人教版高中数学选修4-5 第3讲《柯西不等式与排序不等式》讲末检测(含答案)

2 222yx2222222222222 2 2 2 2 222 22 2 21 2nx2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22【金版学案】2015-2016 学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式讲末检测 新人教 A 版选修 4-5一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1若 a b 5，则 a2b 的最大值为( )A5 B6 C7 D8答案: A4 12设 xy0，则 x 2 y 2 的最小值为( )A10 B9 C8 D7答案: B3设 a，b，c 为正数，ab4c1，则 a b2 c的最大值是( )A. 5 B. 3 C2 3 D.32解析：1ab4c( a) ( b)1 1 (2 c) ( a) ( b) (2 c) (1 1 1 ) ( a3 3 b2 c) ，( a b2 c) 3.a，b，c 为正数， a b2 c 3.答案：B4若 abc，xyz，则下列各式中取值最大的一个是( )Aaxcybz BbxayczCbxcyaz Daxbycz答案：D5已知 a a a a 1，x x x 1，则 a x a x a x 的最大值1 2 3 n 1 2 n 1 1 2 2 n n是( )1A1 B2 C. D42解析：|a x a x a x | 1 1 2 2 n naa a 1 2 nx x x 1 2 na a1，当且仅当 x x1 2a 时，等号成立n答案：A6已知 x，y，zR，且 xyz3，则 x y z 的最小值是( )1 1A1 B. C. D33 21 1 9解析：x y z (1 1 1 )(x y z ) (1x1y1z) 3.3 3 3答案：D1 1 17设 a，b，c 为正数，且 abc 1，则 的值( )a b cA大于 9 B不大于 92222 2 2 2 a b c2222 2 2 2 2 222 2 22 2 21 2n1 2 n2222 3 n 2 3 n2 222 3 n2221 2 3n2 3n1 2 3 n 2 3 n 2 32 222 222 2n 2 3 n2222223 3 333333 32 2 23 3 3 2 2 24 4 42 2 22 22 22 2b c a 2C小于 9 D不小于 9解析：构造两组数 a， b ， c ；1 1 1， ， . 于是由柯西不等式有 ( a ) a b c( b )( c) 1 1 1 a b c 1 1 1 a b ca b c2，即 (ab c)1 1 1 3 .1 1 1 1abc1， 9，当且仅当 abc 时，等号成立a b c 3答案：D8已知 x2y3z1，则 x y z的最小值是( )1 1 3 2A. B. C. D.14 7 14 71解析：根据柯西不等式有(x y z )(1 2 3 )(x2y3z) 1，x y z ，14x y z 1 1 3 1当且仅当 ，即 x ，y ，z 时，x y z 取最小值，最小值为 .1 2 3 14 7 14 14答案：Ax x x9设 x ，x ，x 是互不相同的正整数，则 m 的最小值是( ) 1 2 nA1 B21 1 1 1 1 1C1 D1 解析：设 a ，a ，a 是 x ，x ，x 的一个排列，且满足 a a a .因为 a ， 1 2 n 1 2 n 1 2 n 11 1 1a ，a 是互不相同的正整数，所以 a 1，a 2，a n.又因为 1 ， 2 n 1 2 nx x x x a a a 1 1所以由排序不等式，得 a 112 3 11 1 1 1n 1 .答案：C10已知 a，b，cR，则 a(abc)b2(bac)c(cab)( )A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：设 abc0，所以 a b c ，根据排序原理，得 a ab bc ca b b cc a.又 abacbc，a b c ，所以 a bb cc aa bcb cac ab.所以 a b c a bcb cac ab，即 a (a bc)b ( b ac)c (c ab)0.答案：Ba b c b c a11若 a，b，c 为正数，则 ( )的最小值为( )a b cA1 B1 C3 D9a b c b c a解析：由柯西不等式可知 b c a a b c abbab c c bc aa c23 9.3 3 32222 2 22 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 2221 a2 2 22 2 22 2 222xb 2y22 23 3 3 3 2 6 6 6 633332323232322226 6 62 2 2 2 2 22 2 2 22 22 2答案：D12已知 a，b，cR ，设 P2(a b c )，Qa (bc)b (ca)c (ab)，则( ) APQ B PQCPQ DPQ解析：根据排序原理，取两组数 a，b，c；a ，b ，c .不妨设 abc0，所以 a b c 0，所以由排序原理，得 a ab bc ca bb cc a，a ab bc c a cb ac b， 将上面两式相加，得 2(a b c )a (bc)b (ac)c (ab)PQ.答案：C二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13下列命题中正确的序号为_log blog clog a3 成立，当且仅当 a，b，c(1，)；a b c a 2 成立，当且仅当 a0； a b c abbcca.解析：中因为 a，b，c(1，)或(0，1)由排序不等式知对任意顺序的 a，b，c， 其顺序和 a b c 为最大值，a b c abbcca.答案：14在锐 ABC 中，abc，设 M acos Cbcos Bccos A，Nacos Bbcos C ccos A，则 M 与 N 的大小关系是_解析：在锐 ABC 中，abc，ABC90，cos A cos Bcos C由 排序原理：顺序和乱序和，MN.答案：MNa b15已知 x，y，a，bR ，且 1，则 xy 的最小值为_(用 a，b 表示)x ya b a b解析：构造两组实数 x， y与 ， .x，y，a，bR ， 1，xy( x)x y x y( y) ax2 2 ( a b) ，当且仅当 ya时，等号成立 b答案：( a b)16y2 2x 2x3的最大值是_解析：y 2 42x1 2x3 （ 2） 1 （42x2x3） 3. 答案： 3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(本小题满分 11 分)设 a，b，c，d 为实数，求证：(a b c d ) 4(a b c d )证明：由柯西不等式(abc d) (a)(b)(c)(d)(11121)4(a6b c d ) 18(本小题满分 11 分)设 a，b，c 为正数，求证：a b b c c a 2(abc)证明：由柯西不等式 a b 1 1 ab，即 a b 2ab，同理 b c 22 22 2 2 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 222225 5 5 522222 2 22222n112 na a a a22 222an3n 1 1 2n2322222n11 2n2222aaaaa a a a a2 3n11 2n a a ac ccn1n11 21 2a a a c c12cn11 21c c2 3n 2 3 n ccn1n121 2ca aa2cb c ， c a 2 c a ，由以上三个同向不等式相加，得 2( a b b c c a )2(abc) a b b c c a 2(abc)19(本小题满分 12 分)已知 w x y z F 16，求 F8wxyz 的最大值解析：由柯西不等式得 |F 8|wx y z| 4 wxy z2 16F2. 两边平16 16 6 16方后可得 0F ，因此 F ，当且仅当 wxyz 时，F .max20(本小题满分 12 分)已知 abc1，若 ab 2c|x1|对任意的实数 a，b，c 恒成立，求实数 x 的取值范围解析：由柯西不等式得(ab 2c) (112)(a b c )4，即|ab 2c|2. a b 2c|x1|对任意的实数 a，b，c 恒成立，|x1|(ab 2c)，即|x1|2，解得 x1 或 x3.故 x 的取值范围为(，31，)a a a a21(本小题满分 12 分)设 a ，a ，a 为正数，求证： a 1 2 n 12 3 n 1a a .2 n1 1证明：由所证不等式的对称性，不妨设 0a a a ，a a a ， 1 2 n 1 2 n a a1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ， ， 为 ， ， 的一个排序，由乱序和反序和，得 a a a ，a a a a a a 1 a 2 a 2an11 1 1 1 1 a a a a a a a a ，即 a a n 1 2 n 1 2n 1 1 2 n 2 3 n 1a .n1 222(本小题满分 12 分)设 a ，a ，a 为 1，2，n 的一个排列，求证： 1 2 nn1 a a a .2 3 n证明：设 b ，b ，b 是 a ，a ，a 的一个排列，且 b b b .c ， 1 2 n1 1 2 n1 1 2 n1 1c ，c 2 n1为 a ，a ，a ，a 1 2 3 n1的一个排列，且 c c c1 2 n11 1 1 .于是 .1 2 n1a a a b b b由乱序和反序和，得 .b 1，b 2，b n1，n12 3 n 1 2 n1c 2，c 3，c 1 2 n1b b b 1 2 n1 1 2 n1 b n， ，即 1 2 n1 1b b a a a .n1 2 3 n