全等三角形习题

1.2.10,/ DOBBC全等三角形提高练习如图所示 ABC聖UDE , BC的延长线过点E，/ACB=/AED=105,/B=50,求/DEF的度数。如图，AOB中，/B=30,将UOB绕点O顺时针旋转52,得到A,OB,，边AB与b 边OB交于点C （ A不在OB上），贝U/ACO的度数为多少？5.6.7.如图，AD是ABC的角平分线，DE丄AB，DF丄AC，垂足分别是E、F，连接疋F，交AD于G , AD与EF垂直吗？证明你的结论。DD已知，如图所示，AB=AC ,AD丄BC 于 D，且 AB+AC+BC=50cm,而 AB+BD+AD=40cm则 AD 是多少？如图，RtABC中，/BAC=90, AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE ,垂足分别为D、E，若BD=3 , CE=2，则DE=8. 如图所示，在ABC中，AD为/BAC的角平分线，DE丄AB于E , DF丄AC于F ,ABC 的面积是 28cm2AB=20cm , AC=8cm，求 DE 的长。9. 已知，如图：AB=AE，/B=/E，/BACEAD，/CAFDAF，求证：AF丄CD10. 如图，AD=BD , AD丄BC于D , BE丄AC于E , AD与BE相交于点H，则BH与AC相等吗？为什么？12. DAC.EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点Mg N ,求证:(1 )AE=BD （2）CM=CN （313. 已知：如图1 ,点C为线段AB上一点，ACMYBN都是等边三角形，AN交MC 于点 E， BM 交 CN 于点 F(1 ) 求证： AN=BM(2 )求证：CEF为等边三角形14. 如图所示，已知2BC和BDE都是等边三角形，下列结论：AE=CD :BF=BG ;BH平分/AHD :/AHC=60BFG是等边三角形；FG|AD，其中正确的有A3 个F15. 已知：BD、CE是UBC的高点F在BD 上,BF=AC点G在CE的延长线上CG=AB ,求证：AG丄AFGH16. 如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC ,在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG求证：（1 ）AD=AG（2）AD与AG的位置关系如何17 .如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且/DAEFAE求证： AF=AD-CF18 .如图所示，已知UBC中，AB=AC , D是CB延长线上一点，/ADB=60, E 是 AD 上一点，且 DE=DB，求证：AC=BE+BC A仁D BC19 .如图所示，已知在AEC中，/E=90, AD平分/EAC , DF丄AC，垂足为F , DB=DC ,求证：BE=CF20 .已知如图：AB=DE，直线 AE、BD 相交于 C，/B+/D=180, AF|DE，交 BD 于 F ,求证： CF=CD21 .如图，0C是/AOB的平分线，P是0C上一点，PD丄0A于D , PE丄0B于E , F是0C上一点，连接DF和EF，求证：DF=EFCFEO22 .已知：如图，BF丄AC 于点 F ,CEAB 于点 E，且 BD=CD，求证(1 )BDECDF ( 2 )点D在/A的平分线上23 .如图，已知AB|CD , O是/ACD与/BAC的平分线的交点，0E丄AC于E ,且0E=2 ,则 AB 与 CD 之间的距离是多少？B24 如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM|BN，按下列要求画图并回答：画/MAB、/NBA的平分线交于E(1 )/AEB是什么角？(2 )过点E作一直线交AM于D ,交BN于C ,观察线段DE、CE，你有何发现？(3 )无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC=AB : DM/AD+BC=CD谁成立？并说明理由。/ 25 如图，ABC的三边AB、 分为三个三角形，则S AB0：BC、CA长分别是20、30、40 ,其三条角平分线将ABCSbco : S26 正方形 ABCD 中，AC、BD 交于 O，/EOF=90，已知 AE=3 , CF=4，则 Sbef 为多 少？BFCBCE27 .如图，在 RtABC 中，/ACB=45,/BAC=90, AB=AC，点 D 是 AB 的中点，AF丄CD于H ,交BC于F , BE|AC交AF的延长线于E ,求证：BC垂直且平分DE28 .在ABC中，SCB=90, AC=BC，直线MN经过点C，且AD丄MN于D , BE丄MN于E(1 )当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE(2 )当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE(3 )当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？A请直接写出这个等量关系。N1 解：ABC 聖AED./D=/B=50/ACB=105。zACE=75。/CAD=10。/ACE=75。zEFA=/CAD+/ACE=85。（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）同理可得/DEF=/EFA-/D=85-50=35。2根据旋转变换的性质可得/B，=/B ,因为AOB绕点0顺时针旋转52，所以/BOB，=52。, 而/ACO是yOC的外角，所以/ACOB4/BOB，然后代入数据进行计算即可得解. 解答：解：AOB，是由AOB绕点O顺时针旋转得到，闭=30。,./B=/B=30 ,AOB绕点O顺时针旋转52 ,zBOB=52。,/ACO是aB/OC的外角，zACO=/B+/BOB=30+52=82。.故选D .3全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理.分析：根据全等三角形的性质得出SDEBDEC ,丛DBBDEEDC ,根据邻补角定 义求出/DEC、/EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可.解答：解：ADB聖EDB聖EDC ,/ADEBDEC，/ADBBDEEDC ,/DEB+/DEC=180。，/ADB+/BDE+EDC=180。,.zDEC=90。，/EDC=60。,zC=180-/DEC-/EDC ,=180。-90。-60。=30。.4分析：根据旋转的性质，可得知JCA，=35。，从而求得山的度数，又因为山的对应角是 /A，即可求出/A的度数.解答：解：三角形aABC绕着点C时针旋转35，得到aABC，zACA=35。，/ADC=90。./A=55 ,:小的对应角是/A，即/A=/A,.zA=55 ;故答案为：55 .点评：此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固 定角度的位置移动其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改 变.解题的关键是正确确定对应角.5因为AB=AC三角形ABC是等腰三角形所以 AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因为AD垂直于BC于D ,所以BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6 解：vBD丄DE , CE丄DE./D=/E./BAD+/BAC+/CAE=180又/BAC=90。,.zBAD+/CAE=90.在 RtABD 中，/ABD+/BAD=90zABDCAE.在 ABD 与CAE 中RABDCAE/D=/EAB=ACABDCAE ( AAS ). BD=AE， AD=CEDE=AD+AE. DE=BD+CEBD=3 , CE=2. DE=57证明：tAD是/BAC的平分线zEAD 二/FAD又tDE丄AB , DF丄AC/AED = /AFD = 90边 AD 公共RtAED聖RtAFD ( AAS )AE 二 AF即AEF为等腰三角形而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线AD丄底边EF（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）8 AD 平分/BAC，贝i/EAD=/FAD，/EDA=/DFA=90 度，AD=AD所以UED聖aAFDDE=DFSABC=SAED+SAFD28=1/2（AB*DE+AC*DF）=1/2（20*DE+8*DE）DE=29AB=AE，/B=/E，/BAC=/EAD贝 OABCAEDAC=ADACD是等腰三角形/CAF=/DAFAF平分/CAD则AF丄CD10 解：tAD丄BC/ADB 二 /ADC = 90/CAD+/C 二 90BE 丄AC/BEC = /ADB = 90./CBE+/C = 90/CAD = /CBEAD = BDBDHADC （ ASA ）BH=AC11 解：（1 ）证明：tAD丄BC （已知），./BDA=/ADC=90。（垂直定义）， /1/2=90（直角三角形两锐角互余） .在 RtBDF 和 RtADC 中，RtBDFRtADC （ H.L ）./2=/C （全等三角形的对应角相等）./1 +/2=90。（已证），所以/1 +/C=90./1 +/C + /BEC=180 （三角形内角和等于180 ）,/BEC=90.BE丄AC （垂直定义）；12证明：（1 ）ZDAC、AEBC均是等边三角形，AC=DC， EC=BC，/ACD=/BCE=60，/ACD+/DCE=/BCE+/DCE，即/ACE=/DCB .在ACE 和 DCB 中，AC=DC /ACEDCB EC=BC.ACE聖9CB ( SAS ).AE=BD(2 )由(1 )可知：ACE聖DCB ,zCAECDB，即/CAMCDN .DACEBC均是等边三角形，AC=DC，/ACM=/BCE=60。.又点A、C、B在同一条直线上，zDCE=180-/ACD-/BCE=180-60-60=60。,即/DCN=60。.zACMDCN .在ACM 和DCN 中，/CAMCDN AC=DC /ACMDCNACM聖9CN ( ASA ). CM=CN.由(2 )可知 CM=CN,/DCN=60。CMN 为等边三角形由(3)知/CMN=/CNM=/DCN=60。zCMN+/MCB=180。MN/BC13分析：(1 )由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到MAN MCB，结论得证；(2 )由(1 )中的全等可得/CANCMB，进而得出JMCFACE，由ASA得出 CAE CMF，即CE=CF，又ECF=60，所以 CEF为等边三角形.解答：证明：(1 )ZACM ,2BN是等边三角形，AC=MC , BC=NC，/ACM=60。，/NCB=60。,在CAN和 MCB中，AC=MC，/ACNMCB , NC=BC ,CANMCB ( SAS ),AN=BM .(2 )”CAN聖CMB ,zCANCMB ,又/MCF=180-/ACM-/NCB=180-60-60=60。,zMCFACE ,在CAE和CMF中，/CAECMF , CA=CM，/ACEMCF ,CAECMF ( ASA ),CE=CF,CEF为等腰三角形，又/ECF=60。,CEF为等边三角形.点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟 练运用.14考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质.分析：由题中条件可得ABECBD，得出对应边、对应角相等，进而得出BGDBFE , ABFCGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论.解答：解：ZABC 与BDE 为等边三角形，AB=BC , BD=BE，/ABC=/DBE=60。, zABECBD ,即 AB=BC , BD=BE，/ABECBDABECBD ,AE=CD，/BDCAEB ,又./DBG=/FBE=60 ,BGDBFE ,BG=BF，/BFG=/BGF=60。,BFG是等边三角形，FG|AD ,BF=BG , AB=BC，/ABF=/CBG=60。,ABF聖2GB ,zBAFBCG ,zCAF+/ACB+/BCD=/CAF+/ACB+/BAF=60+60=120。,zAHC=60。,/FHG+/FBG=120+60=180。,B、G、H、F四点共圆，FB=GB ,zFHBGHB ,BH 平分/GHF ,题中都正确.故选D .点评：本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握. 15考点：全等三角形的判定与性质分析：仔细分析题意，若能证明ABFGCA，则可 得AG=AF .在 ABF和GCA中，有BF=AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是 /ABD和/ACG，从已知条件中可推出山BDACG .在RtAGE中， /G+/GAE=90。，而/GBAF，则可得出/GAF=90。，即 AG丄AF .解答：解：AG=AF , AG丄AF .BD、CE分别是ABC的边AC , AB上的高.zADB=zAEC=90.zABD=90-/BAD，/ACG=90-/DAB ,zABDACG在ABF和 GCA 中 BF=AC /ABDACG AB=CGABF聖aGCA ( SAS ) AG=AF/GBAF又/G+/GAE=90 度.zBAF+/GAE=90 度.zGAF=90。AG丄AF .点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关 系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力， 范围较广.16 1、证明：BE 丄ACzAEB 二 90zABE+zBAC 二 90CF 丄ABzAFC = zAFG 二 90zACF+zBAC 二 90 ,zG+zBAG 二 90zABE=zACFvBD = AC , CG=ABABD聖GCA ( SAS )AG 二 AD2、AG丄AD证明ABD 聖GCAzBAD = zGzGAD 二 zBAD+zBAG 二 zG+zBAG 二 90AG 丄 AD17过E做EG丄AF于G ,连接EF ABCD 是正方形zD=zC=90AD=DCzDAE=zFAE , ED丄AD , EG丄AFDE=EGAD=AGE是DC的中点DE=EC=EG:EF=EFREFG 聖 RtECFGF=CF.AF=AG+GF=AD+CF18 因为：角 EDB=60DE=DB所以：EDB是等边三角形，DE=DB=EB过A作BC的垂线交BC于F因为：ABC是等腰三角形所以： BF=CF， 2BF=BC又：角 DAF=30所以： AD=2DF又： DF=DB+BF所以： AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=【2DB+BC】（AE+ED ） =2DB+BC，其中 ED=DB所以： AE=DB+BC， AE=BE+BC19补充：B是FD延长线上一点；ED=DF （角平分线到两边上的距离相等）；BD=CD；角EDB=FDC （对顶角）；则三角形EDB全等CDF ;则BE=CF ；或者补充：B在AE边上；ED=DF （角平分线到两边上的距离相等）；DB=DC则两直角三角形EDB全等CDF（ HL）即 BE=CF20 解：TAF/DEzDAFC/B + D180。，/AFC + /AFB=180。./B=zAFB AB=AF=DEAFC 和 EDC 中：/B=/AFB,/ACF=/ECD（对顶角）,AF=DEAFCEDC CF=CD21证明：点P在/AOB的角平分线0C上，PE丄OB , PD丄A0 , .PD=PE，/DOPEOP，/PDO=/PEO=90。,zDPFEPF ,在DPF和EPF 中PD=PE/DPFEPFPF=PF （SAS），.DPF 聖*PF.DF=EF .22考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：（1 ）根据全等三角形的判定定理ASA证得ABED聖YFD ;（2 ）连接AD .利用（1 ）中的ABED聖2FD，推知全等三角形的对应边ED=FD 因为角 平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点D在/A的平分线上.解答：上F证明：（1 ）tBFAC , CE丄AB，/BDECDF （对顶角相等），.zB=/C （等角的余角相等）；在 RtBED 和 RtCFD 中，/B=/CBD=CD（已知）/BDECDFJ.BEDCFD（ASA）;（2 ）连接AD .由 （ 1 ）知, BEDCFD ,ED=FD （全等三角形的对应边相等），.AD是/EAF的角平分线，即点D在/A的平分线上.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质.常用的判定方法有:ASA ,AAS ,SAS , SSS , HL等，做题时需灵活运用.23考点：角平分线的性质.分析：要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点0作FG丄AB，可以得到FG丄CD , 根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离.AB|CD ,zBFG+/FGD=180。,/BFG=90。,.zFGD=90。,FG丄CD ,FG就是AB与CD之间的距离.O为/BAC ,/ACD平分线的交点，OE丄AC交AC于E ,QE=OF=OG (角平分线上的点，到角两边距离相等)，AB与CD之间的距离等于2 OE=4 .故答案为：4 .点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距 离是正确解决本题的关键.24考点：梯形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质. 专题：作图题；探究型.分析：(1 )由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出/1+/3=90，再由三 角形内角和等于180，即可得出/AEB是直角的结论；(2)过E点作辅助线EF使其平行于AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一 步求出边之间的关系；(3 )由(2 )中得出的结论可知EF为梯形ABCD的中位线，可知无论DC的两端点在AM、 BN如何移动，只要DC经过点E , AD+BC的值总为一定值.解答：解：(1 )tAM|BN ,/MAB+/ABN=180 ,又AE , BE分别为/MAB./NBA的平分线，/1+/3=2(/MAB+/ABN ) =90 ,/AEB=180-/1-/3=90 ,即/AEB为直角；(2 )过E点作辅助线EF使其平行于AM，如图则EF|AD|BC ,/AEF=/4，/BEF=/2 ,/3=/4，/1=/2 ,/AEF=/3 ，/BEF=/1 ,.AF=FE=FB ,F 为 AB 的中点，又 EF|AD|BC , 根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，ED=EC ;(3 )由(2 )中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E , 总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB .点评:本题是计算与作图相结合的探索.对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、 等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的 要求.25匸如图，ABC的三边AB , BC , CA长分别是20,30 , 40 ,其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则Sabo : Sco : SaCAO等于()A. 1:1:1B. 1:2:3C. 2:3:4D. 3:4:5考点：角平分线的性质.专题：数形结合.分析：利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别 是20 , 30 , 40 ,所以面积之比就是2:3:4.解答：解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C .点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式.做 题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的.26解：正方形 ABCDAB = BC , AO = BO = CO ,ABC = AOB 二 /COB 二 90 ,/ABO 二 /BCO 二 45.zBOF+/COF = 90/EOF = 90zBOF+/BOE = 90/COF=/BOEboecof ( ASA )BE 二 CFCF = 4BE = 4:AE = 3 AB= AE+BE= 3+4= 7 BF= BC-CF= 7-4= 3SBEF = BExBF/2 = 4x3/2 = 627考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：证明出 DBPEBP，即可证明BC垂直且平分DE .解答：证明：在ADC 中，/DAH+/ADH=90。，/ACH+/ADH=90。,zDAHDCA ,/BAC=90。, BE|AC ,./CAD=/ABE=90 .又AB=CA ,在 ABE 与CAD 中，/DAH=/DCA/CAD=/ABEAB=ACABE 聖aCAD (ASA ),AD=BE,又vAD=BD ,BD=BE ,在 RtABC 中，/ACB=45，/BAC=90 , AB=AC ,故/ABC=45 .BE|AC ,/EBD=90，/EBF=90-45=45 ,DBPEBP ( SAS ),.DP=EP ,即可得出BC垂直且平分DE .点评：此题关键在于转化为证明出9BP聖*BP .通过利用图中所给信息，证明出两三角形 相似，而证明相似可以通过证明角相等和线段相等来实现.28 1 )证明：/ACB=90。,.zACD+/BCE=90。,而AD丄MN于D , BE丄MN于E ,zADC=/CEB=90。，/BCE+/CBE=90。,zACDCBE .在 RtADC 和 RtCEB 中，RADCCEB/ACDCBE AC=CB ,RtADCRtCEB ( AAS ), AD=CE， DC=BE， DE=DC+CE=BE+AD；(2 )证明：在ADC 和CEB 中，RADC=/CEB=90/ACD=/CBE AC=CB , ADC聖2EB ( AAS ), AD=CE， DC=BE， DE=CE-CD=AD-BE；(3 ) DE=BE-AD .证明的方法与(2 )相同已赞同9|评论(2)