第3章静定梁与静定刚架

第三章 静定梁与静定刚架3-1 单跨静定梁3-2 多跨静定梁3-3 静定平面刚架3-4 少求或不求反力绘制弯矩图3-5 静定结构的特性3-6 静定空间刚架3-1 单跨静定梁单跨静定梁的种类单跨静定梁的种类 简支梁简支梁伸臂梁伸臂梁悬臂梁悬臂梁三个支座反力，可由三个平衡方程求解三个支座反力，可由三个平衡方程求解3-1 单跨静定梁截面法求内力截面法求内力内力符号的规定：内力符号的规定：轴力轴力：以拉力为正；：以拉力为正；剪力剪力：以绕隔离体顺时针方向转动为正；：以绕隔离体顺时针方向转动为正；弯矩弯矩：使梁的下侧受拉为正。：使梁的下侧受拉为正。轴力轴力=截面一侧所有外力延截面法线方向投影的代数和；截面一侧所有外力延截面法线方向投影的代数和；剪力剪力=截面一侧所有外力沿截面方向投影的代数和；截面一侧所有外力沿截面方向投影的代数和；弯矩弯矩=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。3-1 单跨静定梁内力与外力间的微分关系及内力图形状判断内力与外力间的微分关系及内力图形状判断)13()(dddd)(ddNSSxpxFFxMxqxF3-1 单跨静定梁梁上梁上情况情况q(x)=0q(x)=常数常数横向集中力横向集中力F 作用作用集中力偶集中力偶M 作用作用铰处铰处剪力图剪力图水平线水平线斜直线斜直线为为0处处有突变有突变(突变值突变值=F)如变号如变号无变化无变化无影响无影响弯矩图弯矩图斜直线斜直线抛物线抛物线(凸向同凸向同q指向指向)有极值有极值有尖角有尖角(尖角指尖角指向同向同F)有极值有极值有突变有突变(突变值突变值=M)为为0直梁内力图的形状特征直梁内力图的形状特征3-1 单跨静定梁区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图作图作图a所示简支梁的弯矩图所示简支梁的弯矩图将作用的荷载分解如图将作用的荷载分解如图b、cMA、MB作用下的弯矩图作用下的弯矩图F 作用下的弯矩图作用下的弯矩图图图b、c 相加后的弯矩图如图相加后的弯矩图如图d弯矩图的叠加是指纵坐标叠加弯矩图的叠加是指纵坐标叠加3-1 单跨静定梁a图梁中区段图梁中区段AB的弯矩图的弯矩图取出该段为隔离体如图取出该段为隔离体如图b图图b与图与图c具有相同的内力图具有相同的内力图求出端截面的弯矩求出端截面的弯矩MA、MB并连接并连接（虚线）；在此直线上叠加相应（虚线）；在此直线上叠加相应简支梁在荷载简支梁在荷载q作用下的弯矩图。作用下的弯矩图。叠加法叠加法3-1 单跨静定梁绘制内力图的一般步骤绘制内力图的一般步骤（1）求反力（悬臂梁可不求）求反力（悬臂梁可不求）（2）分段，外力不连续点作为分段点）分段，外力不连续点作为分段点（3）定点，计算控制截面的内力，即内力图上的控制点）定点，计算控制截面的内力，即内力图上的控制点（4）连线，将控制点以直线或曲线连接（叠加法）连线，将控制点以直线或曲线连接（叠加法）3-1 单跨静定梁例例3-1 试作图试作图a所示梁的剪力图和弯矩图。所示梁的剪力图和弯矩图。解：计算支反力。解：计算支反力。由由MB=0，得，得FA=58kN（）由由Fy=0，得，得FB=12kN（）3-1 单跨静定梁用截面法计算用截面法计算控制截面剪力。控制截面剪力。0kN12kN88kN30kN-58kNkN2038kN58kNkN20 kN20RSRSRSRSRSRSRSBFDEDACFFFFFFF3-1 单跨静定梁用截面法计算用截面法计算控制截面弯矩。控制截面弯矩。mkN16mkN4mkN16m1kN12mkN6mkN10mkN16m1kN12mkN18mkN10mkN16m2kN12mkN26m1kN30m2kN58m3kN20 mkN18m1kN58m2kN20mkN20m1kN200LRLBGGFEDACMMMMMMMMmkN32822qlMMMFEH3-1 单跨静定梁mkN32822qlMMMFEH最大弯矩最大弯矩Mmax应在剪力为应在剪力为0的的K截面。截面。0kN/m5kN8xqxFFSESKx=1.6mkN4.3222maxqxxFMMSEE3-2 多跨静定梁用于公路桥的多跨静定梁用于公路桥的多跨静定梁计算简图计算简图基本部分基本部分：不依赖其他部分而独立地维持其几何不变性，：不依赖其他部分而独立地维持其几何不变性，如如AB、CD部分；部分；附属部分附属部分：必须依靠基本部分才能维持其几何不变性，：必须依靠基本部分才能维持其几何不变性，如如BC部分；部分；层叠图层叠图计算顺序：先附属部分计算顺序：先附属部分 后基本部分后基本部分3-2 多跨静定梁例例3-2 试作图试作图a所示多跨静定梁。所示多跨静定梁。解：解：AB为基本部分，在竖向荷载作用下为基本部分，在竖向荷载作用下CF为基本部分，为基本部分，层叠图如图层叠图如图b。3-2 多跨静定梁各段梁的各段梁的隔离体图隔离体图如图如图c c。先算附先算附属部分；属部分；后算基后算基本部分；本部分；弯矩图弯矩图如图如图d d；剪力图剪力图如图如图e e。3-2 多跨静定梁例例3-3 图图a所示多跨静定梁，欲使梁上最大正、负弯矩的所示多跨静定梁，欲使梁上最大正、负弯矩的 绝对值相等，试确定铰绝对值相等，试确定铰B、E的位置。的位置。解：先分析附属部分，后分析基本部分，如图解：先分析附属部分，后分析基本部分，如图b。AB段中点段中点I的弯矩为的弯矩为8)(2xlqMICD段的最大弯矩发生在跨中段的最大弯矩发生在跨中GCGMqlM82截面截面C弯矩的绝对值为弯矩的绝对值为2qlxMCAC段中点段中点H的弯矩为的弯矩为282CHMqlMMH MG最大正弯矩为最大正弯矩为MI令令MI=MC可得可得3-2 多跨静定梁28)(2qlxxlq0622lxx解得解得llx1716.0)223(弯矩图如图弯矩图如图c图图d为相应多跨梁的弯矩图为相应多跨梁的弯矩图20858.0qlMG3-2 多跨静定梁例例3-4 试作图试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。解：不算反力解：不算反力 先作弯矩图先作弯矩图1）绘）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同；段弯矩图，与悬臂梁相同；2）GE间无外力，弯矩图为直线，间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出；，可绘出；同理可绘出同理可绘出CE段；段；3）BC段弯矩图用叠加法画。段弯矩图用叠加法画。3-2 多跨静定梁由弯矩与剪力的微分关系画剪力图由弯矩与剪力的微分关系画剪力图弯矩图为直线弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，剪力为正，反之为负。剪力为正，反之为负。弯矩图为曲线弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。剪力图作出后即可求支座反力剪力图作出后即可求支座反力取如图取如图e的隔离体可求支座的隔离体可求支座c的反力的反力3-3 静定平面刚架常见静定刚架的型式常见静定刚架的型式悬臂刚悬臂刚架架简支刚简支刚架架三铰刚三铰刚架架3-3 静定平面刚架静定刚架的内力：弯矩、剪力、轴力静定刚架的内力：弯矩、剪力、轴力内力表示方法：内力表示方法：MAB表示表示AB杆杆A端截面的弯矩端截面的弯矩 FSAC表示表示AC杆杆A端截面的剪力端截面的剪力内力图：弯矩图绘在杆件受拉边，不注正负号内力图：弯矩图绘在杆件受拉边，不注正负号 剪力和轴力的符号规定与梁相同，图形绘法也剪力和轴力的符号规定与梁相同，图形绘法也 相同相同3-3 静定平面刚架例例3-5 试作图试作图a所示刚架的内力图。所示刚架的内力图。解：计算支座反力，由刚架的整体平衡解：计算支座反力，由刚架的整体平衡)(kN220)(kN420)(kN480AyyBAAxxFFFMFF绘弯矩图，控制截面弯矩为绘弯矩图，控制截面弯矩为AC段段用用叠叠加加法法mkN1440mkN192mkN1260mkN4822CAACCBECEBBECDMMMMMMqlM（左）（左）（下）（下）（下）（下）（右）（右）3-3 静定平面刚架绘剪力图和轴力图控制截面剪力为绘剪力图和轴力图控制截面剪力为kN24,kN48kN22,kN42kN24,0ASCSCSESSSCAEBCDDCFFFFFF同理绘出轴力图如图同理绘出轴力图如图d 校核计算结果如图校核计算结果如图e、f满足结点满足结点C平衡条件平衡条件3-3 静定平面刚架例例3-6 试作图试作图a所示三铰刚架的内力图。所示三铰刚架的内力图。解：计算支座反力，由刚架的整体平衡解：计算支座反力，由刚架的整体平衡)(kN100)(kN300ByyAyBFFFM取刚架右半部为隔离体取刚架右半部为隔离体)(kN67.60)(kN67.60AxxBxCFFFM绘弯矩图绘弯矩图mkN7.260DCCDMM（外）（外）由图由图c，结点上无外力距作用的两杆汇交的刚结，结点上无外力距作用的两杆汇交的刚结点，两杆端弯矩大小相等同侧受拉点，两杆端弯矩大小相等同侧受拉3-3 静定平面刚架作剪力图和轴力图作剪力图和轴力图取取AD为隔离体如图为隔离体如图f。kN4.19cossinkN8.23sincosNSAxAyDCAxAyDCFFFFFF取取CEB为隔离体如图为隔离体如图g。kN5.1cossinkN9.11sincosNSBxByCDBxByCDFFFFFF3-3 静定平面刚架例例3-7 绘制图绘制图a所示刚架的弯矩图。所示刚架的弯矩图。解：解：F 以右部分为基本部分，以右部分为基本部分，是三铰刚架形式；是三铰刚架形式；F 以左部分为附属部分。以左部分为附属部分。计算附属部分，如图计算附属部分，如图b。计算基本部分，如图计算基本部分，如图c。弯矩图如图弯矩图如图d。3-4 少求或不求反力绘制弯矩图利用特定截面的弯矩及弯矩图的形状特征，快速绘制弯矩图。利用特定截面的弯矩及弯矩图的形状特征，快速绘制弯矩图。例例3-8 试计算图试计算图a所示刚架并绘制内力图。所示刚架并绘制内力图。解：解：由刚架整体平衡条件由刚架整体平衡条件)(kN50BxxFF此时即可绘出刚架弯矩图如图此时即可绘出刚架弯矩图如图b。结点结点C满足力矩平衡条件，如图满足力矩平衡条件，如图c。mkN20CDM（上）（上）结点结点D满足力矩平衡条件，如图满足力矩平衡条件，如图d。mkN40DCM（上）（上）根据弯矩图作出剪力图，如图根据弯矩图作出剪力图，如图e。3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 根据各结点的平衡条件作求出各杆端的轴根据各结点的平衡条件作求出各杆端的轴力，如图力，如图f。同理可求出同理可求出C处各杆端的轴力，轴力图如图处各杆端的轴力，轴力图如图g。kN3.280kN50NNDByDCxFFFF（压力压力）3-4 少求或不求反力绘制弯矩图例例3-9 试作图示刚架的弯矩图。试作图示刚架的弯矩图。解：解：三根竖杆为悬臂杆，可绘出其弯矩图；三根竖杆为悬臂杆，可绘出其弯矩图；EF也属悬臂部分可绘出；也属悬臂部分可绘出；CD段和段和DE段的剪力是相等的，因而弯矩图平行；段的剪力是相等的，因而弯矩图平行；AB段和段和BC段的剪力是相等的，因而弯矩图平行；段的剪力是相等的，因而弯矩图平行；3-5 静定结构的特性（1）静力解答的唯一性静力解答的唯一性静定结构全部反力和内力可由平衡条件确定，且解答只有一种。静定结构全部反力和内力可由平衡条件确定，且解答只有一种。（2）静定结构只有荷载作用引起内力静定结构只有荷载作用引起内力温度改变：温度改变：有变形，无反力和内力有变形，无反力和内力支座位移：支座位移：有位移，无反力和内力有位移，无反力和内力3-5 静定结构的特性（3）平衡力系的影响平衡力系的影响 平衡力系组成的荷载作用于静定结构的某一平衡力系组成的荷载作用于静定结构的某一本身为几何不变本身为几何不变的部分的部分上时，只有此部分受力，其余部分的反力和内力为上时，只有此部分受力，其余部分的反力和内力为0。除除DE外其余部分内力均为外其余部分内力均为0 除除BG外其余部分均不受力外其余部分均不受力除除HBJ外其余部分也受力外其余部分也受力特例：特例：KBC的轴力与荷载维持平衡的轴力与荷载维持平衡3-5 静定结构的特性（4）荷载等效变换的影响荷载等效变换的影响合力相同的各种荷载称为合力相同的各种荷载称为静力等效静力等效的荷载；的荷载；一种荷载变换为另一种静力等效的荷载称为一种荷载变换为另一种静力等效的荷载称为等效变换等效变换。作用在静定结构的某一本身为几何不变部分上的荷载在该部作用在静定结构的某一本身为几何不变部分上的荷载在该部分范围内作等效变换时，只有此部分的内力发生变化，其余部分分范围内作等效变换时，只有此部分的内力发生变化，其余部分内力为保持不变。内力为保持不变。图图a内力内力=图图b内力内力+图图c内力；内力；CD段内，图段内，图b荷载是图荷载是图a荷载的荷载的等效变换。等效变换。可见：除可见：除CD段，段，其余部分图其余部分图b和图和图a的内力均不改变。的内力均不改变。3-6 静定空间刚架 图图a所示刚架，杆轴与荷载不在同一所示刚架，杆轴与荷载不在同一平面内，属于空间刚架计算问题。平面内，属于空间刚架计算问题。空间刚架的杆件横截面上有六个内力空间刚架的杆件横截面上有六个内力分量，如图分量，如图b。轴力轴力FN以拉力为正，注明正负；以拉力为正，注明正负；扭矩扭矩Mt以双箭头矢量与截面的外法线指向一以双箭头矢量与截面的外法线指向一 至为正，注明正负；至为正，注明正负；弯矩弯矩M1绘在杆件受拉侧，没有正负；绘在杆件受拉侧，没有正负；剪力剪力FS规定正面上的剪力指向某一侧为正，规定正面上的剪力指向某一侧为正，不注正负，将其绘在正面上的剪力所不注正负，将其绘在正面上的剪力所 指向的一侧，标明杆轴的正方向。指向的一侧，标明杆轴的正方向。3-6 静定空间刚架以以AB杆为例，取距杆为例，取距A端为端为x的任意截面的任意截面K以左部分为隔离体，如图以左部分为隔离体，如图b。根据平衡条件根据平衡条件0000SNyyxFFFFFxMMMMKyKz12000（上上）FFFFbMMzztKxS00（正面上剪力向上正面上剪力向上）同理，可求出同理，可求出OA、BC两杆的内力。两杆的内力。当刚架各杆轴线位于同一平面，且荷载垂直于此平面时，任一截面只当刚架各杆轴线位于同一平面，且荷载垂直于此平面时，任一截面只产生三种内力：绕刚架平面内主轴的弯矩产生三种内力：绕刚架平面内主轴的弯矩M1（M）；垂直于刚架平面的剪；垂直于刚架平面的剪力力FSz（FS）；扭矩；扭矩Mt。