投影投影知识及点线面

12第第一一章章 投影法的基本知识投影法的基本知识31-1 投影的方法及其分类投影的方法及其分类4 1.1.1 1.1.1 投影法的概念投影法的概念投影面投影面Pa 投影投影投射线投射线bS 投影中心投影中心A 空间点空间点B 将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。到物体影子的方法称为投影法。5 1.1.2 1.1.2 投影法的分类投影法的分类 1.1.中心投影法中心投影法 投射线汇交于一点。投射线汇交于一点。2.2.平行投影法平行投影法 投射线互相平行。投射线互相平行。（1 1）斜投影）斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影投射线与投影面倾斜的平行投影。（2 2）正投影）正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。投射线与投影面垂直的平行投影。根据投射线之间的相对位置关系将投影方式分根据投射线之间的相对位置关系将投影方式分为两种：为两种：61.1.中心投影法中心投影法HS72.2.平行投影法平行投影法-斜投影斜投影Ha82.2.平行投影法平行投影法-正投影正投影90H投影反映空间平面的真实形状。9 中心投影法其投影大小与物体和投影面之间的中心投影法其投影大小与物体和投影面之间的距离有关一般不能反映空间物体的真实形状和大小；距离有关一般不能反映空间物体的真实形状和大小；平行投影法其投影大小与物体和投影面之间的平行投影法其投影大小与物体和投影面之间的距离无关。距离无关。由于正投影法能准确的表达物体的形状和大小、由于正投影法能准确的表达物体的形状和大小、而且度量性好，因此在工程制图中广泛应用，也是而且度量性好，因此在工程制图中广泛应用，也是本课程学习的主要内容。本课程学习的主要内容。101-2 投影的性质投影的性质11 1.2.1 1.2.1 投影的一般性质投影的一般性质 介绍是中心投影和平行投影的共同性质：介绍是中心投影和平行投影的共同性质：1.积聚性积聚性 当直线沿投射线方向投射时，其投影成一个点；当直线沿投射线方向投射时，其投影成一个点；当平面沿投射线方向投射时，其投影成一直线。当平面沿投射线方向投射时，其投影成一直线。2.从属性从属性 线（直线或曲线）上的点的投影在该线的投影上。线（直线或曲线）上的点的投影在该线的投影上。12edca（b）CDEBAH1.1.积聚性积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。在投影面上的投影积聚为直线。13 1.2.2 1.2.2 平行投影的特殊性质平行投影的特殊性质 1.1.平行性平行性 平行直线的投影相互平行。平行直线的投影相互平行。2.2.定比性定比性 （1 1）一条直线上两线段长度之比等）一条直线上两线段长度之比等于其投影长度之比于其投影长度之比（2 2）两条平行线长度之比等于其投影长度之比）两条平行线长度之比等于其投影长度之比 3.3.显实性显实性 当线段或平面平行于投影面时，其当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。投影反映实长或实形。4.4.类似性类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，其当线段或平面倾斜于投影面时，其投影的形状与原图相比平行关系不变，边数不变。投影的形状与原图相比平行关系不变，边数不变。14平行性、定比性平行性、定比性平行直线的投影相互平行；两条平行线长度之比等于其投平行直线的投影相互平行；两条平行线长度之比等于其投影长度之比影长度之比ABCD则abcd；AB:CD=ab:cd；ABCDabcd153.3.显实性显实性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。投影cde反映空间平面CDE的真实形状。164.4.类似性类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。投影cde面积变小。171-3 土建工程中常用的四种投影土建工程中常用的四种投影18 1.3.1 1.3.1 正投影图正投影图 运用正投影法所得的投影图为正投影图；工程运用正投影法所得的投影图为正投影图；工程上一上一 般为多面正投影图。般为多面正投影图。1.优点优点 反映实形、便于度量绘制简单；反映实形、便于度量绘制简单；2.缺点缺点 立体感较差，由正投影图转换为轴测图需要空间想象力。立体感较差，由正投影图转换为轴测图需要空间想象力。19棱锥体的正投影棱锥体的正投影aabcabcSSS20 1.3.2 1.3.2 轴测投影图轴测投影图 在一个投影面上能反映出工程形体三个互相垂在一个投影面上能反映出工程形体三个互相垂直方向尺度的平行投影图为轴测投影图。直方向尺度的平行投影图为轴测投影图。1.优点优点 图样立体感较强；图样立体感较强；2.缺点缺点 不便于度量不便于度量、绘制较费时。绘制较费时。21YX1Y1Z1O1X1Y1Z1O1PPXYZXYZOO 轴测投影图是将物体连同其参考直角坐标系，沿不轴测投影图是将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投影在单一平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投影在单一投影面上所得到的图形。投影面上所得到的图形。轴测投影图轴测投影图22 1.3.3 1.3.3 透视图透视图 工程形体在一个投影面上的中心投影称为透视图。工程形体在一个投影面上的中心投影称为透视图。1.优点优点 具有良好的立体感；具有良好的立体感；2.缺点缺点 比轴测图更为复杂，且很难度量。比轴测图更为复杂，且很难度量。透视图透视图23 1.3.4 1.3.4 标高投影图标高投影图 在一个水平投影面上标有高度数字的正投影图在一个水平投影面上标有高度数字的正投影图称为标高投影图，表示同一高度的不规则曲面。称为标高投影图，表示同一高度的不规则曲面。作用：作用：为施工中计算土方量为施工中计算土方量、确定施工界限提供依据。、确定施工界限提供依据。标高投影图标高投影图241.1.三投影面体系的建立三投影面体系的建立HVXOZYW 三投影面体系由三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。三个投影面构成。H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。25四、物体的三面投影图1.三面投影图的形成 三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成。正立投影面简称正面。水平投影面 简称水平面。侧立投影面简称侧面。两投影面的交线称为投影轴。VHXYZWO 正立投影面：正立投影面：简称简称V面面水平投影面水平投影面：简称：简称H面面侧立投影面侧立投影面：简称：简称W面面262.物体在三投影面体系中的投影 正面投影由前向后投影；水平面投影由上向下投影；侧面投影由左向右投影。3.三投影面的展开侧面W绕OZ轴向右旋转90。水平面H绕OX轴向下旋90。规定：正面V保持不动。VHXYZWOVHWOXYHZYW27第二节第二节 三视图三视图一一、三视图三视图 VXZYHW侧立投影面主视图：从前向后投影到主视图：从前向后投影到V面所得视图面所得视图俯视图：从上向下投影到俯视图：从上向下投影到H面所得视图面所得视图左视图：从左向右投影到左视图：从左向右投影到W面所得视图面所得视图 侧面投影28二、三视图的位置关系和三等关系二、三视图的位置关系和三等关系 1、位置关系、位置关系主视图反映物体的左右和主视图反映物体的左右和上下上下（长和高）（长和高）俯视图反映物体的前后和俯视图反映物体的前后和左右（宽和长）左右（宽和长）左视图反映物体的上下和左视图反映物体的上下和前后（高和宽）前后（高和宽）292、三视图的三等关系、三视图的三等关系(口诀口诀)长(X)宽(Y)Y1高(Z)Y1宽(Y)主俯视图长对正主俯视图长对正俯左视图宽相等俯左视图宽相等主左视图高平齐主左视图高平齐30三、画三视图的方法和步骤三、画三视图的方法和步骤1、先选主视图投影方向、先选主视图投影方向 2、布图、布图3、按投影规律画出物体的三视图、按投影规律画出物体的三视图4、检查、加粗图线、检查、加粗图线 画出各投影图的作图基准线。画出各投影图的作图基准线。先画物体的主体部分先画物体的主体部分,再逐个画出物体中的细节部分。再逐个画出物体中的细节部分。3132331-2 点的投影点的投影341.2.1 1.2.1 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影351.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXa aA362.两投影面体系的建立两投影面体系的建立XO 两投影面体系由两投影面体系由V面和面和H面二个投影面构成。面二个投影面构成。V面和面和H面面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。正立投影面正立投影面投影轴投影轴VH水平投影面水平投影面373.点的两面投影图点的两面投影图HVOXaAa 点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。点点A的正面投影的正面投影点点A的水平投影的水平投影38XHVOa aax两面投影图的画法两面投影图的画法HHVOXa aAax 展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。39通常不画出投影面的范围通常不画出投影面的范围XOa aax404.4.两投影面体系中点的投影规律两投影面体系中点的投影规律HVOXa aAaxXOa aax 点的点的V面投影与面投影与H面投影之间的连线面投影之间的连线aa垂直于投影轴垂直于投影轴0X；点的一个投影到点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即的投影面之间的距离，即 aax=Aa，aax=Aa。411.2.2 1.2.2 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影421.1.三投影面体系的建立三投影面体系的建立HVXOZYW 三投影面体系由三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。三个投影面构成。H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。432.2.点的三面投影图点的三面投影图HVXZYWOA 点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，面不动，H面向下旋转面向下旋转90，W面向右旋转面向右旋转90。a aa Ha aa VWXOZYWYH44a aa XOZYWYH通常不画出投影面的范围通常不画出投影面的范围Ha aa VWXOZYWYH规定规定：空间点：空间点A A用大写字母表示，在用大写字母表示，在H H面的投影面的投影a a，在，在V V面的投影用面的投影用aa，在，在W W面面的投影用的投影用aa表示。表示。45HVXZYWOayaxazxyza aa Ha aa VWXOZYWYHaxayazay3.点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。yAxAzA46HVXZYWOayaxazxyza aa a aa XOZYWYHaxayazay点点A的的x坐标值坐标值=oax=aay=aaz=Aa 反映点反映点A到到W面的距离。面的距离。点点A的的Y坐标值坐标值=oay=aax=aaz=Aa 反映点反映点A 到到V面的距离。面的距离。点点A的的Z坐标值坐标值=oaz=aax=aay=Aa 反映点反映点A到到H面的距离。面的距离。474.三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazxyza aa a aa XOZYWYHaxayazay 点的点的V面投影与面投影与H面投影之间的连线垂直于面投影之间的连线垂直于0X轴，即轴，即aa0X；点的点的V面投影与面投影与W面投影之间的连线垂直面投影之间的连线垂直0Z轴，即轴，即a a“0Z；点；点的的H面投影到面投影到0X轴的距离及点的轴的距离及点的W面投影到面投影到0Z 轴的距离两者相等轴的距离两者相等，都反映点到，都反映点到V面的距离。面的距离。长对正长对正 高平齐高平齐 宽相等宽相等48三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律aaOX aaOX 长对正长对正aaOZ aaOZ 高平齐高平齐aaaax x=aa=aaz z 宽相等宽相等495.5.特殊位置点的投影特殊位置点的投影OXb bc cHVOXCcca bBb Aaa a空间点：三个坐标均不为零空间点：三个坐标均不为零投影面上的点：三个坐标有一个为零（投影面上的点：三个坐标有一个为零（1）在）在H面内（面内（2）在）在V面内面内（3）在）在W面内面内投影轴上的点投影轴上的点：三个坐标有两个为零（：三个坐标有两个为零（1）在）在X轴上（轴上（2）在）在Y轴轴上（上（3）在）在Z轴上轴上投影面上的点投影面上的点:A、B 投影轴上的点投影轴上的点:C与原点重合的点与原点重合的点:O50 点的一个坐标为零，点在投影面上。点的一个坐标为零，点在投影面上。51 点的二个坐标为零，点在投影轴上。点的二个坐标为零，点在投影轴上。52 点的三个坐标为零，点在坐标原点点的三个坐标为零，点在坐标原点 53例例1 1 已知点已知点A A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a a541.2.3 1.2.3 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点55XOZY1.1.两点的相对位置两点的相对位置a a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y坐标值大的点坐标值大的点在前；在前；Z坐标值大的点在上。坐标值大的点在上。XZYWYHOa a ab bb 562.2.重影点重影点cc(d)da(b)abAB 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。CD57XYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。加括号表示。58 例例2 2 已知已知A A点在点在B B点的右点的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A点的点的投影。投影。a a aXZYWYHOb bb 12106591-3 直线的投影直线的投影60OXZY1.3.1 1.3.1 直线的三面投影直线的三面投影ABbb a b aa ZXa b aOYYa bb 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。611.3.2 1.3.2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 1.1.投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1)(1)水平线水平线 (2)(2)正平线正平线 (3)(3)侧平线侧平线 2.2.投影面垂直线投影面垂直线 垂直于某一投影面的直线垂直于某一投影面的直线 (1)(1)铅垂线铅垂线 (2)(2)正垂线正垂线 (3)(3)侧垂线侧垂线 3.3.一般位置直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线62投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面一、七种位置直线的投影特性一、七种位置直线的投影特性63 水平线水平线 平行于水平投影面的直线平行于水平投影面的直线XZYOaababb Xa b ab OzYHYWbaAB投影特性：投影特性：1.a b OX;a b OYW 2.ab=AB 3.反映反映、角的真实大小角的真实大小反映实长反映实长64XZYO正平线正平线 平行于正面投影面的直线平行于正面投影面的直线Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性：1、ab OX;a b OZ 2、a b=AB 3、反映、反映、角的真实大小角的真实大小aababb反映实长反映实长65XZYO侧平线侧平线 平行于侧面投影面的直线平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性：1、a b OZ;ab OYH 2、a b =AB 3、反映、反映 、角的真实大小角的真实大小aa b a bb反映实长反映实长66OXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、a bOX ;a b OY 3、a b =a b =AB铅垂线铅垂线 垂直于水平投影面的直线垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab67正垂线正垂线 垂直于正面投影面的直线垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、ab OX ;a b OZ 3、ab=a b =ABABzXab baOYHYWabbababa68侧垂线侧垂线 垂直于侧面投影面的直线垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、ab OYH ;a b OZ 3、ab=a b =ABbaababZXabbaOYHYWab69OXZY 一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1、a b、a b、a b 均小于实长均小于实长 2、a b、a b、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3、不反映不反映 、实角实角70 点在直线上，点在直线上，点的各面投影必定在该直线的点的各面投影必定在该直线的同面投影上；同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该面投影上，则该 点必在此直线上。点必在此直线上。OXYHYWZaaabbbkkk2.2.3 2.2.3 直线上的点直线上的点71直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1 1 从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2 2 定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C:C B=a c:c b=a c :c b =a c :c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。断已知点是否在侧平线上。ABbbaaXOccCc72b Xa abcc 例例3 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成1：2两段，求分点两段，求分点C的投影。的投影。O73 例例4 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO74直线的迹点XAb aa m N n bBM mnOVHa b bam mnm XO 直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。75 一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角。影面的倾角。1.几何分析几何分析 2.作图要领作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。3.直角三角形直角三角形的四个要素的四个要素 实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。四要素中的任意两个，便可确定另外两个。1.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角76直角三角形法ababABabbabZXYa77几何分析ABbbaaCXO|zA-zB|ABab|zA-zB|78坐标差坐标差Z Z、Y Y、X XH H、V V、W W 投影长投影长、79 例例5 5 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB以及以及abab和和aa，求它的正面投影，求它的正面投影abab。aXa bAOBb0bb0bb0b b 80ababXOZAB=ZABC C在在AB上量取上量取AC=25mmccBA81量取量取Y YABABR=40mmY YABABabab821.3.5 1.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。（2）平行两线段之比等于其投影之比。）平行两线段之比等于其投影之比。XbaadbbccABCDXbaabdcdc1.平行两直线OO832.相交两直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。两直线。反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。交点属于两直线，则该两直线相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkkOO843.交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。XOBDACbb aa c cdd 211(2)21b Xa abc d dc11(2)2O85dacboYWYHZXaacddcbb例例6 6 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置86判断重影点的可见性判断重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd(3)4 1(2)43341 2 12 判断重影判断重影点的可见性点的可见性时，需要看时，需要看重影点在另重影点在另一投影面上一投影面上的投影，坐的投影，坐标值大的点标值大的点投影可见，投影可见，反之不可见，反之不可见，不可见点的不可见点的投影加括号投影加括号表示。表示。87bbcddcXaa3(4)34121(2)例例7 7 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性O884.4.垂直两直线的投影垂直两直线的投影AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。O89bbaaOfeefX例例8 8 过点过点A A 作作EF EF 线段的垂线线段的垂线ABAB。90例例9 9求点求点E E 到水平线到水平线ABAB的距离。的距离。XOababeeddyD-yE所求距离所求距离91例例10 作三角形作三角形ABC，ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnO921-4 1-4 平面的投影平面的投影1.4.1 1.4.1 平面的表示法平面的表示法1.1.几何元素表示平面几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式：（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点；（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（3 3）相交两直线；）相交两直线；（4 4）平行两直线；）平行两直线；（5 5）任意平面图形。）任意平面图形。2.2.平面的迹线表示法平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。931.几何元素表示法几何元素表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式：（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点；（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（3 3）相交两直线；）相交两直线；（4 4）平行两直线；）平行两直线；（5 5）任意平面图形。）任意平面图形。942.2.迹线表示法迹线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW951.4.2 1.4.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1.1.投影的垂直面投影的垂直面(1)铅垂面铅垂面(2)(2)正垂面正垂面(3)(3)侧垂面侧垂面2.2.投影的平行面投影的平行面(1)水平面水平面(2)(2)正平面正平面(3)(3)侧平面侧平面3.3.一般位置平面一般位置平面96铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1、水平投影水平投影abc积聚为一条直线积聚为一条直线 2、正面投影、正面投影 a b c、侧面投影侧面投影a b c 为为 ABC的类似形的类似形 3、abc与与OX、OY的夹角反映的夹角反映、角的真实大小角的真实大小 VWHPPHABCacbac accabbb 97铅垂面迹线表示VWHPPHPHPVPW98 正垂面正垂面投影特性：投影特性：1、正面投影正面投影a b c 积聚为一条直线积聚为一条直线 2、水平投影水平投影abc、侧面投影、侧面投影a b c 是是 ABC的类似形的类似形 3、a b c 与与OX、OZ的夹角反映的夹角反映、角的真实大小角的真实大小 VWHQQVababbacccCcAabB99正垂面的迹线表示VWHQQVQV100侧垂面侧垂面投影特性：投影特性：1、侧面投影侧面投影a b c 积聚为一条直线积聚为一条直线 2、水平投影水平投影abc、正面投影、正面投影 a b c 为为 ABC的类似形的类似形 3、a b c 与与OZ、OY的夹角反映的夹角反映、角的真实大小角的真实大小 VWHSWSCabABcabbbaaccc101侧垂面的迹线表示VWHSHSZXOYHSHY102水平面水平面VWHCABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性：1.a b c、a b c 积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2.水平投影水平投影abc反映反映 ABC实形实形 103 正平面正平面VWHcabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：投影特性：1.1.abcabc 、a a b b c c 积聚为一条直线，具有积聚性积聚为一条直线，具有积聚性 2.2.正平面投影正平面投影a a b b c c 反映反映 ABCABC实形实形 104 侧平面侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：投影特性：1.abc、a b c 积聚为一直条线，具有积聚性积聚为一直条线，具有积聚性 2.侧平面投影侧平面投影a b c 反映反映 ABC实形实形 105 一般位置平面一般位置平面abcbacababbaccbacCAB投影特性投影特性 1.abc、a b c 、a b c 均为均为 ABC的类似形的类似形 2.不反映不反映、的真实角度的真实角度 1061.4.3 1.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线（1 1）平面上的直线平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的两点；通通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。（2 2）平面上的点平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。和直线的投影；完成多边形的投影。1.1.平面上取直线和点平面上取直线和点107三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线定理一：若直线过平面上的两点，则此直线必在 该平面内。定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该 平面上另一直线，则此直线在该平面内。定理三：若点在平面内，它必在平面内的一条直 线上。平面上的点和直线108（1 1）平面上取直线平面上取直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。abcabcddeeABCEDFff109（2 2）平面上取点平面上取点ABCDEabcabcddee 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线110例例1111已知已知 ABC ABC 给定一平面，（给定一平面，（1 1）判断点）判断点K K是否属于该平面。是否属于该平面。（2 2）已知平面上一点）已知平面上一点E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO111例例1212：已知：已知ABCABC平面内点平面内点K K的的V V面投影面投影kk，求作，求作K K的的H H面投影。面投影。解1解2ddkmmkOXaabbcckOXaabbcck112例例1313：已知四边形：已知四边形ABCDABCD的的V V面投影及面投影及ABAB、BCBC的的H H面投影，面投影，完成完成H H面投影。面投影。解1OXaabbccddeeOXaabbccd解2eed1132.2.平面上的特殊位置直线平面上的特殊位置直线VHPPVPH（1）平面上投影面平行线）平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线既在平面上又平行于投影面的直线。在一个平面上对在一个平面上对V V、H H、W W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。系。水平线水平线正平线正平线114 凡在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。平面内的水平线直线在平面内，又平行于水平面的直线。平面内的正平线直线在平面内，又平行于正面的直线。平面内的侧平线直线在平面内，又平行于侧面的直线。115例例1414abcbacmnnm已知已知 ABC ABC 给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C 作属于该平面的正平作属于该平面的正平线，过点线，过点A A作属于该平面作属于该平面 的水平线。的水平线。116 例3：作ABC平面内的正平线，它距V面为8mm。OXaabbcc因为正平线的水平投影平行于OX，先作34OX，使其距V面8mm，再求出34。34834117例例1515 已知点已知点E E 在在 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E距离距离H H面面1515，距离，距离V V 面面1010，试求点试求点E E的投影。的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee118（2）平面上投影面的最大斜度线 平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。该投影面平行线的同面投影。最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义:用来测定平面对投影面的角度用来测定平面对投影面的角度HPCDaE1 SAE119例例1515 求求 ABC平面与水平投影面的夹角平面与水平投影面的夹角。be BEddeeabcabc120例例1616 过正平线作平面与水平投影面成过正平线作平面与水平投影面成 6060abeffeeffe60bbbaaabAB121本章小结本章小结 1.1.熟练掌握点在第一分角中的投影规律及点的投影熟练掌握点在第一分角中的投影规律及点的投影与该点直角坐标的关系；掌握两点的相对位置及重影点与该点直角坐标的关系；掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别。可见性的判别。2.2.熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；掌握直线上的点的投影特性及定比关系；掌握两直线平掌握直线上的点的投影特性及定比关系；掌握两直线平行、相交、交叉三种相对位置的投影特性，熟练掌握用行、相交、交叉三种相对位置的投影特性，熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面倾角直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面倾角的方法，并能灵活运用直线的实长、投影、直线与投影的方法，并能灵活运用直线的实长、投影、直线与投影面倾角三者之间的关系。掌握直角的投影定理及其应用。面倾角三者之间的关系。掌握直角的投影定理及其应用。3.3.熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法,掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。了解直掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。了解直线与平面线与平面 、平面与平面相交的解题思路、平面与平面相交的解题思路.个人观点供参考，欢迎讨论