的性质：其可用于计算幂级数的和由于幂级数在其收敛区间内可逐项求导和逐项求积分18.例3.4 求解 当 时，设 =.设， 则 ，且 ,从而 当时， ,此时，.令，可得 .3.2.5 幂级数在欧拉公式推导中的应用例3.5 试用幂级数的展开式来推导欧拉公式.解 当为实数时，由指数函数的幂级数展开式知,因为 所以 ,即 , 在上式中以置换可得 , 再由两式联立，解得： .3.2.6 幂级数在求导中的应用例3.6 求在处的阶导数.解 因为函数在处的泰勒级数为，所以可先将用间接方法展成的幂级数，然后从的系数中解得，进行两次积分：则，即 .3.2.7 幂级数在概率组合计算中的应用定义6 设是一个数列，若存在一个函数，使得成立，则称为数列的生成函数19-21.例3.7 将一颗形状规则的骰子连续性的投掷了10次，请问：出现加起来点数是20的概率是多少？解 设表示共出现点的方式的总数，显然.从而的生成函数为：,因为所以的展开式中项的系数为,于是出现20点的概率为:.3.2.8 幂级数在证明不等式中的应用幂级数是用来表达函数的一种重要的工具，因此它也可用于去证明不等式.例3.8 证明不等式.证明 因为 ,而 ，,由于 ，故 .3.2.9 用幂级数形式表达某些非初等函数例3.9 求连续函数的原函数.解 的原函数为，.，.令，有对幂级数在收敛区间内逐项求积分，可得， 另外，幂级数还可以用于定义三角函数和指数函数等等.幂级数的应用非常广泛，我们要在实际应用中善于去发现，充分的利用，以寻找最好的解决问题的方法. 4 一致收敛性在函数的解析性中的应用4.1 利用函数列判断函数的解析性例4.1 试讨论函数列在区间 上的一致收敛性以及其极限函数的连续性，可积性，可微性解 ， ，所以一致收敛于1，由知在上连续，可微，不可积4.2小结在本章中，通过具体的应用例子说明了一致收敛性在函数的解析性中的应用在4.1中利用函数列的一致收敛性来判断函数的解析性；由此可见一致收敛性及其各种性质在函数的解析性中应用范围之广泛而往往一项知识是否重要都是由它应用的是否广泛来决定的，一致收敛性在函数的解析性中应用之广泛足以证明它在函数的解析性中有着举足轻重的重要地位5总结本文主要研究了一致收敛性在函数的解析性中的应用以及作用，论文主要做了以下几个方面的工作：（1）首先介绍了一致收敛性的概念，几种证明方法以及性质；（2）其次介绍了函数的解析性的内容以及一些一致收敛性的简单应用；（3）在以上两点的基础上，通过一些例子观察出一致收敛性在函数的解析性中的应用以上三点结合起来总结出一致收敛性在函数的解析性中的重要作用就是本文的探究方向目前，对于函数项级数的研究已经有了非常丰富的研究资料，并且其应用领域越来越广泛，在数学本身以及自然现象、工程技术，物理研究都有很大的作用.本文介绍了函数项级数的历史背景、给出了函数项级数的概念、性质、函数列及其一致收敛性、函数项级数及其一致收敛性，归纳梳理函数项级数的一致收敛性的判定方法以幂级数为例，说明函数项级数的应用.随着科学技术的发展，函数项级数作为数学分析中的一项重要内容，会在更多的领域拥有更广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻.在研究函数的解析性时，一致收敛性有着极其重要的作用它可以直接应用于对一个函数的解析性的判别，也可以应用于函数的解析性的许多分支之中可以说一致收敛性是一项对函数的解析性极其基本且重要的知识参考文献：致 谢在论文的最后，要感谢给予我支持的导师，家人以及同学在导师孜孜不倦的指导和鼓励下，我才得以完成这篇论文老师在生活和学习中给予了我很多帮助，这些都将令我终生难忘并为之感激！同时还要感谢我的同学们，在这几年的学习和生活中，他们所给予我的支持和帮助，都使得我对生活和学习充满了信心，同时我在他们的身上学习到了很多优秀的品质，我想这些在我步入社会以后都会对我有很大的帮助衷心地感谢所有关心和帮助过我的老师，家人和同学们！