机械控制理论基础教学PPT系统的稳定性

机械控制理论基础 第六章 系统的稳定性机械控制理论基础课程内容l数学工具方面：第二章拉普拉斯变换的数学 方法。l系统建模方面：第三章系统的数学模型。l系统分析方面：第四章控制系统的时域分析 第五章控制系统的频率特性 第六章控制系统的稳定性分析l系统的校正与设计方面：第七章控制系统的校正与设计 6.1 稳定性6.2 劳斯胡尔维茨稳定性判据6.3 奈奎斯特稳定性判据6.4 系统的相对稳定性6.1 稳定性1.稳定性的概念定义：定义：系统受到外界干扰作用时，其被控制量yc(t)将偏离平衡位置，当这个干扰作用去除后，若系统在足够长的时间内能够恢复到其原来平衡位置或者趋于一个给定的新的平衡状态，则系统是稳定的。反之若系统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或产生持续振荡，则系统是不稳定的。只有稳定的系统才能正常工作，在设计一个系统时，首先要保证其稳定性；在分析一个系统时，也首先要判定是否稳定。线性系统是否稳定，是系统本身一个特性，与输入量或线性系统是否稳定，是系统本身一个特性，与输入量或干扰无关。干扰无关。2.判别系统稳定性的基本准则线性定常系统微分方程的一般形式为：1110111101()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd x tdx tdx tbbbb x tdtdtdt（61）由拉氏变换的数学方法求解式(6-1):00()()()()()()()A sB sB sY sX sA sA s其中x(t)为输入，y(t)为输出，ai(i=0n)，bj(j=0m)为常数。00()()()()()()A s Y sA sB s X sB s再经拉氏反变换可得原函数：令：-1-100()()()()()()()A sB sB sy tLLX sA sA s为式(6-1)的齐次通解，是与初始条件A0(s)，B0(s)有关而与输入或干扰x(t)无关的补函数。-100()()()()cA sB sy tLA s令：为式(6-1)的非齐次特解，是与初始条件A0(s)，B0(s)无关而与输入或干扰x(t)有关的特解。-1()()()()iB sy tLX sA s 既然系统的稳定与否要看系统在除去干扰后的运行情况，因此系统的补函数yc(t)就完全反应了系统是否稳定。t -10001000()()()()()()()()ins ticiiiiiA sB sNsytLeA sA sNsA sB s（）iiisajb=0cyt（）如果当 时，则系统为稳定；若当 时，或是时间t的周期函数，则系统不稳定。为此需求解yc(t)。cyt （）t 一般称A(s)=0为系统的“特征方程”，它的解si称为特征根。若si为复数，则由于实际物理系统A(s)的系数均为实数，因此si总是以共扼复数形式成对出现，即：0iiits ta tjbttee e=0ctyt（）亦即0ctyt（）ctyt（）则系统不稳定。此时，只有当其实部ai0时，方能使得在 时t 若si为实数，则只有当实数之值小于0，即ai0时，则当 时，将使得t is tte 即2iijbtjbtee+-(+)综上所述，判别系统稳定性的问题可归结为对系统特征方程的根的判别，即：一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的所有根都必须为负实数或具有负实部的复数。亦即稳定系统的全部特征根si均在复平面的左半平面。若 实部 ，则 。将包含 ，即 这样的时间函数，系统将产生持续振荡，其振荡频率 等于bi，系统也不稳定。is0ia=iisjb=cyt（）cosibtctyt（）应当指出，上述不稳定区虽然包括虚轴 ，但对于虚轴上的坐标原点应具体分析。当有一个特征根在坐标原点时 ，常数，系统达到新的平衡状态，仍属稳定。当有两个及两个以上特征根在坐标原点时，其瞬态响应发散，系统不稳定。ctyt（）j 对于如图所示闭环系统，传递函数为：()()()()1()()C sG sF sR sG s H s令该函数的分母等于零就得到系统的特征方程：1()()0G s H s故可以根据上述方程特征根的位置来判别系统的稳定性。00()()()()()()()A sB sB sY sX sA sA s由可知，系统特征方程A(s)=0的特征根与系统闭环传递函数F(s)的极点是相同的，因此由系统的传递函数取其分母A(s)=0，即可分析系统的稳定性。()()()()()Y sB sF sX sA s6.2 劳斯胡尔维茨稳定性判据 线性定常系统的稳定性分析，本质上就是确定特征方程根在复平面上的位置，劳斯胡尔维茨稳定性判据是通过分析特征方程的根与系数的代数关系，由特征方程中的系数来判别特征根是否在s平面左平面，以及不稳定根的个数。1.劳斯稳定性判据(1)系统稳定的必要条件线性定常系统的特征方程为：12120.0nnnnnna sasasa=式中，系数ai(i=0,1,2,n)为实数，并且 。0na 12120121.()()()()nnnnnnnnna sa sasaa s ss ss ss s-将上式右边展开得到特征根与系数的关系如下：11213101)1nniinnnijijnnnijkijknnniinasaas sijaas s sijkaasa，=-=()=-(=(-)假设其特征根为si(i=1,2,n)，则 若特征根的实部全为负数时，则由上式可以看出系统稳定的必要条件为：特征多项式所有系数符号相同特征多项式所有系数符号相同。若系数中有不同的符号或其中某个系数为零（a0=0除外），则必有带正实部的根，系统不稳定。（这只是个必要条件而非充分条件）(2)系统稳定的必要条件由特征方程系数构造劳斯数列如下：2461135212331231101 nnnnnnnnnnnsaaaasaaascccsdddgshs-劳斯数列中第一行为特征方程原系数的奇数项，第二行为原系数的偶数项。第三行ci由第一行和第二行按下式计算：其余的依此类推，一直算到第n1行，劳斯数列的完整阵列呈现为倒三角形。在展开的阵列中，为了简化后面的数值计算，可以用一个整数去乘或除某一整行，不改变稳定性的结论。系数c的计算一直进行到其余的c值全部为零为止。第四行di则按下式计算：劳斯稳定性判据可概括为：系统稳定的充分必要条件是，其特征方程的全部系数符号相同，并且其劳斯数列的第一列（an，an1，c1，d1等）所有各项全部为正，否则系统不稳定。如果劳斯数列第一列发生符号变化，则其符号变化的次如果劳斯数列第一列发生符号变化，则其符号变化的次数就是不稳定根的数目，例如：数就是不稳定根的数目，例如：没有不稳定的根（稳定）有一个不稳定的根（不稳定）有两个不稳定的根（不稳定）例6.1 设系统传递函数为3254323121720()21488200800sssF ssssss+-试判断其稳定性，如不稳定，求出系统在右半平面极点的数目解：系统特征方程为5432214882008000sssss各项系数为正，排出劳斯数列得：543210 114200 288800 30200 74.7 800121 800ssssss-数列第一列有两次符号变化，因此F(s)有两个极点在s平面的右半平面，系统不稳定。对特征方程直接求解，其根为：12,34,542413ssjsj 与劳斯判据判别结果一致。(3)应用劳斯判据的两种特殊情况 在应用劳斯判据时，如果发生第一列中出现零且该行其它元素不全为零的情况，则下一行计算会出现被零除的情况，从而使劳斯数列无法继续计算，下面介绍两种解决办法：0第一种方法：用一个小的正数 代替0，仍按上述方法计算各行，再令 求极限，来判别劳斯数列第一列系数的符号。例6.2 设系统特征方程为5432236210sssss 判断其是否稳定；若不稳定时，不稳定根的个数5432210 1 3 2 2 6 130()263 13263 1 ssssss 解：解：排出劳斯数列63-当 时：02332632-即劳斯数列第一列中有两次符号变化，因此特征方程有两个根在s的右半平面。1sp=例6.3 仍然对例6.2的系统解：原特征方程为：5432236210sssss 1sp=第二种方法：用 代入原特征方程，得到一个新的关于p的方程，再对此方程应用劳斯判别法，新方程不稳定根数就等于原方程不稳定根数。用 代入原特征方程，得：5432263210ppppp 相应的劳斯数列为：543210 1 6 2 2 3 193 227 1337 1 pppppp -同样有两次符号变化，和前面所得结论一致。应用劳斯判据时，可能遇到的另一种特殊情况是劳斯数列中出现某一行元素全为零的情况。这种情况意味着特征方程在s平面存在一些对称的根：一对（或几对）大小相等符号相反的实根；一对（或几对）共轭虚根；或呈对称位置的两对共轭复根。这种情况下系统必不稳定，不稳定根及其个数可通过“辅助方程”求得。所谓“辅助方程”，即由不为零的最后一行元素组成的方程式，式中s均为偶次项。解：解：排出劳斯数列6543 1 8 20 16 2 12 162 12 160 0ssss 42()21216 0A sss+=求解得该方程的两对共扼虚根为：1 22sj，=3 42sj，=这两对根同时也是原特征方程的根，他们位于虚轴上。由系统稳定性的基本准则可知，该系统是不稳定的。由于s3行中各元素全为0，故将s4行的各元素构成一个辅助方程：例6.4 系统特征方程为654322812201616 0ssssss+=判断其是否稳定，及若不稳定时不稳定根的个数。例6.5 系统特征方程为6542324128 0sssss+=判断其是否稳定，及若不稳定时不稳定根的个数解：解：排出劳斯数列6543 1 2 4 8 3 0 122 0 80 0ssss 422()280(22)(22)0A ssssss由于s3行中各元素全为0，故将s4行的各元素构成一个辅助方程：该方程的两对共轭复根为：1 23 411sjsj ，=显然该系统不稳定，并且有两个不稳定的根。例6.6 系统特征方程为54323515412 0sssss+-+=判断其是否稳定，及若不稳定时不稳定根的个数解：解：由于特征方程的系数符号不全相同，系统肯定不稳定，排出劳斯数列如下：543 1 5 43 15 120 0sss-由于s3行中各元素全为0，故将s4行的各元素构成一个辅助方程：该方程的根为42()31512 0A sss-+=1 23,412ss，=显然系统不稳定，其根为两对关于虚轴对称的实根，并且有两个不稳定根。2.胡尔维茨稳定性判据 胡尔维茨法也属于代数判据，它是把特征方程和系数用相应的行列式表示，系统稳定的充要条件为：（1）特征方程的所有系数an,an-1,a0均为正；（2）由特征方程系数组成的各阶胡尔维茨行列式均为正，即135131123242130,0,0,0nnnnnnnnnnnnnaaaaaDaDDaaaaaaa=胡尔维茨行列式按照下面方法生成：在主对角线上写出特征方程式的第二项的系数an-1直到最后一项的系数a0，在主对角线以下的各行中，按列填充下标号码逐次增加的各系数；而在对角线以上各行中，按列填充下标号码逐次减小的各系数。如果在某位置上按次序应填入的系数下标大于n或小于0，则在该位置补0。当主行列式及其主对角线上各子行列式均大于零时，特征方程式就没有根在s平面的右半平面，即系统稳定。例6.7 系统特征方程为432818165 0ssss+=判别系统稳定性。解：解：写出胡尔维茨主行列式48 16 0 01 18 5 00 8 16 00 1 18 5D 可得各子行列式为180D=48 16 0 01 18 5 0864000 8 16 00 1 18 5D 因为这些子式均大于零，故系统稳定38 16 01 18 5172800 8 16D 28 1612801 18D =6.3 奈奎斯特稳定性判据 奈奎斯特稳定性判据是一种几何判断，它根据开环传递函数的特点，通过作奈奎斯特图来研究闭环控制系统稳定性，不仅能判别稳定性还可以分析系统的稳定和不稳定程度，并从中找出改善系统性能的途径。1.基本原理如图所示闭环系统，其传递函数为：()()()()1()()C sG sF sR sG s H s=+闭环系统稳定的充要条件：闭环系统稳定的充要条件：特征方程的根全部在s平面的左半平面，只要有一个根在右半平面或虚轴上，系统就不稳定。奈奎斯特判据是根据开环奈奎斯特图以及开环极点位置来根据开环奈奎斯特图以及开环极点位置来判断闭环特征方程的根的位置判断闭环特征方程的根的位置，从而判定稳定性。下面介绍其步骤：（1）闭环特征方程与特征函数系统闭环特征方程为1()()0G s H s+而其特征函数为()1()()A sG s H s=+()()(),()()()NNDDGsHsG sH sGsHs=故开环传递函数为()()()()()()NNDDGs HsG s H sGs Hs()1()()A sG s H s()()()()()()()DDNNDDGs HsGs HsA sGs Hs+而闭环特征方程可表示为()()()()1()()0()()DDNNDDGs HsGs HsG s H sGs Hs+=（616）（618）（617）（619）其中G(s)，H(s)都是复数s的函数，可分别表示为如下多项式之比：特征函数 可表达为：nm()1()()A sG s H s 式（617）中分母、分子的阶次分别为n和m，因为G(s)和H(s)均为物理可实现的环节，所以 ，故特征函数A(s)分子分母的阶次均为n，比较（617）、（618）和（619），可得如下结论：闭环特征方程的根与特征函数的零点完全相同；特征函数的极点与开环传递函数的极点完全相同；特征函数的零点数与其极点数相同（等于n）。因为系统开环传递函数及其极点已知，根据式（618），可以通过对开环传递函数G(s)H(s)和特征函数 的频率特性分析，确定特征函数的零点（即闭环特征方程根）的分布，从而判别系统的稳定性，这就是奈奎斯特稳定性判据的基本原理。（2）幅角原理 奈奎斯特判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理，由前面特征函数零、极点与开环极点的关系，利用幅角原理，前面特征函数零、极点与开环极点的关系，利用幅角原理，可以得到特征函数零点分布与开环极点分布及开环幅角变化可以得到特征函数零点分布与开环极点分布及开环幅角变化的关系。的关系。将(6-18)分解因式得：1212)()(nnK szszszA sspspsp()()(=)()()（620）ziipiijizjips zA es pA e-=-=()()()()()()()DDNNDDGs HsGs HsA sGs Hs+（618）将(6-21)和(6-22)代入(6-20)得12121112121()nnzzznzpiiniiipppninjjjnjzzzzjjjippppKA eA eA eAA sKeAA eA eA e（）(6-23)223ssz3szzpppssaA szszzzppzp123111212若令顺时针方向的相位角变化为负，逆时针为正，当自变量沿图65（）中封闭曲线顺时针变化一圈时，式（623）中各向量及（）的幅角均发生变化。图中零点 被包围在中，则向量（）幅角变化为；其它的，等均在外，故相应的幅角变化均为零，即0。若中包含 个闭环特征方程的根，sAsA sA sb个开环极点，当 沿顺时针转一圈时，则向量（）在（）平面上沿曲线变化。如图65（）所示，根据式（623），其幅角变化为11()22iinnzpiiA szp=-=(-)-(-)(6-24)2两边同除以，得N p z=-(6-25)sANsA sA s上式即为幅角原理的数学表达式，其中 表示当 沿顺时针转一圈时，则向量（）的矢量曲线在（）平面上绕过原点逆时针转的圈数000NNA sN 表示逆时针转的圈数 表示（）不包围原点 表示顺时针转的圈数下面以右图为例说明如何确定N：由式625可知，在A(s)平面上，过原点任作一条直线OC，观察A(s)形成的矢端曲线A以不同方向通过OC直线次数的差值来定N，顺时针通过为负，逆时针通过为正。(a)N=2;(b)N=0;(c)N=3;(d)N=0;Npz(6-25)（3）奈奎斯特判据 判别系统的稳定性就是判别闭环特征方程在s平面右半平面根的个数，即特征函数A(s)在右半平面的零点数。ssAsA ssjjjA sNA s如右图所示，为包括虚轴在内的半径为无穷大的半圆，就可以根据式625来确定（）在右半平面的零点数。若 沿由至在沿无穷大半圆顺时针绕回至时，若在（）平面上相应的绕其原点转 圈，由于特征函数（）在右半平面的零点和极点都包含在曲线内，因而可以推算其右半平面的零点数：zpN(6-26)AA sN pz=如果（）向量矢端曲线饶原点逆时针转圈数=，则0，系统即为稳定，否则不稳定。（4）开环传递函数与奈奎斯特判据()()1G s H s (6-27)我们可以通过坐标平移，由1+G(s)H(s)平面即A(s)平面变换到GH平面（G(s)H(s)的简写），即由1+G(s)H(s)=0变换为：如图所示，在1+G(s)H(s)平面上绕原点逆时针旋转的圈数，相当于在GH平面上绕（1,j0）点逆时针旋转的圈数。这样我们就可以用系统的开环传递函数G(s)H(s)来判别系统的稳定性。（4）开环传递函数与奈奎斯特判据当在s平面上的点沿虚轴及包围右半平面之无穷大半圆s曲线顺时针旋转一周时，在GH平面上所画的开环传递函数G(s)H(s)的轨迹叫做奈奎斯特曲线。（4）开环传递函数与奈奎斯特判据综上所述，用奈奎斯特法判别系统稳定性，一个系统稳定的必要和充分条件是：z=pN=0式中：z为闭环特征方程在s右半平面的特征根数；p为开环传递函数在s右半平面（不包括原点）的极点数；N为自变量s沿包含虚轴及整个右半平面在内的极大的封闭曲线顺时针转一圈时，开环奈奎斯特图绕（1,j0）点逆时针转的圈数；当p0，即开环无极点在s右半平面，则系统稳定的必要和充分条件是开环奈奎斯特图不包围（1,j0）点，即N0。（4）开环传递函数与奈奎斯特判据如果特征方程式为：001()()0KGs Hs+=其中 即为式456所示的典型表达形式 ，K为开环增益。将 中的K分离出来则有：001()()Gs HsK 00()()Gs Hs()()G s H s()()G s H s 10K（，）即可通过 的奈奎斯特图绕 点转的圈数和极点数来判别系统的稳定性。00()()Gs Hs 0j对于G(s)H(s)在原点或虚轴上有极点的情况，应使s沿着绕过这些极点的极小半圆变化，如图(a)所示。这个小半圆的半径为 ，通常是在s平面的右半侧绕过这些极点，这样原点和虚轴上的极点就不包括在内。以原点处的极点为例，当s沿着虚轴从 向上运动到这些小半圆时，由于 ，故s是从 开始沿此小半圆绕到 ，然后再沿虚轴继续运动，如图(b)所示。这些小半圆的面积趋近于零，因此除了原点和虚轴上的极点外，右半s平面的零点、极点仍将全部被包含在无穷大半径的封闭曲线之内。对应于s平面上这一无穷小半圆，在GH平面上的图形是一个半径 趋于无穷大的半圆（因为G(s)H(s)的极点在虚轴上，其幅值是变量s的幅值之倒数），这样GH的向量轨迹为如图(c)所示的封闭曲线。（4）开环传递函数与奈奎斯特判据00j-j-02.用奈奎斯特法判别系统的稳定性例6.8 判别如图所示0型系统的稳定性，其对应开环传递函数和奈奎斯特图分别为：12(1)()()(1)(1)KG s H sTsT s123(2)()()(1)(1)(1)KG s H sTsT sT s41231)(3)()()(1)(1)(1)K T sG s H sTsT sT s（12340KTTTT式中：，均大于12()()(1)(1)KG s H sTsT s因为p0，N0，所以z0，系统稳定。123()()(1)(1)(1)KG s H sTsT sT s因为p0，N2，所以zpN2，系统不稳定。41231)()()(1)(1)(1)K T sG s H sTsT sT s（因为p0，N0，所以zpN0，系统稳定。例例6.10 设系统开环传递函数和奈奎斯特图如下，试判别其稳定性12(1)()()(1)(1)KG s H ss TsT s=12(2)()()(1)(1)KG s H ss TsT s1234(1)(1)(3)()()(1)(1)(1)(1)abK T sT sG s H sTsT sT sT s1234abKTTTTTT式中：，均大于0例例6.11 判别II型系统的稳定性，其开环传递函数为：21()()KG s H ss（）=212()()(1)KG s H ss Ts（）=22113()()1K T sG s H ssTs（+）（）=（+）21214()()11aK T sG s H ss TsT s(+)（）=(+)(+)例例6.12 已知系统的开环传递函数如下，试分析其稳定性()()1)(2)seG s H ss ss-=(3 实例实例 判别电液伺服系统的稳定性电液伺服系统开环传递函数可简化为：1222211()()22(1)(1)phvppppppG s H sK K K KKssssss系统的奈奎斯特图：开环传递函数的频率特性：22()()(12)vpppKG jH jjj与负实轴交点的相位角应为180，即：oo22290arctan1801ppp o222arctan901ppp解得：2221ppp 2210pgp可得与负实轴交点的幅值为：2221 2222()()2(1)4)pvvggpppppKKG jH j 要使系统稳定，则必须满足：12vppK 2vppK 即：即速度放大系数Kv受 和 的限制，不能太大。pp6.4 系统的相对稳定性由奈奎斯特图与（1,j0）点的关系，不但可判别系统稳定与否，而且它还表示了系统稳定或不稳定的程度，即系统的相对稳定性，我们用相位裕量和幅值裕量来表示系统稳定性的程度。180()c 0030 60=1.相位裕量和幅值裕量Kg在开环奈奎斯特图上，从原点到奈奎斯特图与单位圆的交点连一直线，该直线与负实轴的夹角就是相位裕量，可表示为：()c 为奈奎斯特图与单位圆交点频率 上的相位角。称作剪切频率或幅值穿越频率。cc系统稳定系统不稳定越小表示系统相对稳定性越差，一般取：001()()gggKG jH j()()1()()1ggggG jH jG jH j在开环奈奎斯特图上，奈奎斯特图与负实轴交点处幅值的倒数，称幅值裕量Kg。而奈奎斯特图与负实轴交点处的频率 称作相位穿越频率（或相位交界频率），则有：在伯德图上，幅值裕量取分贝为单位，则，则 ，系统稳定，则 ，系统不稳定Kg一般取820dB为宜。g120lgdB()()gggKG jH j0dB0dBggKK11gK11gK关于幅值裕量和相位裕量Kg的说明：1.当 ，系统稳定，是对最小相位系统而言，对非最小相位系统不适用；2.衡量一个系统的相对稳定性，必须同时用相位裕量和幅值裕量这两个指标；3.适当地选择相位裕量和幅值裕量，可以防止系统中参数变化导致系统不稳定的现象。一般取 ，。具有这样稳定性裕量的最小相位系统，即使系统开环增益或元件参数有所变化，通常也能使系统保持稳定。00dBgK 30 60=8 20dBgK 关于幅值裕量和相位裕量Kg的说明：c9030 60=4.对于最小相位系统，开环的幅频特性和相频特性有一定的关系，要求系统具有 的相位裕量，即意味着对数幅频图在穿越频率 处的斜率应大于 。为保持稳定，在 处应以 斜率穿越为好，因为当斜率为 穿越时，对应的相位角在 左右。考虑到还有其他因素的影响就能满足 。30 60c40dB/dec20dB/dec20dB/dec关于幅值裕量和相位裕量Kg的说明：5.分析一阶和二阶系统的稳定程度，其相位裕量总大于零，而其幅值裕量为无穷大，因此从理论上一阶和二阶系统不可能不稳定。但是实际上某些一阶和二阶系统的数学模型本身是在忽略了一些次要因素之后建立的，实际系统常常是高阶的，其幅值裕量不可能为无穷大，因此系统参数变化时，比如开环增益太大，这些系统仍有可能不稳定。系统开环频率特性与系统时域指标之间的关系n对于二阶系统而言，相位裕量、幅值穿越频率（截止频率）幅值穿越频率（截止频率）与时域指标（超调量、调节时间）有确定性的关系。n对高阶系统而言，相位裕量、幅值穿越频率（截止频率）幅值穿越频率（截止频率）都可以粗略估计高阶系统的响应特性。n相位裕量越大，系统阶跃响应的超调量和调节时间就越小。n幅值穿越频率（截止频率）幅值穿越频率（截止频率）也近似与调整时间成反比关系。sin1rM)%1sin1(4.016.0(%)9035()1sin1(5.2)1sin1(5.12(2pcsMKKt其中理想的频率特性n应该有积分环节且开环增益大，以满足稳态误差的要求；n在幅值穿越频率（截止频率）幅值穿越频率（截止频率）的邻域（通常称为中频段），应以-20dB/dec的斜率穿越0dB线，并占有足够宽的频带，以保证系统具备较大的相位裕量；n在高于幅值穿越频率（截止频率）幅值穿越频率（截止频率）的高频段，频率特性应该尽快衰减，以削减噪声的影响。例 题 例6.13 设系统开环传递函数如下，试分析当阻尼比很小时系统的相对稳定性222()()(2)nnnG s H ss ss例6.14 如图控制系统，当K10和K100时，试求系统的相位裕量和幅值裕量。2.条件稳定系统系统开环传递函数为：12(1)(1)()()(1)(1)abK T sT sG s H ssTsT s系统开环增益K较小时，系统稳定性较好，当K增大时，稳定性变差。K值增大或减小到一定程度，系统都有可能趋于不稳定，只有当K值在一定范围时，系统才稳定，这种系统称为“条件稳定系统”例6.15 已知单位反馈系统开环传递函数如下，试确定使系统稳定的K值232421()24KssG ss ss(+)(+)解：解：系统的特征方程为543224420sssKsKsK列出劳斯数列根据劳斯判据，要使系统稳定，必需22042013803271320KKKKKK-+-021.6250.6291.590KKKK0.6291.590K即系统稳定的条件为：0.629K1.590（条件稳定系统）。第六章 难点诠释1.奈奎斯特稳定判据：反馈控制系统稳定的充要条件是：奈奎斯特曲线反时针包围临界点 的圈数R等于开环传递函数在右半s平面的极点数P,即 ；否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根的个数Z可按下式确定奈奎斯特稳定判据在型和型系統中的应用开环系统传递函数在原点具有重极点01,jRPZPR 1111miiKn vvjjKsGssT sv580上述奈奎斯特路径经过原点，所以不能应用相角原理。为使奈奎斯特路径不经过原点，而且仍然能包围整个右半s平面，现以原点为圆心作一半径为无穷小的右半圆，并由以下四段组成奈式路径。（）正虚轴 。频率由 到（）半径为无穷大的右半圆 。，由。（）负虚轴 。频率由（）半径为无穷小的右半圆 。，由 ，如图5-37所示。对于型系统和型系统，当时，频率特性曲线趋于无穷远处，当时，频率特性曲线也趋于无穷远处。频率特性曲线及其镜像在无穷远处的连接线就是奈奎斯特路径中半径为无穷小得半圆在平面的像。sjsj0ejsRR 22 220 jsRe0 G s0R 0将半径为无穷小的半圆上的点表示为对于型系统，将式（5-81）代入上面中，则有它是半径为无穷大的右半圆。当由 变化到时，由 变换到，如图（5-38）所示。图中 、和 分别为奈奎斯特路径上的 、和各点的像。1110limjkjvsKGsK eRe21c1ajsRe KGs21221b1dcdbad1e581582对于型系统，将式（5-81）代入上面中，则有它是半径为无穷大的圆，当 由变化到时，由变化到，如图5-39所示。图中 、和 分别为奈奎斯特路径上 、和各点的像，也就是说，对于也就是说，对于、型系统，型系统，s 平面上以原点为圆心、以无穷远平面上以原点为圆心、以无穷远为半径位于该平面右半侧的小半圆在为半径位于该平面右半侧的小半圆在 平面上，映射轨迹将是按反时针方向平面上，映射轨迹将是按反时针方向从从 到到 分别转过分别转过 及及 弧度弧度，以无穷大为半径的圆弧。，以无穷大为半径的圆弧。KGs 22220limjkvjsKGsK eRe22 2a22K 0222b2c2ddcbae2e G s02583 奈奎斯特判据判断系统稳定性的实际方法奈奎斯特判据判断系统稳定性的实际方法 用奈奎斯特判据判断反馈系统稳定性时，一般只需绘制 从0 到 时的开环幅相曲线，然后按其包围 点圈数 N（反时针方向包围时为正，顺时针方向包围时为负)和开环传递函数在右半 s 平面上的极点数P，根据公式 确定闭环特征方程在右半平面上的根的个数。如果 ，闭环系统稳定；否则闭环系统不稳定。如果开环传递函数包含积分环节，且假设个数为 ，则绘制开环幅相曲线后从 对应的点开始，反时针方向补画 个半径为无穷大的圆，但圆的方向是顺时针的。将补画部分也作为开环幅相曲线的一部分，然后求包围临界点的圈数 N。1,0j2ZPN0Z 0v4584例例 已知单位负反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如图5-48所示。试求系统开环传递函数，并计算系统的稳定裕度。解（1)求开环传递函数 本题给定的开环对数幅频特性中，已知低频段斜率为 ，说明系统包含两个积分环节，在 时，开环对数幅频特性斜率由 为 ，故 为一阶微分环节交接频率。在 时，斜率由 变为 ，故 为两个惯性环节的交接频率。根据上面的分析，可得系统的开环频率传递函数为20/dB dec140/dB dec60/dB dec40/dB dec40/dB dec10110K可由 采用近似方法求得。，由于故可取 （认为 ），（认为 ）则即系统开环传递函数为 2210.11KK sGsss222110.11ccccKA3.16c110c20.111c 20.11c20.11c20.111c 211ccccKKA3.16cK 223.1610.11KsGsss（2）求系统稳定裕度由于又知 ，所以令 ，求得 。则幅值裕度（近似计算）可知系统是稳定的。180arctan2arctan0.1 180180arctan2arctan0.137.4cc110g 180 8.94g23.162020log20log9.031ggggLloghAdB 03.16c5.7 开环频率特性与系统动态性能的关系对于单位负反馈系统，其开、闭环传递函数之间的关系为 （5-90）系统的动态结构及所有参数惟一地取决于开环传递函数，即使不是单位负反馈系统，系统的开环传递函数也包括了系统中的所有元部件，因此系统的开环频率特性对系统闭环后的动态性能肯定应有所表现。下面仅就这个问题做定性的讨论。1.低频段 低频段通常是指 的近似线在第一个转折频率以前的区段。这一区段的特性完全由积分环节和开环增益决定。设低频段对应的传递函数为 （5-91）5.7 开环频率特性与系统动态性能的关系对于单位负反馈系统，其开、闭环传递函数之间的关系为 （5-90）系统的动态结构及所有参数惟一地取决于开环传递函数，即使不是单位负反馈系统，系统的开环传递函数也包括了系统中的所有元部件，因此系统的开环频率特性对系统闭环后的动态性能肯定应有所表现。下面仅就这个问题做定性的讨论。1.低频段 低频段通常是指 的近似线在第一个转折频率以前的区段。这一区段的特性完全由积分环节和开环增益决定。设低频段对应的传递函数为 （5-91）()()1()G ssG s()L()vKG ss则其对应的对数幅频特性为 （5-92）为不同值时，低频段对数幅频特性曲线的形状分别为如图5-49所示。它们是一些斜率不等的直线，斜率值为 。对于常见的型系统，要求开环传递函数中串联有一个积分环节，即 。为了保证系统跟踪斜坡信号的精度，开环增益K应足够大，这就限定了低频率段的斜率和高度。斜率应为 ，高度将由K值决定。开环增益K和低频段高度的关系可以用多种方法确定。例如，将低频段对数幅频的延长线交于0dB，则由式（5-92），得则其对应的对数幅频特性为 （5-92）为不同值时，低频段对数幅频特性曲线的形状分别为如图5-49所示。它们是一些斜率不等的直线，斜率值为 。对于常见的型系统，要求开环传递函数中串联有一个积分环节，即 。为了保证系统跟踪斜坡信号的精度，开环增益K应足够大，这就限定了低频率段的斜率和高度。斜率应为 ，高度将由K值决定。开环增益K和低频段高度的关系可以用多种方法确定。例如，将低频段对数幅频的延长线交于0dB，则由式（5-92），得()20log20log20logvKLKvv20/vdB dec1v 20/dB dec （5-93)故 （5-94）或者说交点处的角频率等于 。若 ，则交点处的 。可在对数坐标的0dB线上找出数值为K的点，过此点做 斜率的直线，即为型系统的低频段对数幅频特性。对型系统，低频段的斜率为 ，其延长线与0dB线的交点频率则为 。可见，低频段斜率的绝对值越大，位置越高，对应于串联的积分环节的数目越多（型别越高），开环增益越大。故闭环系统在满足稳定的条件下，低频段斜率的绝对值越大，其稳态误差越小，动态响应的最终精度越高。（5-93)故 （5-94）或者说交点处的角频率等于 。若 ，则交点处的 。可在对数坐标的0dB线上找出数值为K的点，过此点做 斜率的直线，即为型系统的低频段对数幅频特性。对型系统，低频段的斜率为 ，其延长线与0dB线的交点频率则为 。可见，低频段斜率的绝对值越大，位置越高，对应于串联的积分环节的数目越多（型别越高），开环增益越大。故闭环系统在满足稳定的条件下，低频段斜率的绝对值越大，其稳态误差越小，动态响应的最终精度越高。20log0vKvKvKK2v 40/dB decK1v 20/dB dec2.中频段 中频段是指开环对数幅频特性曲线 在截止频率 附近的区段。这一区段的特性集中反映闭环系统动态响应的稳定性和快速性。下面在假定闭环系统稳定的条件下，对两种典型情况进行讨论。如图5-50所示。第一种典型情况第一种典型情况 如果 曲线的中频段斜率为 ，而且占据的频率区间较宽，如图5-50（a）所示，则只从平稳性和快速性看，可近似认为开环的整个特性为 的直线，其对应的开环传递函数为 （5-95）对于单位负反馈系统，闭环传递函数为 （5-96）这相当于一阶系统，阶跃响应没有振荡，有较好的稳定性。其调节时间为 ，截止频率 越高，调节时间 越小，系统的快速性越好。2.中频段 中频段是指开环对数幅频特性曲线 在截止频率 附近的区段。这一区段的特性集中反映闭环系统动态响应的稳定性和快速性。下面在假定闭环系统稳定的条件下，对两种典型情况进行讨论。如图5-50所示。第一种典型情况第一种典型情况 如果 曲线的中频段斜率为 ，而且占据的频率区间较宽，如图5-50（a）所示，则只从平稳性和快速性看，可近似认为开环的整个特性为 的直线，其对应的开环传递函数为 （5-95）对于单位负反馈系统，闭环传递函数为 （5-96）这相当于一阶系统，阶跃响应没有振荡，有较好的稳定性。其调节时间为 ，截止频率 越高，调节时间 越小，系统的快速性越好。()Lc()L20/dB dec20/dB dec()cKG sss/()1()11()1/1cccsG ssG sss3(5%)sctcst 因此，若将中频段配置较宽的 斜率直线，且截止频率高一些，系统将具有近似一阶模型的动态过程，超调 及调节时间 都可以很小。第二种典型情况第二种典型情况 如果 曲线的中频段斜率为 ，而且占据的频率区间较宽，如图5-50（b）所示，则只从平稳性和快速性看，可近似认为整个开环特性为 的直线，其对应的开环传递函数为 （5-97）对于单位负反馈系统，闭环传递函数为 （5-98）这相当于零阻尼 的二阶系统。系统处于临界稳定状态，动态过程持续等幅振荡。因此，中频段的斜率如果为 ，则所占频率区间不宜过宽，否则超调 及调节时间 将会显著增大。20/dB dec%st()L40/dB dec40/dB dec222()cKG sss222()()1()ccG ssG ss(0)40/dB dec%st中频段的斜率若在 以上，则闭环系统将难以稳定。故通常取 曲线在截止频率 附近的斜率为 ，以期得到良好的平稳性；而以提高 来保证要求的快速性。3.高频段 高频段是指开环对数幅频特性曲线 在中频段以后 的区段。由于远离 ，一般分贝值较低，故对系统的动态响应影响不大。但从系统抗干扰性的角度看，高频段是很重要的。由于高频段的开环幅频特性的分贝值较低，有 即故对单位负反馈系统，有 （5-99）即闭环幅频特性约等于开环幅频特性。40/dB dec20/dB dec()Lcc()L()cc20log()0G j()1G j1G jjG jG j 因此，系统开环对数幅频特性在高频段的幅值直接反映了对输入端高频干扰信号的抑制能力。这部分特性的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。总之，在开环对数频率特性的三个频段中，总之，在开环对数频率特性的三个频段中，低频段决定了系统的稳态精度；低频段决定了系统的稳态精度；中频段决定了系统的平稳性和快速性；中频段决定了系统的平稳性和快速性；高频段决定了系统的抗干扰能力。高频段决定了系统的抗干扰能力。三个频段的划分并没有严格的确定性准则，但是三个频段的概念为直接运用开环三个频段的划分并没有严格的确定性准则，但是三个频段的概念为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统特性判别稳定的闭环系统 的动态动能，指出了原则和方向。的动态动能，指出了原则和方向。