数模实验第四版数据拟合与模型参数估计

学模型实验实验报告4学院：河北大学工商学院 专业：电气七班姓 名：李青青学号： 2012484098实验时间： 2014/4/15实验地点:B3-301一、实验项数据拟合与模型参数估计二、实验目的和要求a了解数据拟合的原理和Matlab中的有关命令。Polfit : MATLAB 函数：p二polyfit(x,y,n)p,s=polyfit(x,y,n)说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幕次从高到低的多项式系数 向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数 polyval)多项式曲线求值函数：polyval()调用格式： y=polyval(p,x) y,DELTA=polyval(p,x,s)说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。y,DELTA二polyval(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的并且方差为常数。 则 YDELTA 将至少包含 50%的预测值。Polyvalpolyval函数的主要功能是多项式的估值运算，其语法格式为y二poly val(p,x)，输入变量p是长度为n + 1的向量，各元素是依次按降幕排列的 多项式的系数，函数返回的是那次多项式 p 在 x 处的值， x 可以是一个数， 也可以是一个矩阵或者一个向量,在后两种情况下，该指令计算的是在 X 中 任意元素处的多项式 p 的估值。polyvalm 的主要功能是用于 matlab 中多项式求值。其语法格式为 y=polyvalm( a，A)，其中a为多项式行向量表示，A为指定矩阵。Lsqlin约束线性最小二乘函数 lsqlin格式x=lsqlin(C,dAb)%求在约束条件下，方程Cx=d的最小二乘解 x。x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq)%Aeq、beq 满足等式约束 ，若没有不等式约束，则设 A= ， b= 。x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%lb、ub 满足 ，若没有等式约束，则 Aeq= ， beq= 。x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0 为初始解向量，若 x 没有 界，则 lb= ， ub= 。x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) %options 为指定优 化参数lsqcurvefit最常见的调用格式如下：X=LSQCURVEFIT（FUN,X0,XDATA,YDATA）.其中FUN为一个函数，已M文件或匿名函数存在。若FUN以M文件形式存在， 那么FUN在调用语句中的格式为：（x,xdata）FUN（x,xdata,c）.（x,xdata） 中分别表示待求参数況data表示的是自变量,c是可以传递到函数里面的常数。Lsqnonlin： lsqnonlin 解决非线性最小二乘问题，包括非线性数据拟合问题 而不是计算的值f（x）（平方和），需要用户定义函数Isqnonlin求向量值 函数然后，在矢量的术语，你可以重申这一优化问题其中x是一个向量和f（ x）是个函数，返回一个向量值。X=lsqnonlin （乐趣,X0 ）开始在点X0并找到一个最小的有趣的功能描述 的平方和。快乐应该返回一个向量值不值的平方和。（算法隐含和广场的乐 趣（ X）。）X=lsqnonlin （乐趣,X0 , LB , UB ）定义了一组上下对X设计变量的范围， 所以，解决方案总是在范围x=0 C 和D必须是真实的。x=lsqnonneg （ C , D , xOXO ）使用为出发点，如果所有的X0=0 ;否 则，则使用默认值。默认的出发点是原点（默认是用来当X0= = 或只有两 个输入参数提供）。x=lsqnonneg （ C , D , X0 ,选项）最大限度地减少在结构优化参数指定的 选项。你可以使用optimset函数定义这些参数。lsqnonneg使用这些选项 的结构域：displayLevel 显示。”“不显示输出；最后的“仅显示最终的输出；“通知” （默认）显示输出只有当函数不converge.tolxtermination公差对X【X , resnorm = lsqnonneg （.）返回的平方范数的剩余价值：规范（C *XD ）人2b. 练习模型参数估计三、实验内容 根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数 增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。Logistic 模型：x(t)二1 fx m11 +m 1 e_ rt年份1718181818181890001020304050人口（X3.95.37.29.612.17.23.106)912年份1818181819191960708090001020人口 &31.38.50.62.76.92.10106)4629006.5年份191919191919304050607080人口 &121315172022106)3.21.70.79.34.06.5表 1 美国人口统计数据提示：指数增长模型 :x（t）=xert解：模型一:指数增长模型。Malthus模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r,记时刻t的人口为x（t）,（即x（t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为xdx=rxdtx(0) = x0由假设可知x（t） = xert0经拟合得到：x(t)二x ert nInx(t)二Inx + rt、y = at + a00 n 12y 二 In x(t), a 二 r, a 二 In xr 二 a , x 二 ep1 2 0 1 0程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),r,t,x1,b)结果：a=0.0214-36.6198r=0.0214 x0=1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：x(t)= x e0.02i4t，其中x0=1.2480e-016 , 0输入： t=2010;x0=1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t) = 598.3529。即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 x 106模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增 长率为x的减函数，如设r（x）二r（1 - x/x ），其中r为固有增长率（X很小m时 ） ， x 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分 m方程：dx . x、=rx(1 一 ) dtxmx(0) = x0立函数文件 curvefit_ fun2.mfunctionf=curvefit_fun2(a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件 main.m 中调用函文件 curvefit_fun2.m% 定义向量(数组) x=1790:10:1990;y=3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4;plot(x,y,*,x,y);% 画点，并且画一直线把各点连起来 holdon;a0=0.001,1;% 初值%最重要的函数，第1个参数是函数名(一个同名的m文件定义)，第2 个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点a=lsqcurvefit(curvefit_fun2,a0,x,y);disp(a=num2str(a);% 显示结果% 画图检验结果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,r);% 预测2010 年的数据x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1)holdoff运行结果：a=311.9531 0.02798178y1=267.1947其中a(1)、a(2)分别表示xCLI (x打1 +m 1 e-rt中的x和r，yl则是对美国美国m2010 年的人口的估计。3001750180018501900195020002050