D83一阶线性方程和伯努利方程.ppt

一阶线性微分方程和伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.3 8.3.1 一阶线性微分方程 8.3.2 伯努利方程 第八章 8.3.1 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式 : )()(dd xQyxPxy 若 Q(x) 0, 0)(dd yxPxy 若 Q(x) 0, 称为上述方程 一阶非齐次线性微分方程 . 1. 解一阶齐次线性微分方程 分离变量 两边积分得 CxxPy lnd)(ln 故通解为 xxPeCy d)( 称上述方程为 一阶齐次线性微分方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解 xxPeCy d)( 一阶齐次线性 微分方程通解 一阶非齐次线性 微分方程特解 xxPCe d)( 2. 解一阶非齐次线性微分方程 )()(dd xQyxPxy 用 常数变易法 : ,)()( d)( xxPexuxy 则 xxPeu d)( )(xP xxPeu d)( )( xQ 故原方程的通解 xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( y即 即 作变换 xxPeuxP d)()( CxexQu xxP d)( d)(两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 解方程 解 : 先解 ,012dd x yxy 即 1d2d x xyy 积分得 即 2)1( xCy 用 常数变易法 求特解 . 令 ,)1()( 2 xxuy 则 )1(2)1( 2 xuxuy 代入非齐次的方程得 解得 Cxu 23)1(32 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.3.2 伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式 : )()(dd 1 xQyxPxyy nn 令 ,1 nyz xyynxz n dd)1(dd 则 )()1()()1(dd xQnzxPnxz 求出此方程通解后 , 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解 . 解法 : (线性方程 ) 伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 求方程 的通解 . 解 : 这是 n = 2的伯努利方程 , 令 ,1 yz 代入原来已知方程得 到 dd zz xxx 这是一阶线性微分方程，其通解为 将 1 yz 2 3 Cxz x 代入 , 得原方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2dz dyy dx dx 则 或 3 . 3 xx C y 此外方程还有解 y = 0. 例 3. 解方程 1 .dyd x x y 解 若把所给方程变形为 ,dx xydy 即为一阶线性方程 , 则按一阶线性方程的解法可求得通解 . 也可用 变量代换 来解所给方程 : 令 ,xyu 则 , 1 .d y d uy u x d x d x 代入原方程 ,得 111 , .d u d u u d x u d x u 分离变量得 . 1 u d u d x u 常利用 变量代换 把微分方程化为可解的另一类微分方程。 两端积分得 l n 1 .u u x C 以 u x y 代入上式 , 即得 l n 1 .y x y C 或 11 1.yCx C e y C e 内容小结 1. 一阶线性方程 方法 1 先解一阶齐次方程 , 再用常数变易法 . 方法 2 用通解公式 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( ,1 nyu 令 化为线性方程求解 . 2. 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 判别下列方程类型 : x yyxy x yx d d d d)1( )ln( l ndd)2( xyyxyx 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxy dd)2ln()5( 提示 : x xy y y dd1 可分离 变量方程 x y x y x y ln d d 齐次方程 22 1 d d 2xy xx y 线性方程 22 1 d d 2yx yy x 线性方程 2si n2 d d y x xy xx y 伯努利 方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P357 1 (1) , (3) , (5) ; 2 (1) , (3); 3 (2) . 作业 第五节 目录 上页 下页 返回 结束