力学功和能功能原理例倔强系数为K的轻弹簧一端固

力学力学 功和能功和能 功能原理功能原理例例1、倔强系数为、倔强系数为K的轻弹簧，一端固定，另一的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为端与桌面上的质量为m的小球的小球B相连接。推动小相连接。推动小球，将弹簧压缩一段距离球，将弹簧压缩一段距离L后放开。假定小球所后放开。假定小球所受滑动摩擦力大小为受滑动摩擦力大小为 F且恒定不变，滑动摩擦系且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等，试求：数与静摩擦系数可视为相等，试求：L必须满足必须满足什么条件才能使小球放开后就开始运动，而且一什么条件才能使小球放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态。旦停止下来就一直保持静止状态。OLB)2(2121)()1(0,22kLkxxLFxFkLLxtO能定理：处的静止的条件，由动小球运动到：的小球开始运动的条件时，静止于在建立坐标系，为坐标原点解：取弹簧的自然长度LOXXBBBkFLxLxkFLkFLFkFLkxk2,)2(331)3(221式解为：）式，故其范围为：）、（同时满足（所求条件为使小球继续保持静止的力学力学 功和能功和能 动能定理动能定理例例1、一链条总长为、一链条总长为l，质量为，质量为m，放在桌面上靠边，放在桌面上靠边处，并使其一端下垂的长度为处，并使其一端下垂的长度为a，设链条与桌面间，设链条与桌面间的滑动摩擦系数为的滑动摩擦系数为 u，链条由静止开始运动，求（，链条由静止开始运动，求（1）到链条离开桌边的过程中到链条离开桌边的过程中 摩擦力对链条作了多少功摩擦力对链条作了多少功?（2）链条离开桌边时的速度是多少？）链条离开桌边时的速度是多少？l-aaox（号表示作负功）某时刻的摩擦力为如图，摩擦力作功为：解：取坐标2)(2)(/)(allmgdxxllmgWlxlmgffdxWoxlaflaflalmgxdxlmgpdxWPWvWWWmvmvWlalappfp2)(0,21212220202所作的功为重力质点系的动能定理：）以链条为对象，应用（2122222222)()(21)(22)(2)(1alallgvmvallmglalmglalmgWf）知又由（例例2、倔强系数为、倔强系数为k的轻弹簧，一端固定于墙上，另的轻弹簧，一端固定于墙上，另一端与质量为一端与质量为m2的木块的木块B用轻绳相连，整个系统放用轻绳相连，整个系统放在光滑水平面上（如图）。然后以不变的力在光滑水平面上（如图）。然后以不变的力 F向后向后拉拉m2，使，使 m1自平衡位置由静止开始运动，求木块自平衡位置由静止开始运动，求木块A、B系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力绳的拉力T对对 A所作的功，恒力所作的功，恒力F 对对 m2所作的功。所作的功。Au=0BkTm2m1F系统，由动能定理对，过程中所作的功为，弹簧在此的速度为木块所受合外力为零时，所作的功为对，所作的功为对设所受合外力为零，即：系统时，解：设弹簧伸长为21222111,/,0,mmWVWmFWmTkFxkxFBAxkFT)1(21:)1()(212222221VmWWmVmmWWTFkF对)(2)2()(21 212)(/121212212222221mmkmmFmmmkFVmWWmmkFVFT）式可得：由（）式，可求得：代入（)(2)2(2121221mmkmmFWWTT由于绳拉由于绳拉A和和B的方向相反，大小相等，而位移又相同，的方向相反，大小相等，而位移又相同，所以绳的拉力对所以绳的拉力对m1所作的功：所作的功：力学力学 动量守恒和机械能守恒动量守恒和机械能守恒 例、两个质量分别为例、两个质量分别为 m和和M的物体的物体A和和B.物体物体B为梯形物块，为梯形物块，H、h 和和w 如图所示。物体如图所示。物体A与与B以及以及B与地面之间均为光滑与地面之间均为光滑接触。开始时物体接触。开始时物体A位于物体位于物体B的左上方顶端处，物体的左上方顶端处，物体A和和B相对于地面均处于静止状态。求当物体相对于地面均处于静止状态。求当物体A沿物体沿物体B由斜面顶由斜面顶端滑至两物体分离时，物体端滑至两物体分离时，物体B的动量。的动量。hBHwABhHwAoxy轴方向方向：沿的动量大小为可解出物体）、（由式（机械能守恒水平方向动量守恒对地的速度为物体，的速度为对设物体解：建立坐标如图，并xwtgmMMmMhHgMmMuBwVuwVmMuhHmgwVumMuuBVBA)()()(2)21)2()cos(sin2121)()1(0)cos(,22222例、两个质量分别为例、两个质量分别为m1 和和 m2的木块的木块A和和B，用一个质量忽，用一个质量忽略不计、倔强系数为略不计、倔强系数为K的弹簧联接起来，放置在光滑水平面的弹簧联接起来，放置在光滑水平面上，使上，使A紧靠墙壁，如图所示，用力推木块紧靠墙壁，如图所示，用力推木块B使弹簧压缩使弹簧压缩 x，然后释放。已知然后释放。已知m1=m,m2=3m ，求，求（1）释放后，）释放后，A,B两两木块速度相等时的瞬时速度的大小；（木块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）释放后，弹簧的）释放后，弹簧的最大伸长量。最大伸长量。km2m1BAFm2F1BAT2T2T1T1受力分析如图：受力分析如图：0max0210212120222222110222110020200212,4/323434/3)2(21212121)1(32/3211xxmVVVmkmVVVVVVmVmkxVmVmVmVmAmkxVmVkxVBABBBBBBB）式得：再由（，）弹簧有最大伸长量时（时，解出：守恒，机械能守恒，有动量滑水平面上运动，系统离开墙壁后，系统在光得：由机械能守恒，有，的速度为将要离开墙壁设此时原长时）释放后，弹簧恢复到解：（例、一块长为例、一块长为 L=0.60m，质量为，质量为M=1kg 的均匀薄板，可绕的均匀薄板，可绕水平轴水平轴 oo 无摩擦地自由转动，当木块静止在平衡位置时，无摩擦地自由转动，当木块静止在平衡位置时，有一质量为有一质量为m=10 x10-3kg 的子弹垂直击中木块的子弹垂直击中木块A点，点，A离转离转轴轴oo 距离距离l=0.36m，子弹击中木板前的速度为，子弹击中木板前的速度为500m/s ，求：，求：（1）子弹给予木块的冲量；（）子弹给予木块的冲量；（2）木板获得的角速度。）木板获得的角速度。OLlAOv0lv0OSNIISNIImvmvpIx33)500200(1010)1(:312为故子弹给予木板的冲量方向上：则由动量定理，在水平，木板给予它的冲量为以子弹为研究对象，设解sradJlIJlIdtMsradMLJooJJvvmlJmvllmvM/960.013136.03/960.0131)200500(36.0101031,/)(0)2(223200外外板）或由角动量定理（对木的转动惯量为木板对其中，系统角动量守恒：则在碰撞过程中，以子弹木板为系统，例、如图示，滑轮质量为例、如图示，滑轮质量为M/4，均匀分布在轮缘，滑，均匀分布在轮缘，滑轮上绳的一端系一木块轮上绳的一端系一木块B,mB=M/2,设质量为设质量为M的人从的人从静止开始沿绳的另一端相对绳匀速向上爬，求静止开始沿绳的另一端相对绳匀速向上爬，求B上升上升的加速度的加速度a=?(设绳与滑轮间无相对滑动设绳与滑轮间无相对滑动）RaAaBMgMg/2M/2T1T1T2T2M/4解：设滑轮的半径为R，则其转动惯量（对O轴)4/2MRJ)1(,RaaB且的加速度都为由题意可知，人和)3(2/2/2)2(1,MaMgTMaTMgBA有：，作平动对是轮的角加速度其中7/2)5(,)4()221121gaTTTTJRTT：以上各式联立求解，得又对滑轮，（注：试比较下面的问题，绳与滑轮间无摩擦，有相对滑动的情况注：试比较下面的问题，绳与滑轮间无摩擦，有相对滑动的情况一根细绳跨过一定滑轮，一端挂一质量为一根细绳跨过一定滑轮，一端挂一质量为M的物体，另一端被的物体，另一端被人用手拉着，人的质量为人用手拉着，人的质量为M/2,若人相对绳以加速度若人相对绳以加速度a0向上爬，向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是wA)(2a0+g)/3 wB)-(3g-a0)wC)-(2a0+g)/3wD)a0受力分析如下图：受力分析如下图：a0+Mg/2TTMga3/)2(3/)()()2/(2/0000gaaaaagMaaaMMgTMaMgTaB人地解得：对地的加速度为解：设力学力学 刚体和质点运动的综合刚体和质点运动的综合w例：空心园环可绕光滑竖直轴例：空心园环可绕光滑竖直轴AC自由转动，转动自由转动，转动惯量为惯量为J0,环半径为环半径为R,初始时环的角速度初始时环的角速度w 0，质量，质量为为m的小球静止在环内最高处的小球静止在环内最高处A点，由于微扰，小点，由于微扰，小球沿环向下滑动。问小球滑到与环心球沿环向下滑动。问小球滑到与环心O在同一高度在同一高度的的B点和环的最低处点和环的最低处C点时，环的角加速度及小球点时，环的角加速度及小球对于环的速度各为多大？（设环和小球均光滑，小对于环的速度各为多大？（设环和小球均光滑，小球可视为质点，环截面半径球可视为质点，环截面半径rR)：AORCB0律，得：点时，由角动量守恒定在）得：代入（）得：由（度，也是相对环的速度为小球对地的竖直分速其中点时：在的水平面为势能零点，取环心又小球环地系统解：小球环系统，非保外外CJmRRJRgvmRJJvmgRJmvmRJJmRJBoconstEAAconstLMBBB02220020002002220002022)/(1)2(2121)(21)1()(.,0,.0RgvRmgmvccC4)2(2120例：一匀质细棒长为例：一匀质细棒长为2L，质量为，质量为m,以与棒长方向垂直以与棒长方向垂直的速度的速度v0在光滑的水平面内平动时，与前方一固定的在光滑的水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点光滑支点O发生完全弹性碰撞，碰撞点位于棒中心的发生完全弹性碰撞，碰撞点位于棒中心的一方一方1/2L处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕O点点转动的角加速度转动的角加速度w.LL/2AL/2v0olv0dlpBw在细棒AB与O点的碰撞的瞬间，其重力为AB和系统的外力，水平面的支持力，合外力矩等于零。系统角动量守恒。碰撞前，系统的角动量L0为：3L/2)1(210202/32/00mLvLvvdllLLLLvmLLmlmLL7621)2(127)2(41)23(4331:0222）得：）、（由（角动量，则系统为碰撞后，设棒的角速度例：一匀质园盘由静止开始以恒定角加速度绕一固定例：一匀质园盘由静止开始以恒定角加速度绕一固定轴旋转，在某一时刻，它的转速是轴旋转，在某一时刻，它的转速是10rev.s-1.再转再转60转转后，转速为后，转速为15 rev.s-1.试计算：试计算：w（1）角加速度的大小）角加速度的大小w（2）转到上述）转到上述60转所需的时间；转所需的时间；w（3）由静止达到）由静止达到10rev.s-1.的转速所需的时间；的转速所需的时间；w（4）由静止直到）由静止直到10rev.s-1.的转速时，园盘转过的的转速时，园盘转过的圈数。圈数。221222112122/54.61202120260,/30,/202sradradradsradsrad式解：由匀加速转动的公sttttttxttx8.454.610)(54.62402,21)2(12121212,22,112st6.954.620/)3(11revrev4860108108216254.690022)4(22222刚体定轴转动刚体定轴转动 转动定律转动定律例：例：一轻绳跨过两个质量为一轻绳跨过两个质量为m,半径为半径为r的均匀园盘状的均匀园盘状定滑轮，绳的两端分别挂质量为定滑轮，绳的两端分别挂质量为m和和2m的重物，如图的重物，如图示，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，将由两定示，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，将由两定滑轮和两重物组成的系统从静止释放。求两轮之间绳滑轮和两重物组成的系统从静止释放。求两轮之间绳的张力。的张力。mmT1T1rap1Tm2mT2T2rap2T解：对于两定滑轮的转动，必须明确，由于轻绳横跨 两轮，轮缘的线速度相等，切向加速度相等，因 而角加速度相等，这一点是解题的关键 根据变力分析，运用牛顿定律和转动定律列方程如下：)(dtdva 8/11)5()1()5()4()3()2(22)1(2121mgTraITrrTIrTTrmaTmgmaTmg联立方程得：解讨论：若两轮半径不等，讨论：若两轮半径不等，则应有什么关系式则应有什么关系式刚体定轴转动刚体定轴转动 转动定律转动定律 转动运动学转动运动学w质量为质量为m1，半径为，半径为r1的匀质园轮的匀质园轮A,以角加速度以角加速度w0绕通过绕通过其中心的水平光滑轴转动，若此时将其放在质量为其中心的水平光滑轴转动，若此时将其放在质量为m2，半径为半径为r2的另一匀质园轮的另一匀质园轮B上，上，B轮原来静止，但可绕通轮原来静止，但可绕通过其中心的水平光滑轴转动。放置后过其中心的水平光滑轴转动。放置后A轮的重量由轮的重量由B轮支轮支持，如图所示，设两轮间的摩擦系数为持，如图所示，设两轮间的摩擦系数为u。A、B轮对各轮对各自转轴的转动惯量分别为自转轴的转动惯量分别为1/2m1r12和和 1/2m2r22。证明：。证明：A轮放在轮放在B轮上到两轮间没有滑动为止，经过的时间为轮上到两轮间没有滑动为止，经过的时间为)(221012mmgrmtNm1gNBfm2gAfR1212ABm1 ,r1m2 ,r2解：解：1）首先，确定两轮间无相对滑动的条件：两轮）首先，确定两轮间无相对滑动的条件：两轮接触处的线速度相等：接触处的线速度相等：2）由受力分析可知：）由受力分析可知：A轮在摩擦力矩的作用下作轮在摩擦力矩的作用下作匀减速转动，设角加速度为匀减速转动，设角加速度为 ,B轮因受摩擦力作轮因受摩擦力作匀加速转动，设角加速度为匀加速转动，设角加速度为 ，又令从开始接，又令从开始接触到无相对滑动经历的时间为触到无相对滑动经历的时间为t,则由转动定律：则由转动定律：1)1(2211rr2)4()3()2(21112111gmNNfrmfr)(2)10(2/1109)9(2/)(86543)8(7432)7()6()5(2121012222121012210122222mmgrmttrmgmmtrgttffrmrf）式，得：），并利用（）（用）得：）（）（）（）（由（）得：）（）（）（由（由运动学公式：证毕讨论：能否用角动量定理求解证毕讨论：能否用角动量定理求解