2016-2017学年高中数学第一章集合与函数概念1.1-1.1.3集合的基本运算第2课时补集及集合运算的综合应用课件新人教版必修1.ppt

第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.3 集合 的 基本 运算 第 2 课时 补集及集合运算 的综合应用 学习目标 1. 理解全集与补集的含义 ， 会求给定子 集的补集 ( 重点 ) 2. 能用 Ve nn 图表达集合的关系及运 算 ( 难点 ) 3. 能进行集合的综合运算 ， 并能解答有关的 简单问题 ( 重点、难点 ) 知识提炼 梳理 1 全集 (1) 定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及 的 所有元素 ， 那么就称这个集合为全集 ( 2) 记法：全集通常记作 U 2 补集 文字 语言 对于一个集合 A，由全集 U中 _的所有元素组成的集合 称为集合 A相对于全集 U的补集，记作 _. 符号 语言 UA _ 不属于集合 A x|x U， 且 xA. 图形 语言 温馨提示 求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的 子集 ， 随着所选全集的不同 ， 得到的补集也是不同的 答案： (1) (2) (3) 解析： 3 设全集 U M N 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， M ( U N ) 2 ， 4 ， 则 N ( ) A 1 ， 2 ， 3 B 1 ， 3 ， 5 C 1 ， 4 ， 5 D 2 ， 3 ， 4 解析： 因为 M ( U N ) 2 ， 4 ， 所以元素 2 ， 4 是 U N 中的元素 ， 即 2 ， 4 一定不是 N 中的元素 ， 故选项 A 、 C 、 D 错误 答案： B 4 已知全集 U 6 ， 7 ， 8 ， 且 U A 6 ， 则集合 A 的真子集有 _ 个 解析： 因为 U 6 ， 7 ， 8 ， U A 6 ， 所以 A 7 ， 8 ， A 的真子集为 7 ， 8 ， ， 共 3 个 答案： 3 5 设 U R ， A x | a x b ， U A x | x 5 或 x 5 或 x 1 ， 所以 A x |1 x 5 ， 所以 a 1 ， b 5 ， a b 6. 答案： 6 类型 1 补集的简单运算 ( 自主研析 ) 典例 1 (1) 若全集 M 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， N x | x 2 1 ， x Z ， 则 M N ( ) A B 0 ， 2 ， 3 C 1 ， 1 D 0 ， 1 ， 2 ， 3 (2) 已知全集 U a ， b ， c ， d ， e ， 集合 A b ， c ， d ， B c ， e ， 则 ( U A ) B ( ) A b ， c ， e B c ， d ， e C a ， c ， e D a ， c ， d ， e 解析： (1) 因为 M 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， N x | x 2 1 ， x Z 1 ， 1 ， 根据补集的定义 ， 得 M N 0 ， 2 ， 3 (2) 由 U a ， b ， c ， d ， e ， A b ， c ， d ， 得 U A a ， e ， 又 B c ， e ， 所以 ( U A ) B a ， c ， e 答案： (1) B (2)C 归纳升华 1 根据补集定义 ， 当集合中元素离散时 ， 可借助 V enn 图；当集合中元素连续时 ， 可借助数轴 ， 利用数轴分析法 求解 2 解题时要注意使用补集的几个性质： U U ， U U ， A ( U A ) U . 变式训练 已知全集 U x | x 5 ， 集合 A x | 3 x 5 ， 则 U A _ _ 解析： 将集合 U 和集合 A 分别表示在数轴上 ( 图略 ) ， 由补集的定义可知 U A x | x 3 或 x 5 答案： x | x 3 或 x 5 类型 2 补集的简单应用 典例 2 (1) 若全集 U 2 ， 4 ， a 2 a 1 ， A a 4 ， 4 ， U A 7 ， 则实数 a _ (2) 已知全集 U R ， 集合 A x | x 1 ， B x |2 a x a 3 ， 且 B R A ， 则 a 的取值范围是 _ 解析： (1) 因为 U A 7 ， 所以 7 U 且 7 A ， 所以 a 2 a 1 7 ， 解得 a 2 或 a 3. 当 a 3 时 ， A 4 ， 7 与 7 A 矛盾 ， 故 a 2 满足 题意 ， 所以 a 2. (2) 由题意得 R A x | x 1 若 B ， 则 a 3 2 a ， 即 a 3 ， 满足 B R A . 若 B ， 则由 B R A ， 得 2 a 1 且 2 a a 3 ， 即 1 2 a 3. 综上可 得 a 1 2 . 答案： (1) 2 (2) a a 1 2 归纳升华 1 解答此类问题的关键在于合理使用补集运算的性 质 ， 必要时对含有参数的集合进行分类讨论 ， 转化为与之 等价的不等式 ( 组 ) 求解 2 不等式中的等号在补集中能否取到 ， 要引起 重视 ， 注意检验 变式训练 (1 ) 设 U 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， A x U | x 2 mx 0 ， 若 U A 1 ， 2 ， 则实数 m _ _ (2) 已知全集 U R ， A x | x a ， B x | 1 x 2 ， A ( U B ) R ， 则实数 a 的取值范围是 _ 解析： (1) 因为 U 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， U A 1 ， 2 ， 所以 A 0 ， 3 又 0 ， 3 是方程 x 2 mx 0 的两根 ， 所以 m 3. (2) 因为 B x | 1 x 2 ， 所以 U B x | x 1 或 x 2 ， 因为 A ( U B ) R ， 所以 a 2. 答案： (1) 3 (2) a | a 2 类型 3 并 集、交集、补集的综合运算 典例 3 设 A x |2 x 2 ax 2 0 ， B x | x 2 3 x 2 a 0 ， A B 2 (1) 求 a 的值及 A ， B ； (2) 设全集 U A B ， 求 ( U A ) ( U B ) ； (3) 写出 ( U A ) ( U B ) 的所有子集 解： (1) 因为 A B 2 ， 所以 2 A ， 且 2 B ， 代入可求 a 5 . 所 以 A x |2 x 2 5 x 2 0 1 2 ， 2 ， B x | x 2 3 x 10 0 5 ， 2 (2) 由 (1) 可知 U 5 ， 1 2 ， 2 ， 所以 U A 5 ， U B 1 2 ， 所以 ( U A ) ( U B ) 5 ， 1 2 . (3) 由 (2) 可知 ( U A ) ( U B ) 的所有子集为 ， 5 ， 1 2 ， 5 ， 1 2 . 归纳升华 1 集合的 交、并、补运算是同级运算 ， 在进行集合 的混合运算时 ， 有括号 的先算括号内的 ，然后按照从左到 右的顺序进行计算 2 当集合是用列举法表示时 ， 可以通过列举集合的 元素得到所求的集合；当集合是用描述法表示时 ， 如不等 式形式表示的集合 ， 则可借助数轴求解 变式训练 (1) 已知全集 U 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， M 1 ， 2 ， N 2 ， 5 ， 则如图所示 ， 阴影部分表示的集合是 ( ) A 3 ， 4 ， 5 B 1 ， 3 ， 4 C 1 ， 2 ， 5 D 3 ， 4 (2) 设全集 U x | x 是三角形 ， A x | x 是锐角三角 形 ， B x | x 是钝角三角形 ， 则 A B _ ； U ( A B ) _ 解析： (1) 由图可知 ， 阴影部分表示的集合是 U ( M N ) 因为 M N 1 ， 2 ， 5 ， 又 U 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 所以 U ( M N ) 3 ， 4 (2) 根据三角形的分类可知 A B ， A B x | x 是 锐角三角形或钝角三角形 ， 所以 U ( A B ) x | x 是直角 三角形 答案： (1) D (2) x | x 是直角三角形 类型 4 补集思想的综合应用 ( 规范解答 ) 典例 4 ( 本小题满分 12 分 ) 已知集合 A x | x 2 4 x 2 m 6 0 ， B x | x 0 ， 若 A B ， 求实数 m 的 取 值范围 审题指导： 要求实数 m 的取值范围 ， 先建立关于 m 的不等式 ， “ A B ” 的对立面为 “ A B ” 因此可 先求出 A B 时 m 的取值范围 ， 然后在 R 中取补集即 可 规范解答 先求 A B 时 m 的取值范围 (1) 当 A 时 ， 方程 x 2 4 x 2 m 6 0 无实根 ， (1 分 ) 失分警示： 漏掉此步 ， 则扣掉 1 分 . 所以 ( 4) 2 4( 2 m 6) 1. (3 分 ) (2) 当 A ， A B 时 ， 方程 x 2 4 x 2 m 6 0 的根为非负实根 ， 失分警示： 此处方程 x 2 4 x 2 m 6 0 的根为非负 实数根是由 A B 决定的 ， 极易弄错 设方程 x 2 4 x 2 m 6 0 的两根为 x 1 ， x 2 ， 则 （ 4 ） 2 4 （ 2 m 6 ） 0 ， x 1 x 2 4 0 ， x 1 x 2 2 m 6 0 ， 即 m 1 ， m 3 ， 解得 3 m 1.( 8 分 ) 综上知 ， 当 A B 时 ， m 的取值范围是 m | m 3 (9 分 ) 又因为 U R ， 失分警示： 此处易忽视指明 U R 而直接得出结论 ， 造成解题步骤不完整而失分 所以当 A B 时 ， m 的取值范围是 R m | m 3 m | m 3 ， 所以 A B 时 ， m 的取值范围是 m | m 3 (12 分 ) 归纳升华 有些数学问题 ， 若直接从正面解决 ， 或解题思路不 清晰 ， 或需要考虑的因素太多 ， 可用补集思想考虑其对立 面 ， 即从结论的反面去思考 ， 探索已知和未知之间的关系 ， 从而化繁为简 ， 化难为易 ， 开拓解题思路 变式训练 已知集合 A x |2 m 1 x 3 m 2 ， B x | x 2 或 x 5 ， 是否存在实数 m ， 使 A B ？ 若存在 ， 求实数 m 的取值范围；若不存在 ， 请说明理由 解： 若 A B ， 分 A 和 A 进行讨论： (1) 若 A ， 则 2 m 1 3 m 2 ， 解得 m 3 ， 此时 A B . (2) 若 A ， 要使 A B ， 则应有 2 m 1 3 ， m 1 2 ， m 1 ， 所以 1 2 m 1. 综上 ， 当 A B 时 ， m 3 或 1 2 m 1. 所以当 m 1 或 3 m 1 2 时 ， A B . 1 对集合中含参数的元素 ， 要由条件先求出参数再 进行集合的运算 2 集合是实数集的真子集时 ， 其交、并、补运算要 结合数轴进行 3 有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行计 算