勒襄特变换

6.哈密顿正则方程亠d dLQL八引言：哈密顿正则方程是与拉氏方程：-=0等价的动力学方程。at cqQqaad LQL =0 dt CqCqaaa = 1,2,.s，这组拉氏方程是s个关于广义坐标q的二阶常微分方a程。在这组拉氏方程中的拉氏函数L它是广义坐标q,广义速度q以及时间t的函数:L二L(q, q, t)。如果我们把拉氏函数中的广义速度q变换成f广义动量p ,即 aaL二L(q, p,t)那么就可以将上面的s个拉氏方程化成2s个一阶常微分方程，而且这2s个一阶常微分方程还具有一定的很漂亮的对称性具有一定的对称性。要想把拉氏函数：L二L(q, q,t)变成是广义坐标、广义动量P及时间t的函数f L二L(g, p,t)，以及将s个拉氏方程化成2s个一阶常微分方程。将会用到勒襄特变换这一数学工具。.得先介绍一下:一勒襄特变换(只作了解，不作要求，大纲不要求讲这部分内容)现在先讨论两个变量的勒襄德变换，假设所给的函数是两个变量xi和x2的函数，即：QfQff = f (x ,x )。则由高等数学的知识可得此函数的全微分：df = dx + dx在此我1 2Qx1 Qx212们令u =, u =, u =(i=l,2)并以u和u为新的变量定义一个新1 Qx2 Qxi Qx121 2 i函数g： g三丘xu - f = xu + x u - f如果我们从变换方程解出x，使x是i i 1 1 2 2 i i i=1u的函数，即x = x (u )，再代入上式中去，那么，g就是只含新变量u的函数了，即: ii i iig = g(u1,u2 ) 。 我 们 先 对 式 两 边 进 行 微 分 ， 则 得dg工(x du + u dx )i i i i i=1乏更dxQxii =1 ix du + (u i iiQf)-dxCxii=x du又将旧变iii=1量亠换成新变量u之后,新函数g就是新变量ui的函数：g = g (ui，u 2)那么对它微分就有:QgQgdg = du + du*，将这个等式与上一等式进行比较就可得到变换关系:Qu1 Qu212dgdgx = , x =- du 前面我们利用变换方程把旧的变量 x,x及旧的函数1 du2 du21212f (x ,x )变为新的变量u ,u及新的函数g = g(u ,u )的方法，就称为勒让德变换。我们1 2 1 2 1 2从方程结合方程又可看出，勒让德变换具有完全的对称性：新变量就是旧函数对旧变量 的偏导数，而旧变量又恰好是新函数对新变量的偏导数。所以说勒让德变换具有很好的对称 性。虽然，我们在前面是以两个变量的情况推出勒让德变换的，但是，由上面的推导结果， 我们很容易把勒让德变换推广到n个变量的情形，即X = dg，(i=l,2,3n)。除此之i dui外，还可以对它再加以推广。如果在已知函数f中除了含有x之外还含有与x (i=l,2,3iin)无关的独立变量y (j=l,2,3k)也就是假定f二f( xx , yy )。那么，j 1 n 1 k当进行勒让德变换时，只须将y看作为参数，而不参与变换，则上述的推导过程完全照旧，j当然此时函数g中含有y，那么不难得到此情形下的变换方程为：u，x =-dgji dxi duii(i=1，2，n)以及g =g xu - f,由于此时的g函数通过f而含有y .，因此，由i i j i=1dfdg上面的*和*式可以直接得到附加关系：”一=-产 (j=1，2,k)下面我们就通过 dydyjj这种推广后的勒让德变换来建立哈密顿正则方程。二正则方程 ：1 广义动量：上次课我们在讨论循环积分的时候提到过广义动量的概念，在分析力学dL 中通常定义广义动量P等于拉氏函数L对广义速度q的偏导数：P三 。在开始的时 aaa dC!a候我就讲过，如果将拉氏函数中的广义速C换成广义动量p ，亦即将 aaL = L(q,q,t) T L = L(q,p,t)，那么就可将完整、保守系的拉氏方程化成2s个一阶常微 分方程，如此化得的2s个一阶常微分方程就是与拉氏方程等价的哈密顿正则方程，所以现 在我们先对拉氏函数作勒让德变换。在这里将C作为进行变换的独立变量，相当于上面一a般情形中的x,而q及t视为不参与变换的参量，它们相当于前面的y,于是就可引入ap =作为新的变量，这里的a =1,2s。那么，我们由这s个变换方程就可adqa解得s个广义速度q = q (q, p, t)将它代入拉氏函数L二L(q, q, t)中去就可得到L二L(q, p, t)。例如在有心力场中有一质点，其拉氏函数：BLL = T V二恳m( r2 + r202) V (r)则根据变换方程可得：p二 二mr可见它是一径 2r ordL门向动量。同理又可以得到p盯二mr 26动量矩，由此两式于是就有：u 06ppr二r ,6二6可见通过变换方程变换之后就可得到用广义坐标和广义动量表示的广义 mm r 2速度。2 正则方程的推导： oL另外，由于引入这一变换关系：p =之后，我们前面所定义的哈密顿函数：a oqaH =工 q - L也就可以写成为：H二工p q - L 那么，将从变换方程解得的广义 oq aa aa aa速度q代进上式，显然哈密顿函数h也就可以化成是广义坐标、广义动量和时间的函数：aH = H(q,p,t)。现在我们就在通过这样变换后的基础上推出正则方程。/ H二工p q - L，如果在这里仍把L看作q, q, t的函数，则对此等式两边微分则有: aaa0L0L0LdH = d乙 p q 一 L=乙(p dq + q dp ) 一乙(dq + dq ) 一 dt 在此a a a a a aoqa oqaotaaa aad oLoLd oLo L我们要用到保守系的拉氏方程：-=o -= 0由拉氏方程可dt oqoqdt oqoqa aa a0Ld 0L77、0L 7得 =p(q dp 一 p dg ) 一 dtoqdt oqa a a a aotaaaE0L(q dp -p dq )- dt如果考虑到经变换以后哈密顿函数 h它是 a a a aotaq,p,t 的 函 数 ：H = H(q, p,t) 那 么 对 H 的 全 微 分 应 该 是 ：dH =乙G dq + dP ) + dt比较两式，于是就可得到： cqa dpactaaacHcH=-P ,= q a=1, 2, s。这是2s个对广义坐标q和广义动量p的一阶cqa cpaaaaa常微分方程组，可见它们具有非常简洁的对称性，因此就称它们为正则方程。这一组方程首 先是由哈密顿得到的，因此也就将它们称作为哈顿正则方程，有的书上还将它称作为哈密顿 运动方程。由两式的比较我们还可以得到一个附加关系：嬰= CL，这一附加关系没 ctct有什么重要的用途，它只是给出了哈密顿函数和拉氏函数的关系，指出了H是否显含时间t 完全处决于拉氏函数L是否显含时间t。下面对给出的哈密顿正则方程作两点必要的讨论。3.讨论：1.由推出的正则方程可以看出：正则方程是以广义坐标q和广义动量p作为独立变 量的 2s 个一阶常微分方程， q 和 p 就称作为正则变量。在正则方程中， q 和 p 是等同地 位的自变量，我们知道拉氏方程求解的是广义坐标q = q (t)和广义速度q = q (t)；a aa a2.而正则方程所要求解的是q二q(t)和p二p(t) ；3. J正则方程是从完整约束、保守 系的拉格朗日方程推出来的，所以完整保守系的拉氏方程运用的条件也就是正则方程成立的 条件，因此正则方程成立的条件也就是：完整约束、主动力都具有势能的情况，即完整约束、 保守力系。前面我们从拉氏方程推出了正则方程，反过来我们从正则方程中消去广义动量也 可以推出s个拉氏方程，正如此它们在求解力学问题中是等价的，同样在一定的条件下， 哈密顿正则方程也同拉氏方程一样，存在一次积分，也就是说，在一定条件下，由哈密顿正 则方程可以给出它的能量积分和循环积分。三正则方程的能量积分和循环积分：现在先讨论正则方程的1.能量积分假定哈密顿函数H = H(q, p)不显含时间t ,那么H对t的全导数应该 dH CH .CH .、r亠是：=厶q + p ) j 利用正则方程于是就可得到：=dtcq a cp aa a a cH cH cH cHcH乙 J n - n ) = 0 J 二0它的一次积分：H=L。由推导得到的结果说明了， cq cpcp cqcta a a a a如果H不显含时间t，只要满足这个条件，我们从正则方程也可以推出广义能量积分：H=h这一结论，再次证明了如果H不显含t,那么H是守恒的，这与用拉氏方程推出的结果是一 致的，因此说明哈密顿函数也是力学体系的特性函数，如果系统所受的约束为稳定约束, H就是系统机械能，即H=动能和势能之和：H=T+V 如果是不稳定约束，系统的哈密顿函数 为广义能量，即H = T -T + V。从上面的推导我们还可以看出：由正则方程得出能量积20分，要比由拉氏方程得出能量积分显然要简便得多，这正是用哈密顿正则方程解决力学问题 优点之一。2 循环积分下面转到对正则方程的循环积分，由哈密顿的正则方程也比拉氏方程 更容易得到它的循环积分。如果哈密顿函数H中不含有某个与广义动量对应的广义坐标q，iQH这个q就叫做H的循环坐标。如果H中存在循环坐标q，那么=0，于是由正则方程:iidqi= -p马上可以推出p = 0。因此可以得到它的一次积分：P =常数，这就说明了 cqaza对应循环坐标的广义动量p是守恒的。所以由这个结果也就说明了：利用正则方程同样可 i以得广义动量积分也就是循环积分。因此，这也再一次地显示了拉氏方程与正则方程在研究力学问题上的等价性。在这里还需指出的是：我们不难证明拉氏函数L的循环坐标也必定是”. 丁 ch ycqcl y cl cq、H的循环坐标。 H （p，q，t）=乙 p q L,，=乙 pa +乙a a acqa cqcqcq cqaiaiiaaicHcLcqiiq是L和H的共同循环坐标。因此今后我们没必要区分L和H的循环坐标。 i只要是循环坐标，对应循环坐标的广义动量p必定是守恒的。i四、正则方程的应用：下面我们举一些具体的例子来应用正则方程解.。应用正则方程求解力学问题的一般步 骤是很有规则的：1 .首先确定研究系统和广义坐标。cL2 .写出L T V = L(q,q,t)的表达式，再由广义动量的定义式：p =解出用广义a cq a坐标q .及p表示的q q(q,p,t)，然后将它代入哈密顿函数定义式中去。3. H p q - L求出用q .p .t表示的哈密顿函数二H(q, p, t)，求H的方法有两种，a aa6L一种是根据H的定义式Hq - L来计算，另一种方法是根据哈密顿函数H的cq aaa力学意义：H = T2-T0+V,或H = T+V (稳定约束)，T是广义速度的二次齐次函数。将H 化成了 q.p.t 的函数之后，4列出正则方程，解出q (t)、p(t)。这里还要强调两点：一列出正则方程必需是自由度的2 倍，即 2s 个方程，不要遗漏掉方程；二建立正则方程后求偏导数时，要注意到应把 q.p.t 看作等同地位的自变量.5. 解出最终的结果。例1、以球坐标为广义坐标，写出质量为m的质点在中心力场V=V(r )中的哈密顿函数H。解：解题的步骤就是前面所讲的前三步。题目已经给我 们选定了研究对象和广义坐标。即(1)研究对象是m， 以球坐标为广义坐标。即q = r ,q =0,q =p (2)写1 1 21出拉氏函数 L=T-V, L = 2m(x2 + y2 + z2) V(r)，在 这里我们得先将拉氏函数化成用q, q表示的函数。在球 坐标系中，直角坐标与球坐标的关系是：/ x = r sin 0 cos x = r sin0 cos Q + r0 cos0 cos Q + r sin0 sin Qy = r sin 0 sin y = r sin 0 sin + r0 cos0 sin + r sin 0 cos z = r cos 0“ z = r cos 0 r0 sin 0于是可得： v2 = x2 + y2 +z2 =r2 +r202 +r22sin20 对于这个结果我们结合上图的情况还是比较容易记住的，希望大家能记住它，以后用起来就比较方便，免得花时间去推导它。将 此 结 果 代 入 L 中 去 就 可 得 到 用 p, q ,t 表 示 的 拉 氏 函 数 了 。 即 1L = 2 m(r2 + r20 2 + r2 2 sin 2 0) V(r)。 将l化成了 p, q ,t的函数之后，还得利用广 cL义动量的定义式：p =.求出用q.p. t表示的q = q(q,p,t)。有三个广义坐标就得三 a cqa个广义动量即：dL.=mr = p drrL = mr 20 = p deo0亠mr2L = mr 2* sin2 0 i de0=pe匕mr 2 sin 2 0p 2 p 2= + +m mr 2=1 (p 2 + P22m r r 2p2+ e ) + V r 2 s i n 0(3)就是将它们都代入H的定义式H = 丫 Pq L中去求出H = H (q, p, t)dapppH =Y p q L = p 尸 + p 4 + p e T + Va ar m 0 mr 2 e mr 2 sin 2 0a (p 2 + 竺 +pe) + V (r)mr2 sin20 2m r r2 r2 sin20我们在前面讲过求H的方法有两种，除了由H的定义式来求出H之外，也可以由H的力学 意义来得出，此结果我们根据题意可以分析得出H=T+V,有心力场是不随时间改变的稳定场，质点在有心力场中运动所具有的势能v=v (r)不显含时间，而r.也不显时间t。即 ir(r ,e, *),动能又是广义速度的二次齐次函数 h=t +#=2 m(r 2+r 20-2+1p 2 p 2r2* 2 sin 2 0) + v(r) =(p2 + 丄+ e) + V(r)2m rr2r2 sin20例2.如下图所示，棒长为L,质量为m的摆球，它的位置可由0和e表示。如不计棒 的重量，试用正则方程求0 与0 的关系。解：用正则方程解决力学问题的解题步骤也是非常呆 板的，总是按前面讲过的几个步骤就可解出结果。按 前面讲过的步骤进行则：(1)第一步同样是确定研究 系统和广义坐标。m摆锤一系统。由题意可知我们 的研究系统只有两个自由度，系统也只有二个广义坐 标，这里的广义坐标很明显就取：q =0和 q =*12(2)然而我们不难分析我们的研究系统所受的约束是完整的，稳定的，而且 m 只受重力和 棒对它的作用力，棒对 m 的作用力是不作功的。重力是系统的保守力，系统是保守系。因 此，这个问题可用正则方程求解，既然可用正则方程求解这个题目，第二步就是写出， 然 后 由 广 义 动 量 的 定 义6lp = T qa 6q aa=q (q, p, t) Ta=2m(X2 + y2 + Z2)以o点为0势点V=-mgz由图可以看出：x = Zsin0 cosQx 二 ZO cos0 cos舛 sin0 sin Qy = Z sin 0 sin Qy 二 Z0 cos0 sinQ + Z sin0 cosQz = Z cos 0Z = Z0 sin 01则：L = T- V = -ml2(02 +Q2 sin20) + mglcos0有两个广义坐标对应的就有两个广义厶动量，对应于：0 : p = ml200 60，由这两个方程就可以解得用广义坐61Q : p = ml 2 sin 2 00帥标和广义动量表示的两个广义速度：0，= -，Q = Pqm l 2ml 2 sin 2 0(3)求H。因为刚才我们已分析过系统所受的约束是稳定的，L中不显含t,而T又是广义速 度 的 二 次 齐 次 函 数 。 系 统 的 哈 密 顿 函 数 就 等 于 机 械 能 ， 即1H = T + V = ml2(02 + Q2 s i20) 一m gclo0s , 将 ( 2 ) 代 入 H 中 则 得21p 2H = 2ml2(P02 + sin020) mglcos0。H已写成P的函数，将它代入正则方程解出最后的结果。4)列正则方程， 2 个广义坐标，应有几个正则方程？应有四条正则方程，即：6Hp0 = = 0-6pml 20r6HPq-Q =Q_6pml2 sin2 0Q咚=cos0p2 _ mQ0ml2 sin3 0 h中不含所以是循环坐标，则对应循环坐标e的广义动量 p 是守恒的，即 p =C1ee 1将和代入c 2 cos 0=1ml2 sin30_ mgl sin 0/ 0d0 d0& d0d0 dt d0上式两边乘以d0 再积分就可得到所要求的结果：ml2O 2 =一 Ci+ mglcosO + c。C C22 ml 2 sin 2 021、2是积分常数，由初始条件决定。由上面的求解过程可以看出：用正则方程求解力学问题要走 重复的路，比如前面的正则方程（3）、（4）实际上就是前面（2）两式，这就是用正则方程 解的迂回之处。解法二。如果用拉氏方程解决此题的话，就可省去中间的许多步骤，只要将 第 2 步 给 出 的 拉 氏 函 数 代 入 拉 氏 方 程 就 可 解 得 所 求 的 结 果 ， 对 : 竺一些=o d(ml2 sin2 0 -) = 0 T ml2 sin2 0 = c dt別別 dt10: dt 労一労=0 d(ml 20)_ml 询2 sin 0 cos 0+mgl sin 0=0ml 20 =c2 cos0i ml2 sin30一 mgl sin0由此可看出它比用正则方程求解此题要省去好多步。的确求解简单的力学问题，应用正则方程来求解显示不出它的优越性。用正则方程求解，实质 上又等于从拉氏方程重新推到正则方程而绕了一大圈才达到目的。尽管用正则方程解简单的 力学问题反而不简便，但它在求解复杂的问题中才会显示出其优越性，更为重要的是它在理 论研究上具有指导意义。它不仅又为研究动力学提供了一种有效的方法，说明求解力学问题 除了拉氏方法之外，也可用哈密顿的方法，而且这种研究方法更便于推广到近代物理的理论 研究中去，它对求解天体力学，统计力学和量子力学会显得特别优越。因此，我们应该掌握 用正则方程求解力学问题的方法。这种方法，将对你们今后学习热统和量子力学有用。例3、如下图所示，质量为m,半径为r的均质小圆柱，在半径为R的固定大圆柱面上的顶 端无初速地滚下。试求小圆柱的哈密顿运动方程和任一瞬时的角速度。解：根据题意知小圆柱被约束在大圆柱上作纯滚动，因此，除了重力之外其它非保守力都不作功。所以此题可用正则方 程求解。解题的步骤与前二例总是相同的，即(1)选小圆柱为研究系统。由于小圆被约束在大圆柱上运动，.它只有个自由度，它也就只有一个广义坐标，我们就选2q=0T卜(Rr)22i2 其中 I/、1mr2根据纯滚动条件可得出条约束方程为： (R r) r T 2(r r)2 2 冷r2)?)2 4m(R r)2 2代入 T 则有：V mg (R r)cos (以 o点为 0 势点 ) T T V4m(Rr)2 2 mg (R r)cos ,由广义动量的定义得3m (R r)222p3m (Rr)2,3求H, H可由其定义式HL L(q,q,t) L L (q,p,t)出,也可由H的力学意义来求。系统为稳定保守系，L中不显含t且是广义速度 的二次齐函数H T V3m (R r)2 2 mg (R r)cos42p3m (R r)2mg (R r)cos4列出哈密顿正则方程：H 2p p 3m (R r)2mg (R r)sin这就是题目要我们求的小圆柱的哈密顿运动方程。接着要求的是小圆柱作平面平行运动的角 分常数c由初始条件确定。由初始条件：t=0时=0, 9- =0得c = 3(RZ7)于是可得:討(Rr)2 p2m (R r)23将代入，整理得2m (R r)2g sin3速度 。由式得 pdsin d3(R r)2g3m (Rsin r)sin d3(R r)2g3(Rcosr)角速度9 2 二“ 4 g、(1 COS0 )= I 4 g(1 - cos0 )则小圆柱体的滚动3( R + r)3( R + r),(1 -cos9)二丄4g(R + 丫)(1 -cos9) r 3(R + r)r作业： P.367 5.23 5.24.