排队论大学课件7MM排队模型

18:16:331M/M排队模型综述排队模型综述18:16:342排队模型回顾排队模型回顾顾客到达排队系统请求服务如果排队系统中顾客数没有满，则进入排队系统如果有空闲的服务窗，则直接到服务机构接受服务如果服务窗全部被占用，则排队等候排队机构服务机构18:16:343M/M.排队系统的几种可能状态排队系统的几种可能状态0=0=02=2=27=7=3假如此系统容量为7(M/M/3/7)7=07=318:16:344排队模型排队模型Kendall记号记号A/B/C/D/E顾客到达间隔时间分布顾客到达间隔时间分布服务窗服务时间的分布服务窗服务时间的分布服务窗个数服务窗个数系统中允许的最大顾客数，系统中允许的最大顾客数，默认无默认无穷穷顾客源中顾客数，顾客源中顾客数，默认无穷默认无穷C=DE 损失制队列最大长度D=等待制CDm时。,1,11()(0)(1)()()()()(1)(1)()()i ittji ittjptPtPtkteeottotptPtPtkeCteotjtot 内到达了1个，离开了 个内到达了k个，离开了个,k2内到达了0个，离开了 个内到达了k个，离开了个,k118:16:359增长率和消亡率的分析增长率和消亡率的分析00()()()()()1()()0()()()()1()iittjtptPtPteeotjtotiptPtPteottot 内到达了0个，离开了0个内到达了k个，离开了k个,k 1当时内到达了0个内到达了k个，离开了k个,k 118:16:3510增长率和消亡率的分析增长率和消亡率的分析 由此，M/M/型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在接受服务j=m,im 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在服务，正在接受服务的顾客数服务窗个数,100,100()0()limlim()0()limlimi iitti iittptttttptjttjjtt 是正在忙的服务窗个数18:16:3511第三章 单服务窗排队模型第一节 损失制M/M/1/1第二节 等待制M/M/1第三节 混合制M/M/1/m第四节 可变服务率的M/M/1第五节 可变输入率的M/M/1第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m第八节 有差错服务的M/M/118:16:3512第一节第一节 单服务窗损失制排队模型单服务窗损失制排队模型M/M/1/118:16:3513排队模型分析排队模型分析M/M/1/1顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为，服务窗服务时间为负指数分布，参数为，系统最大顾客数1决定了系统状态为0,1状态0系统中顾客数为0 服务窗空闲状态1 系统中有1个顾客，此顾客正在接受服务 系统顾客满服务窗忙01 损失的顾客损失的顾客()ta te()tb teQ18:16:3514求解平稳分布求解平稳分布根据马氏链、生灭过程求平稳分布的公式：列出平衡方程：0Q1001011111pppppp令本书从现在开始用p0,p1,p2,表示平稳分布18:16:3515M/M/1/1的各个目标参量的各个目标参量 单位时间内损失的顾客数单位时间内平均进入系统的顾客数相对通过能力Q（即单位时间内被服务完的顾客数与请求服务顾客数之比值）绝对通过能力A（单位时间内被服务完顾客的均值）1Pp损211Lp01ep01eAp书44页011eQp18:16:3516M/M/1/1例题例题设某条电话线，平均每分钟有0.6次呼唤，若每次通话时间平均为1.25分钟，求相应的Q，A与P损（电话业务我们通常采用M/M/排队模型）18:16:3617M/M/1/1例题例题设某条电话线，平均每分钟有0.6次呼唤，若每次通话时间平均为1.25分钟，求相应的Q，A与P损解：按题意知0130.60.80.751.254110.575711 0.750.60.340.3411 0.7511 0.570.43eQpAQ 损那么即在稳态时有的呼唤得到服务即每条电话线路平均每分钟有次通话P即约43%的呼唤不能接通18:16:3618补充：系统负载补充：系统负载业务强度（traffic intensity）/业务负载（traffic load）a.单位时间内的业务到达量（offered load）单位时间内到达系统的平均呼叫数平均通话时间长度b.单位时间内的业务承载量（carried load）单位时间内得到服务的平均呼叫数平均通话时间长度如果通话时间长度的单位为“小时”的话，则话务量单位为“小时呼”，也叫“爱尔兰（erl）”。话务量总是针对一段时间而言，如：一天或一小时。111()QQoffered load服18:16:3619补充：系统负载举例补充：系统负载举例例如：某电话用户1012点之间共拨打电话5次，总通话时间为30分钟，求此用户线平均每小时的业务量解：5/(260)5/30承载的业务量为 a=/=30/(260)=0.25erl一个服务窗每小时最多提供一个服务窗每小时最多提供 1erl 的业务承载量的业务承载量传统电话网：普通用户 0.10.2erl集团交换机 0.10.6erl18:16:3620补充：关于业务负载的几个典型参数补充：关于业务负载的几个典型参数分组交换网：考虑两个路由器之间的一条传输线路，假定每秒钟平均传输10个数据包，数据包平均长度400字节，线路传输速度为64kbps。=10 =64,000/4008则业务强度为：=104008/64,000=0.5=50%如果线路速度为150Mbps，则=104008/150,000,000=0.0002=0.02%18:16:3621服务强度服务强度资源利用率（utilization ratio）、服务强度承载业务量/线路数（服务窗个数）就是服务窗忙的概率，通信中就是输出线路有数据传输的概率或者通话线路被占用的概率1/1/1111M Mp服在排队模型中，服务强度18:16:3622Little公式公式考虑一个能够达到平稳的排队系统，为到达率，W为每个顾客在系统中耗费的平均时间，L为系统中的平均顾客数，则有L=W证明：假设在一段比较长的时间区间（0,t）内，系统一直处于统计平衡状态，L，W都存在，表示单位时间进入到系统中的顾客数全部顾客一共耗费在系统中的时间 到达的顾客数平均等待时间tW系统中的平均顾客数tLtlim1tt WLWL t18:16:3623Little公式的直观理解公式的直观理解在统计平衡状态下，某一顾客离开排队系统时，回头看到的队列长度的平均值（L）应该等于此顾客在排队等待过程中平均进入排队系统的顾客数（W）WL排队系统18:16:3624Little公式的普遍性公式的普遍性Little公式成立的条件只有一个，那就是排队系统要达到统计平衡状态，在此条件下，它适用于任何排队系统。它关心的只是排队系统的三个统计平均量，对顾客到达的间隔时间和服务时间的分布以及排队规则不作任何要求但值得注意的是，Little公式中的三个统计平均量必须是针对同一顾客群而言。Ls=sWsLq=qWqL服=服W服18:16:3625用用M/M/1/1排队系统的结论排队系统的结论验证验证Little公式公式 0110011sssesssLLpppWWpLWLW 服服服服服服18:16:3626Little公式的物理意义公式的物理意义L是一个时间（time average）平均的概念，是不同时刻队列长度在很长一段时间内的平均W是顾客平均的概念，是许许多多个不同顾客等待时间的平均一般来讲W比较容易从统计中获得，L比较容易从理论分析中获得01lim()ttLl x dxt11limniniWwn18:16:3627Little公式应用公式应用一个没有等待位置的餐厅，平均每小时服务完30人，平均就餐时间为30分钟，请问平均就餐人数=30W=0.5L=W=0.530=15（人）