八年级数学反比例函数教案

八年级数学反比例函数教案9.1反比例函数教学目标：1、理解反比例函数的概念，会求比例系数。2、感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型，能够列出实际问题中的反比例函数关系.教学重点：理解反比例函数的概念。.教学难点：感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型.教学过程：1、情境创设：在速度v,时间t与路程S之间满足JLS： v t - s(1)如果速度v 一定时，路程s随时间t的增大而增大，路程s与时间t就成正比例关系。且对于时间t的每一个值，路程s都有唯一的一个值与它对应，它又是函数关系。因此，如果速度v 一定时，路程s是时间t 的正比例函数.(2)如果时间t 一定时，那么路程s与速度v又是什么关系呢？（3）如果路程s 一定时，那么速度v和时间 t又是什么关系呢？反比例关系：如果两个i=jx、y满足q二k （k为常数，kW0）,那么X、y就成反比例关系，是函数关系吗?2、探索活动： 活动一：汽车从南京出发开往上海（全程约为300km）,全程所用的时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.吗?（1）你能用含有 v 的代数式表示 t300t =v（2）利用（1）中的关系式完成下表：v/(km/h)608090100120t/h，发生怎样的变化?速度变大，时间减小；速度变小，时间增大。(3)速度v是时间t的函数吗？为什么？活动二：(1)利函数关系式表示下列问题中的两个变量之间的关系：一个面积为64004的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化;函数关系式6400a = b某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；函数关系式，20y 二一x实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化；函数关系式加=200n一名工人加工80个零件的时间 y(h)随该工人每小时能加工零件个数x（个/小时）的变化而变化.函数关系式，80y =一x（2）交流：函数关系式：6400、20、a = y = 一bxm 一200、y=80具有什么共同特 nx征？定义：一般地，形如,左（k为常数，y 二一xk丰0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，k是比例系数.反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的函数值y的取值范围是不等于0的一切实数.指出上述4个反比例函数的比例系数.例1、下列关系中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少?（1）y J ； y -； y 二一；x2x盯=1 ；y = |（6）y二3x一i ；（7）y = 2-1x练习：课本78页注：,左（k为常数，kW0）可以写成 y 二一xy=日-1（k为常数，k#0）.例2、已知函数,=（m+加%是反比例函数，求m的值。练习：已知函数y-g +1）2是反比例函数，求a的值。（2）思考：你还能举出反比例函数的实例吗？练习：课本78页1对于反比例函数y =20，它还能表x示什么其它的实际意义？3、小结与思考小结（略）思考：反比例函数,左（k为常数，卜。0）的自变 y =-x量x的取值范围为不等于0的实数。但在实际问题中，反比例函数的自变量取值范围往往受到限制，比如：（1）一名工人加工80个零件的时间y（h）随该工人每小时能加工零件个数x（个/小时）的变化而变化，函数关系式为,80。求该函数的自变量范围。y 二一 x（2）一个面积为64004的长方形的长 a（m）随宽b（m）的变化而变化,函数关系式为6400。求该函数的自变量的 a =b范围。（长是大于宽的）4、布置作业：课本79页 习题9.11、补充：1、若y与x成反比例，且x=-3时，y=7,则y 与x的函数关系式是。2、已知y-3与x+2成反比例，且x=2时， y=7,求（1） y与x的函数关系式。（2）求y=5时，x的值。9.2反比例函数的象与性质（1）新知导读1 .画函数y上的图象，首先应列出x、y的一些 x对应值，不列表你能知道横坐标x与纵坐标的符号之间有何关系吗？答：符号相同。2 .已知变量 y 与 x 成反比例,并且当 x=2时,y=-3.（1）求y与x的函数关系式；（2）求当 y=2时x的值;（3）在直角坐标系内画出（1）小题中函数图象的草图.答：（1）y=_6；（2）3；（3）图略，位于二四象限的双曲线。范例点睛例1.如果P （a, b）在y上的图象上，则在此X图象上的点还有（）A（-a，b）; B（a，-b）;C（-a，-b）;D（0，0）思路点拨：（1）可以从xy=k发现，横纵坐标之间的关系，由ab=k，而C选项y |（a）（b）=k，选 Co（2） y Q -3或者根据双曲线的特征，它是关十 B*于原点对称的，则图象上每个点1关于原点的对称点也在图象上，从而选Co 易错辨析：注意双曲线是不经过原点的。例2.如图，已知P是双曲线y =2000上的任意一X点，过P分别作PA，X轴，PB;轴，A, B分别是垂足，（1）求四边形PAOB的面积。（2） P点向左移动时，四边形PAOB的面积如何变化？思路点拨：先利用双曲线设出P点的坐标，再转化为线段PA, PB的长度，通过计算得出面积。易错辨析：从坐标转化为线段长，注意加上绝对值。方法点评：(1)设 P(a,2000)，则 PA=|2000|，PB=lal，aa四边形 PAOB 的面积 S=PA PB=I 2ooo | lal=( a2ooo)(a)=2000。(2)面积不变。a课外链接有一游泳池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x立方米的话，则经过y小时可以把水放完。写出y与x的函数关系式及自变量x 的取值范围，画出函数图象。易错辨析：自变量的范围是x0,注意的范围不是0Vx12；函数图象是双曲线的一支，只有第一象限。随堂演练1 .已知y与2x1成反比例，且当x=1时,y=2,那么当x=0时,y=.2 .若函数y=(m-1) x?2是反比例函数,则m的值 xm 2等于()A.1B.1 C.-D.-1v33 .一次函数丫2x 1与反比例函数丫4的图象交 x(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数个4 .已知P为函数y=2图像上一点，且P到原x点的距离为2,则符合条件的点P数为(A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个5分别在坐标系中画出它们的函数图象。(1) y=1(2) y=z32xx6 .已知x,y满足xy=-4,用x的代数式表示y,并画出函数图象.7 .反比例函数y k的图象经过点(-2,4),求它的解析式，并向出函数图象，图象分布在哪几个象限？与坐标轴的交点是什么？8 .已知三角形的面积为24cm2，任一边a(cm)与这边上的高h(cm)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围,画出图象.9 .已知反比例函数丫和一次函数y=kx+b的图象都经过(2,-1),(1,c)两点，求这两个函数的解析式10 .已知一次函数丫=2*4的图象与反比例函数y= s 的图象相交，其中一个交点纵坐标为-4, x求k。9.2反比例函数的象与性质(2)新知导读1 .写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数的解析式是.答：答案不唯一，比例系数小于0。2 .点A(-2,丫)与点8(-1, y)都在反比例函数12y =-2的图像上，则y与y的大小关系为12x()A.yi y2CE = y2D.无法确定答：A。范例点睛1.已知反比例函数y=k（k40）与一次函数y=x x的图象有交点，则k的范围是.思路点拨：因为y=x经过一三象限，则反比例函数经过一三象限，k0。课外链接1.若点4）是反比例函数y=m22m 1图象上一x点,则此函数图象必经过点（）A.（2,6）B.（2,-6）C.（4,-3）D.（3,-4）思路点拨：（1）反比例函数是关于原点的中心对称图形，它必定经过（3，4），但没有这个选项。（2）若把（3，4）代入解析式，发现目前无法计算出m的值。（3）最后可以根据（3,4），确定反比例函数的比例系数一定是12，横纵坐标的乘积必定为12,从而选择A。随堂演练1 .已知反比例函数尸S，当m 时，其图x时，象的两个分支在第二、四象限内；当其图象在每个象限内 随 的增大而减小。myx2 .若反比例函数，k一3的图象位于一、三象限y =x内，正比例函数，39比过二、四象限，则k的 y =(2 k 9) x整数值是。3 .在同一直角坐标系内，函数y=2x与y=8的交 x点坐标为。4 .已知P (1, m2+1)在双曲线k上，则双曲线 y =-在第象限，在每个象限y随x的增大而x那么它的图象分布在的增大而减小，A.第一、二象限第二、三象限 D.6.反比例函数丫=k + 3x5 .如果反比例函数,左在每个象限内，y随x)=-B.第一、三象限 C.第二、四象限的图象在每个象限内的函数值丫随自变量x的增大而增大，那么k的取值范围是（）A.kW-3 B.k2-3C.k-3D.k0时,y随x的增大而增大的8 .已知一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数劭的图象在（）y =XA.第一、二象限；8,第三、四象限;C.第一、三象限；D.第二、四象限.9 .下列函数中，图象大致为如图的是（）A.y= i (x0)C.y=-1(x0)D.y=-1(x0)XX10.已知圆柱体的侧面积为80 cm2,若圆柱底面 兀径为（皿）,高线长为h（cm）,则h关于r的函数的图象大致是（）11若ab 0时，这个反比例函数值 随的增大如何变yx化？92反比例函数的象与性质(3)新知导读1.点P, Q在y=J的图象上x(1)若P (1, a), Q (2, b),比较 a, b 的大小；(2)若 P (1, a), Q (2, b),比较 a, b 的大小；(3)你能从中发现y随x增大时的变化规律吗？思路点拨：通过图象来确定。(4)若 P (x1, y1), Q (x2, y2), x1a；(2) ab;(3)在每个象限内，y随x的增大而增大；(4)当位于同一分支上时，y1y2.范例点睛D k3 k1 k2思路点拨：（1）从反比例函数经过的象限，首先判断k10, k30;（2）只需比较k2与k3之间的大小关系，取同一个自变量如x=13时，在图象上找到对应的点，通过图象比较此时纵坐标的大小，根据反比例函数解析式，纵坐标大，则比例系数大， k20,则a0,点P(1,a)在图象上，则k0,在一、三象限。2 .(1)如图(1),A、C分别是反比例函数y=1X图象上两点。若RtAOB与RtCOD的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系是()A.S1S2B.S1=S2；C.S12(3)如图(3), A, B是函数丫=1的图像上关X于原点0对称的任意两点，AP平行于y轴，交 x轴于点P, BH平行于y轴，交x轴于点H,证明四边形AHBP面积为定值。随堂演练1.对于函数y=-5，当x0时，y 0,y随xX增大而2反比例函数的图象过点（2，-2），那么函数y与自变量x之间的关系式是,它的图象在第象限内。3 .反比例函数y=（m-1）32的图像在二、四象 X3 m限，则m的值为.4 .在函数y=2,y=x+5,y=-5x的图像中，是 X中心对称图形，且对称中心是原点的图像有一个.一5 .已知反比例函数y=MkW0），当x0时，Xy随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图像过象限.6.一次函数丫=卜乂-23随x的增大而减小，那么反比例系数丫=左（XA.当 x0时，y0B.在每个象限内，y随x的增大而减小C.图像在第一、三象限四象限7下列函数8，51y -8 x y 5 x 1D.图像在第二、随的增大而减小的有（yXA 3个个B.2个y =6(x0)，X)C.1个y(x y1 y2 y3D.y3 y2 y19已知函数y上(卜x是 y,y，若 x x 01221则下列结论正确的是（）B.y3 y10），又 X1则有C. y2y2 y1 y3对应的函数值分别 x2（）A. y1y20B. y2y10C. y1y20D. y2y10)和反比例函数y= k2(x0,正整数m 等于1。例2.当x=6时，反比例函数y或和一次函数y二-尹7的值相等.求反比例函数的解析式.(2)若等腰梯形ABCD的顶点 A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上,且BCADy 轴,A、B两点的横坐标分别是 a和a+2(a0),求a的值.思路点拨：(2)中，利用A、B在这个一次函数的图象上，设A (a,3a7), B (a+2,3。一224),C、D在这个反比例函数的图象上，设C(a+2,上),D(a,12)；过以B分别作AD的垂线， a +2a一垂足分别为M、N,因为CM=BN, CD=BA,所以DM=AN。从而得到：12-2L =3a4(3a7), a=2或 a a +222-4,所以a=2。易错辨析：由DM=AN,可以转化为D、C纵坐标的差和A、B纵坐标的差，但要注意符号问题， B点的纵坐标比A点的纵坐标大，它们的差等于AN。回顾反思本课所选的两个例题分别是融合本章的重要内容的题形，解决此类问题时，注意数形结合，正确读图象，看坐标水平和竖直方向分别表示的是什么量；正确的提取信息，要学会从图象中提取适当的数量关系，同时还要能根据图象中的数量关系列出方程(组)。训练巩固1 .函数y=_5中，当x=1时,y=;当x= x2时,y=-1.2 .已知函数y二kx的图象经过点(2,-6),则函数y=%的解析式可确定为，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而3 .已知y与2x+1成反比例月当x=1时,丫=2,那么当x=0时,y=.4函数y=(a2+2a)xa2t中,当=时,是正比例函数；当a=一时，是反比例函数.5.已知函数y=上在每个象限内,y随x的减小x而减小，则k的取值范围是1 .已知反比例函数y=1”当x0时,y随x的 kx 12 k而增大.7 .点A(a, b )、B(a_1,)均在反比例函数y = i x的图象上，若aV0,则b c.8 .正比例函数y=k1x(k1r 0)和反比例函数 y=匀(k r0)的一个交点为(m,n),则另一个交点q 2 x为.9 .下列函数中,图象经过原点的是()A.y= i B.y=x+1 C.y= x D.y=3-x x10 .已知双曲线y=k(kW0)在第二、四象限， x则直线y=kx+b且bV0,直线一定不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11 .已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则函数y二k的图象在()B.第二、四象限。第三、bxA.第一、三象限四象限 D.第一、二象限12 .当x0时,两个函数值y 一个随x的增大而增大另一个随x的增大而减少的是()A.y=3x 与 y= i xC.y=-2x+6 与 y= ixB.y=3x 与 y=一 ixD.y=3xT5 与 y=-1x13 .已知:正比例函数丫=*图象上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，反比例函数y二k的y随的增大而减小,一次函数y=-k2X-k+a+4经过点x(-2,4).求a的值；(2)求反比例函数和一次函数的解析式；(3)在直角坐标系中,画出 y=-k2X-k+a+4的图象,利用图象求出当函数丫的值在-3y4范围内时,相应x值的范围.反比例函数小结与思考(2)教学目标1 .继续巩固反比例函数概念，能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题；2 .进一步体会数形结合的数学思想教学重点灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题教学难点能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题教学方法例题分析，查缺补漏，教学过程（一）例题讲析：例1、如果函数m2是反比例函数，那么 y=%.2. m =例2、若M四和,）4c轴，垂足为 C,且的面积为2。求该反比例函数的解析式。若点（一0,y ）、（_20,y ）在该反比例函数的图象12上，试比较与的大小。yy12求的面积。（三）综合提高：某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房 ABCD.该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米.设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为 y元.（1）求y与x的函数关系式;（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8 Wx W12.当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？（四）课堂练习：课本P96-99任选（五）小结：本节课帮助学生整合本章知识体系，使学生能运用数形结合思想，根据反比例函数的性质，解决实际问题。（六）课后作业：见达标练习。