状态空间微分方程的解

16.06第15讲状态空间微分方程的解JohnDeyst2003.10.8今天的主题：1、状态空间微分方程解的一般形式2、恒定输入时的Quanser系统的解3、稳定性状态微分方程的全解我们已获得状态微分方程的齐次解为但是，我们需要的是全解对于非零输入，我们假设解的形式为其中f(t)仍然是不确定的，是时间的向量函数。首先我们求导并且代入我们所设定的解中2回过头再来考虑原始的微分方程，显然我们必须知道或者，利用状态转移矩阵的性质1现在对方程两边同时进行从零时刻到t时刻的积分因此根据设定的解，我们知道因此因此根据状态转移矩阵的性质2对等式右边的积分是标量卷积积分的向量/矩阵等价形式。尤其该项将输入量作用的增量从过去时刻T转换到当前时刻t积分是对从初始时刻到当前时刻的所有增量进行求和。例：我们将得用该解来获得Quanser系统对电机电压阶跃输入信号的响应。状态矩阵为初始状态及输入量为我们知道状态转移矩阵是因此5这些都是在x,x平面上的椭圆方程。特别地，我们已知12因此这是在无阻尼条件下的状态空间轨迹。如果是正阻尼，则解是收敛；如果是负阻尼，则解是发散的。6系统的稳定性：系统的稳定性是由系统的齐次或零输入响应的行为决定，即为下式的解特别地，我们已知该解由X的初始条件和状态转移矩阵决定。因此，系统的稳定性是由(t)的行为决定。现在，我们已知因此，每一项的分母是sI-A的行列式。此外，系统的特征方程是因此，矩阵(t)的拉普拉斯变换的每个元素的分母与特征方程具有相同的根。故我们能够得到很明显的结论系统的稳定性系统是稳定的，当且仅当根都位于S平面的左半平面这里建立的Quanser的模型是不稳定的，因为它的根是在虚轴上的。8