第六章 时变电磁场典型例题

第六章 时变电磁场6.1在z = 3m的平面内，长度/ = 0.5 m的导线沿x轴方向排列。当该导线以速度V = 丁2 + e4 m/在磁感应强度B = 73x2z + 76 - 73xz减的磁场中移动时，求xy Sxyz感应电动势。解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有= J (v x B) - d lin根据已知条件，得(v x B)1= (e 2 + e 4) x (e 3x2z + e 6 一 e 3xz2) Iz=3xyxyzz=3=-e 108 x + e 54 x + e (12 一 36 x2)xyzdl = e dxx故感应电动势为= J。和 一 e 108 x + e 54 x + e (12 一 36 x2) - e dx = 一 13.5 Vin 0 xyz6.2长度为l的细导体棒位于xy平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场B = e B中以角速度w旋转时，求导体棒中的感应电动势。 z0解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 = J (v x b) - dlin根据已知条件，导体棒上任意半径r处的速度为dl = e drr1=B w 12V20故感应电动势为in=J1 (v x b) dl = Jl (厂 rwx Zb ). Zdr =w B J Lrdrz 0r00 0 z 0r0 06.3 试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。解:考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E和磁感应强度B的关系,将H = B卩,D = E, J = Q E代入即可，注意在非均匀媒质中卩,so是空间坐标的函数。考察麦克斯韦第一方程，有-B 11V x H = V x = (V) x B + V x B 卩 卩1 一 1 一Vpx B + V x B 卩2 卩一 a d 一 a E=J += J + atat所以 a E Vpx BV x B = y J + 卩 + a t卩而 v - D = v -（ E）= E V + V E =p，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E和b表示为 a E Vpx BV x B = p J + 卩 + a t卩一 a bV x E =- atV - B = 0V - E + V - E = p对于无耗媒质，o= 0，因此有J = 0。6.4试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程v - J =並。at解：对麦克斯韦第一方程v x H = j + -两边取散度，得at一 一 a dV - （V x H ） = V - J + V -= 0at又因为v -D =p，所以at6.5设真空中电荷量为q的点电荷以速度v (v c )向正z方向匀速运动，在 t = 0时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度(不考虑滞后效应)。解：选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为 (0, 0,vt) ，且产生的场强与角度无关，如习题所示。设P(r, , z)为空间任一点，则点电荷在P点产生的电场强度为 qR E =-4 兀 R30其中R为点电荷到P点的位置矢量，即R = er + e （z 一 vt）rz那么，由J = aD = aE，得d at 0 at- 一 3qrv （z 一 vt） 一 qv 2（ z 一 vt）2 一 r2 =e+ e -dr5 z54冗r2 + （z 一 vt）224冗r2 + （z 一 vt）226.6 已知自由空间的磁场为H = e H cos( o t 一 kz) A / my0式中的H、o、k为常数，试求位移电流密度和电场强度。0解： 随时间变化的磁场要产生电场，随时间变化的电场又要产生磁场，它们之间的相互联系和制约由麦克斯韦方程来表征。自由密度空间的传导电流密度J = 0，故由麦克斯韦第一方程得 a 一 e yx az=-e H cos( o t 一 kz)x az 0=-e kH sin( o t 一 kz)A /m2 x0，故atD = j Jdt = -e kH sin( ot 一 kz)dt =x0一 kHe”cos( ot 一 kz)C / m2xo一 D 一 kHE = = el cos( o t 一 kz )V / ms x os006.7 由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。解：对于静电场，不存在位移电流，由麦克斯韦方程，有V x E = 0, V D = pJ V DdV = j D d S = J p dV = qVSV根据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷q有sE 4冗r2 = q，所以距离该点电荷r处的电场强度为静电场为无旋场，因此有E = -V申，则V - D = sV - E = V Vq = V= p所以有即泊松方程。6.8 由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。解： 由麦克斯韦方程组，有Vx H = Jv - B = o因为矢量的旋度取散度为零，故可令在库仑规范下，v - A = o，因而V x (V x A) = V (V - A) - V 2 A =V x B = Vxy H =卩 J即由v2p = -P的解为可得14兀对于线电流于是H =丄 Vx A = 巾 V (-) x dl =U U4 兀 c r-if () x dl =4 兀 c r24兀d l x err26.9如图所示，同轴电缆的内导体半径a = 1mm，外导体内半径b4mm ，内、外导体间为空气介质，且电场强度为一 100E = e cos（10 81 一 0.5 z）V / mrr（1）求磁场强度 H 的表达式（2）求内导体表面的电流密度；（3）计算0 z 1m中的位移电流。解：（1）将E表示为复数形式，有一 100E (r, z) = e e -j0.5 zrr由复数形式的麦克斯韦方程，得H = - 1 v x E =-一 a ee = ejep e aze0一 0.398e 一 5 zA / M磁场H的瞬时表达式为H (r, z, t) = e0.398cos(10 81 一 0.5) A / m2）内导体表面的电流密度r =a rr=ae 397.9 cos(10 8 t 一 0.5) A / m 2 z(3) 位移电流密度aE 8.854 x10 2= esin(10 81 0.5) A / m2d = 0 atr所以0 Z 0的任何时刻，V - D p = 0皆满足需要。故得同样，对方程Vx E =a B两边取散度，得 atd Bd-V - (V x E) = -V -= -(V - B) = 0d td t故得6.11如图所示，两种理想介质，介电常数分别为和,分界面上没有自12由电荷。在分界面上，静电场电力线在介质1,2中与分界面法线的夹角分别为a和1求a1* Ib解：利用D和E的关系以及理想介质分界面的边界条件求解。亠F设D和D分别为介质1,2中电通量密度。E，E分别为介质1,2中电场强1212 度。在各向同性 介质中，D和E具有相同的方向。由 边界条件D = D和1n2 nE = E ，得1t2 tit2n1n而根据图可知D = D cos a1 n1 1E = E sin a1t11D = D cos a2 n2 2E = E sin a2 t22则得tan aee ee1 =-1=-r1_=-r1tan aee ee2 2r2 0r26.12写出在空气和卩=g的理想磁介质之间分界面上的边界条件。解：空气和理想导体分界面的边界条件为nx E = 0imnx H = Js根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E T H , H T - E, J T Js ms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件sm式中，为表面磁流密度。sm6.13在由理想导电壁（r = g）限定的区域0 x r ， f卜S = E x H = E cos（ o t + 屮 01=E x H cos（ o t + 屮200e+ w t +屮）+ cos（ co t + 屮me-ot 一屮）m1 -= E x H cos（ 2o t + 屮 + 屮 ）+ cos（屮 一屮 ）200e me m故平均坡印廷矢量为1 t1T 1-Sav屮）dtm=J Sdt = J E x H cos（ 2o t + 屮 + 屮）+ cos（屮T0T0 200em1 = E x H cos（屮一屮）2 00e m6.15 一个真空中存在的电磁场为E = e j E sin kzx0 H = e 0 E cos kzy 卩 0T 0其中k = 2兀/X = /c是波长。求z = 0 九/8 九/4各点的坡印廷矢量的瞬时值和平均值。解：-* * *兀E (z, t) = Re e jE sin( kz )e j = e E sin( kz ) cos( + t)0X 02E cos( kz) e j = e 0oH ( z , t ) = Re eyyE cos( kz) cos( t) 0o坡印廷矢量的瞬时值为i* 1 | |lXS (z, t) = E (z, t) x H (z, t) = - e0 E2 sin 2 kz sin 2 tz 4 丫 00故当 Z = 0 时有S (0, t ) = 0当Z =X 二0-时有8一 XE 2S (f, t) = - e0-l sin 2 t8X 4让0当Z =X二-0-时有4一 XS(F,t) = 04任一点的坡印廷矢量的平均值为SSV = T PSdtT01sin 2 kz Tsin 2tdt =06.16写出存在电荷p和电流密度J的无耗媒质中的E和H的波动方程的瞬时值形式解： 由麦克斯韦方程的微分形式- a hV x E = p at2）3）4）由式（1）两边取旋度，得- a pVx(Vx H) = Vx J + 8(Vx E)at利用矢量恒等式，Vx (Vx H) = -V 2 H +V (V - H)所以V 2 H V (V - H ) = V x J 8 (V x E) at将式（2）和式3）代入上- dV2 H = V x J 8(pd t故得5） a 2 hV2 H 8p= V x Jat2同理可得a 2 ea j1V2 E 8p =p + V pat2at 8式（5）式（6）则为所求的有源空间中E和H所满足的波动方程，是非齐次波 动方程。6.17 在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹规范条件，而是采用库仑规范条 件，即令V. A = 0，导出A和甲所满足的微分方程。解： 将电磁位定义代入麦克斯韦方程，利用V算子的二阶运算恒等式将所得式子简化，然后引入库仑规范条件就可得到A和甲所满足的方程即B=VxA代入麦克斯韦方程，由恒等式于是有-a aE = V 9 ata dV x H = J + 一 at-a e-V X (V X A) = J + = J + atVxVx A = V (V - A) V 2 Aa(V 9 ataA)atV (V - A) V 2 A = y J 陆 V (a9 )眩 at1)又将电磁矢量位和标量位代入V - E = V - (V 9 ) = Pa tV 29 + V - A = at令V - A = 0代入（1）和（2）得a2 A2at259y J + 甲V -at2)3)4)3）和（4）式即为在库仑规范条件下的电磁位所满足的微分方程。6.18海水的电导率Y = 4 S-m，在频率f = 1GHz时的相对介电常数81。r如果把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜， = 1, 丫二5.7 x 10 7 Sim，比较在f = 1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以 r看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微 分方程。解：对于海水，写出H的微分方程为YV x H = J + j co D = 丫 E + j cos E = j co ( j ) E即把海水视为等效介电常数为 =- j的电介质。co代入给定的参数得一10-94 一V x H = j2冗 x 109(81 x j)E36 冗2冗 x 109=j (4.5 j 4) E = (4 + j 4.5) E对于铜，传导电流的幅度为丫 E，位移电流的幅度曲E。故位移电流与传导 电流的幅度之比为o2 冗f r0 =5.7x10 7= 9.75 x1013 f可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜I H的微分方程为1-T+V x H = 丫 E = 5.7 x 107E6.19给定标量位申=x ct及矢量位A =式中c =xc(1) 试证明：V A 一卩8如；0 0 a t(2) 求 B、H、E 和 D ；3) 证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程解：(1)-a aax1V - A =x=1(t)=-axaxcca ,、i(x ct) = c = ：a t卩80 02)a*p 80 0 at1 ；=p 8 ( -) = Y p 800p 8000 0V - A = p 800a*at-_aaB = V x A = e x aza ae = 0z ay一a a a* a xE = V * = e e (_ t)atx axx at c=0a(x 一 ct) + e atxD = 0E = 03)这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。6.20 无源、无损耗媒质中的电场矢量为E(x, z,t) = e EymVcos( w t 一 k x 一 k z)(1)求与E相伴的磁场矢量H (x, z, t)； I(2)讨论E、H存在的必要条件。解：维系电场和磁场是麦克斯韦方程，求解就从麦克斯韦方程入手。在无源I,(j= 0, p= 0)、无损耗媒质(Y= 0)中，麦克斯韦方程为一 a eV x H = eata hV x E =卩 atVxH = 0(1)由 V - E =卩 aH 得 ata h ii a e 一 a e= V x E = (一 e严 + e 匕)a t 卩卩 x a z z a xacos( w t k x k z) + e (E cos( w t k x k z)x zz axmx zsin( wt k x k z)xzsin(wtk xk z)e k Exzz x m将上式对时间t积分，得 1 - 一H （x, z, t） = 一 e k E cos（ t 一 k x 一 k z） + e k E cos（ t 一 k x 一 k z）卩x z mxzz x mxz百(2)要使h、E作为满足麦克斯韦方程的电场、磁场矢量存在，表示式中的相关参数O、k、k和媒质参数卩、必须满足一定的关系。将求xzrO J出的H代入V x H = 得d tdE 1-1- dHdH= V x H = e （- 一 -）d t yd zd xr E=e k 一 k2 sin（ o t 一 k x 一 k z） 一 k2 sin（ o t 一 k x 一 k z）y o陋 zx zxx z将上式对时间t积分得E 1E = e k - （k2 + k2） cos（ o t 一 k x 一 k z）y o憾 o x zx zFm可见，欲使得出的H、E矢量作为满足麦克斯韦方程的电场、磁场矢量存在的必要条件为O2 卩 = （k2 + k2） = k2xz96