现代控制理论第四章作业答案

中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案现代控制理论现代控制理论Modern Control TheoryModern Control Theory中南大学中南大学信息科学与工程学院自动化专业信息科学与工程学院自动化专业20222022年年1111月月7 7日日中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案P155 4.1 P155 4.1 判断下列系统的能控性。判断下列系统的能控性。1122110 101xxuxx (1)(2)1112223301010001 0124311xxuxxuxx (3)1112223331011030 0000120 xxuxxuxx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案解：解：(1)(1)由于该系统控制矩由于该系统控制矩阵阵 10b 系统矩阵系统矩阵 1110A 所以系统的能控性矩阵为所以系统的能控性矩阵为 1101CUbAb 显然有显然有 rankrank2CUbAbn满足能控性的充要条件，所以该系统能控。满足能控性的充要条件，所以该系统能控。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案(2)(2)由于该系统控制矩阵为由于该系统控制矩阵为 100111B 系统矩阵系统矩阵 010001243A 所以系统的能控性矩阵为所以系统的能控性矩阵为 21001110111171117115CUBABA B 显然有显然有rank3CUn满足能控性的充要条件，所以该系统能控。满足能控性的充要条件，所以该系统能控。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案(3)(3)由于该系统控制矩阵为由于该系统控制矩阵为 110020B 系统矩阵系统矩阵 310030001A 所以系统的能控性矩阵为所以系统的能控性矩阵为 2113399000000202020CUBABA B 可知可知rank2CUn 不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案P156 4.3 P156 4.3 判断下列系统的能观测性。判断下列系统的能观测性。11122211,11 10 xxxyxxx (1)(1)(2)(2)11223311223010001 243011 121xxxxxxxyxyx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案(3)11223312304302016 02520130 xxxxxxxyxx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案解：解：(1)(1)系统的观测矩阵系统的观测矩阵 11C 系统矩阵系统矩阵 1110A 系统能观性矩阵为系统能观性矩阵为 11 21OCUCA显然有显然有rankrank2OCUnCA 满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案(2)(2)系统的观测矩阵系统的观测矩阵 011121C 系统矩阵系统矩阵 010001243A 系统能观性矩阵为系统能观性矩阵为 2011121244 2318148220OCUCACA 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案易知易知2rankrank3OCUCAnCA满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案(3)(3)系统的观测矩阵系统的观测矩阵 130C 系统矩阵系统矩阵 0430201602520A 系统能观性矩阵为系统能观性矩阵为 2130 05645054OCUCACA 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案易知易知2rankrank3OCUCAnCA满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案P156 4.4 P156 4.4 试确定当试确定当p p与与q q为何值时下列系统不能控，为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。为何值时不能观测。1122112101xxpuxx 解：系统的能控性矩阵为解：系统的能控性矩阵为 121 xyqx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案 121CppUbAbp 其行列式为其行列式为 2det12bAbpp det0bAb 根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为控性矩阵的秩为2 2，亦即，亦即 可知可知 4p 或或3p 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案1112OcqUcAqq 其行列式为其行列式为 2det121cqqcAdet0ccA 根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为观性矩阵的秩为2 2，亦即，亦即 可知可知 13p 或或14p 系统能观测性矩阵为系统能观测性矩阵为中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案 1011:341 21Sxxuyx P157 4.7 P157 4.7 已知两个系统已知两个系统S S1 1和和S S2 2的状态方程和的状态方程和输出方程分别为输出方程分别为若两个系统按如图所示的方法串联，设串联后的若两个系统按如图所示的方法串联，设串联后的系统为系统为S S。1)1)求图示串联系统求图示串联系统S S的状态方程和输出方程。的状态方程和输出方程。2)2)分析系统分析系统S S1 1，S S2 2和串联后系统和串联后系统S S的可控性、可的可控性、可观测性。观测性。222222:2 Sxxuyx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案串联系统结构图串联系统结构图 解：解：1)1)因为因为 1212,uu uyyy 因此因此 1111121211112010 34121 xxuxxxyx 1122121222221 2xxxyxxyx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案串联组合系统的状态方程为串联组合系统的状态方程为 1111121222010034012120 xxxxuxx 11122001 xyxx 输出方程为输出方程为中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案2)2)串联后系统的能控性矩阵串联后系统的能控性矩阵20141413014CUbAbA b det0 rank23CCUU 可见可见 因此，系统不能控。因此，系统不能控。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案串联后系统的能观性矩阵串联后系统的能观性矩阵2001212744OcUcAcA det10 rank3OOUU 可见可见 因此，系统能观测。因此，系统能观测。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案P157 4.10 P157 4.10 将下列状态方程化为能控标准形将下列状态方程化为能控标准形121 341xxu 解：该状态方程的能控性矩阵为解：该状态方程的能控性矩阵为 1117CUbAb 知它是非奇异的。求得逆矩阵有知它是非奇异的。求得逆矩阵有 171881188CU 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案由由 111001 nPbAbAb 同理，由同理，由 得得 117111880101 118888CPU 21PP A 得得 21344P 从而得到从而得到 112311161488881121134844PPPP 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案由此可得由此可得 1311112011326488 34116410513326444CAPAP 111088 111344CbPb 所以所以 010 1051xxu 此即为该状态方程的能控标准形。此即为该状态方程的能控标准形。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案P157 4.11P157 4.11将下列状态方程和输出方程化为能观将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。标准形。11211111xxuyx 解：给定系统的能观性矩阵为解：给定系统的能观性矩阵为1102OcUcA 知它是非奇异的。求得逆矩阵有知它是非奇异的。求得逆矩阵有 1112102OU 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案由此可得由此可得 根据求变换矩阵公式有根据求变换矩阵公式有 1111022 111022T 1111020211112TTATT 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案代入系统的状态表达式。分别得代入系统的状态表达式。分别得1102011022 111111212OATAT 12024 1111ObT b 10211 01112OccT 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案所以该状态方程的能观标准型为所以该状态方程的能观标准型为 024121xxu 01yx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案P158 4.12 P158 4.12 系系统统,xAxBuyCx 式中式中 2210020,0,1111401Abc (1)(1)试判断系统能控性和能观性。试判断系统能控性和能观性。(2)(2)若不能控或不能观，试考察能控制的状态若不能控或不能观，试考察能控制的状态变量数、能观测的状态变量数有多少？变量数、能观测的状态变量数有多少？(3)(3)写出能控子空间系统及能观子空间系统。写出能控子空间系统及能观子空间系统。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案解：解：(1)(1)系统的能控性矩阵为系统的能控性矩阵为2012000101CUbAbA b det0 rank23CCUU 可见可见 因此，系统不能控。因此，系统不能控。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案系统的能观性矩阵系统的能观性矩阵2111101121OcUcAcA det0 rank23OOUU可见可见 因此，系统不能观测。因此，系统不能观测。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案特征根特征根-1,-2-1,-2分别为重根和单根。因此，必须利用分别为重根和单根。因此，必须利用广义特征向量决定变换矩阵。由此得到变换矩阵广义特征向量决定变换矩阵。由此得到变换矩阵P P为为 (2)(2)求矩阵求矩阵A A特征根特征根 2221det()0201214ssIAssss 1100100001121112010PP 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案因此因此1100221100121020001010140112110 010002APAP 1100001210101010bP b 100111001011112ccP 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案变换后的状态方程和输出方程为变换后的状态方程和输出方程为 110001010020011xxuyx 显然，系统有两个能控制的变量，分别是状态变量显然，系统有两个能控制的变量，分别是状态变量12,xx而能观测的状态变量也有两个，分别是而能观测的状态变量也有两个，分别是23,xx中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案 11221211001101xxuxxxyx (3)(3)由由 构成的能控子空间构成的能控子空间系统为系统为12,xx23,xx由由 构成的能观子空间系统构成的能观子空间系统为为 22332310102011xxuxxxyx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案P160 4.21 P160 4.21 系统传递函数为系统传递函数为 32282122212sG ssss 1)1)建立系统能控标准形实现。建立系统能控标准形实现。2)2)建立系统能观测标准形实现。建立系统能观测标准形实现。解：解：1)1)将分子分母同时除以将分子分母同时除以2 2，可得，可得G G(s s)的首项的首项为为1 1的最小公分母为的最小公分母为 32321236116ssa sa sasss 21234P ss G sb sb sbs 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案能控性实现为能控性实现为 0100001,0,41061161ABC 2)2)能观性实现为能观性实现为 00641011,1,0010160ABC 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章作业答案结结 束束