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概率论与数理统计 复旦大学 习题 一 1 略 .见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC （4） ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC (5) ABC=A B CU U (6) ABC (7) ABCABCABCABCABCABCABC=ABC=ABC (8) ABBCCA=ABCABCABCABC 3.略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1P（AB）=1P(A)P(AB) =10.70.3=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2） 当AB=时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且 第 1 页 共 105 页 1 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) =14 +14 +13 112=34 7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？ 【解】 p= 5 3 3 2 1313 13 13 13 52C C C C /C 8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）= 517 =（17）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故 P（A2）= 5 5 6 7 =( 6 7 ) 5 (3) 设A3=五个人的生日不都在星期日 P（A3）=1P(A1)=1(17 )5 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30. 图阴影 示. 2 2 30 1 60 4P = = 22.从（0，1）中随机地取两个数，求： （1） 两个数之小 65的概率； （2） 两个数之积小 14的概率. 【解】 设两数为x,y，0x,y1. （1） x+y65. 1 1 4 4 172 5 51 0.68 1 25p = = = (2) xy= 第 9 页 共 105 页 9 (3) 1 2( 1)! 1 3!( 2)!; , 3! !n np p nn n n = = = 38.0，a任意 三，试求三 三currency1的概率 【解】 设三 为x,y,axy.基本事件为 0xa,0ya,0axy + + 的图currency1，即 0 2 0 2 2 ax ay a x y a + 正正（） =（正正）=（n+1反n反） =（反1+反）=（反反） 第 11 页 共 105 页 11 对”性 P（正正）=P（反反） 因P(正正)=12 46.证明“确 的原”（Surething）：P（A|C）P(B|C),P(A|C)P(B|C)， P（A）P(B). 【证】 P（A|C）P(B|C), ( ) ( ), ( ) ( ) P AC P BC P C PC 即有 ( ) ( )P AC P BC 同理 ( | ) ( | ),P A C P B C ( ) ( ),P AC P BC 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P AC P AC P BC P BC P B= + + = 47.一列 共有n ，有k(kn)个客 随意地 .求 一 至 少有一个客的概率. 【解】 设Ai=第i 是 的，（i=1,fi,n）, 1 2 1 ( 1) 1( ) (1 ) 2( ) (1 ) 1( ) (1 ) n k k i k k i j k i i i nP A n n P AA n nP A A A n = = = = L L 其中i1,i2,fi,in1是1，2，fi，n中的任n1个. n 全 的概率是零， 是 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 31 1 1( ) (1 ) C (1 ) 2( ) C (1 ) 1( ) C (1 ) 0 ( ) ( 1) n n n k k i n i k i j n i j n n k n i i i n i i i n n n n i ni S P A n n n S P AA n nS P A A A n S P A S S S S = 0.试证明：不论0 小，要不地独 立地“复currency1试，A会出 的概率为1. 【证】 在 n 试中，A至少出 一 的概率为 1 (1 ) 1( )n n 49.中有m正品 ，n 品 （ 品 的两 有 ）.在中任取一， 它 r ， 都 到 .试问 是正品的概率是多少？ 【解】设A= r 都 到 B= 为正品 题 ( ) , ( )m nP B P Bm n m n= =+ + 1( | ) , ( | ) 1 2rP A B P A B= = 叶斯公式 ( ) ( ) ( | )( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P AB P B P A BP B A P A P B P A B P B P A B= = + 1 2 1 21 2 r r r m mm n m n m n m n m n += = + + + g g g 50.（Banach）盒问题： 数学 有两盒， 盒有N ， 用 时他在两盒中任取一盒 从中任取一 .试求他 发 一盒 时另一盒恰有r 的概率是多少？第一 用 一盒时（不是发 ）而另一盒恰有r 的概率 有多少？ 【解】 B1B2记取 不同两盒的事件，有 1 2 1( ) ( ) 2P B P B= = .（1）发 一盒 ， 另一盒恰 r ， 明 取2nr ，设n 取 B1盒（ ），nr 取 B2盒， 第2nr+1 B1，发 把取2nr 作2nr“试， 求概 率为 1 2 2 1 1 1 12C ( ) ( ) C 2 2 2 2 n n n r n n r n r r rp = =g 式中2反 B1与B2盒的对”性（即 可 是B2盒 取 ）. （2） 2nr1 取，有n1 取 B1盒，nr 取 B2盒，第2nr 取 B1盒 故概率为 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 12C ( ) ( ) C ( ) 2 2 2 2 n n n r n n r n r n rp = = 51.求n“试中A出 数 的概率. 【解】 设在一 试中A出 的概率为p. 第 13 页 共 105 页 13 0 0 1 1 2 2 2 0( ) C C C C 1n n n n n n n n n nq p p q pq p q p q + = + + + + =L 0 0 1 1 2 2 2 n 0( ) C C C ( 1) Cn n n n n n n n n nq p p q pq p q p q = + + + L 两式 求概率为 1 1 3 3 3 1 C C n n n np pq pq = + +L 11 ( ) 2 nq p= 11 (1 2 ) 2 np= 要求在n“试中A出 数 的概率，要两式加，即 2 11 (1 2 ) 2 np p= + . 52.设A，B是任意两个随机事件，求P（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）的值. 【解】因为（AB） （AB）=ABAB （AB） （AB）=ABAB 求 ( )( )( )( )A B A B A B A B+ + + + ( ) ( )AB AB AB AB= +U I = 故 求值为0. 53.设两两独立的三事件，A，BC 条件： ABC=，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）. 【解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B PC P AB P AC P BC P ABC= + + +U U 2 93 ( ) 3 ( ) 16P A P A= = 故 1( ) 4P A = 34 ,按题设P（A）12 ,故P（A）=14 . 54.设两个独立的事件AB都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A 不发生的概率，求P（A）. 【解】 1( ) ( ) 1 ( ) 9P AB P A B P A B= = =U U ( ) ( )P AB P AB= 故 ( ) ( ) ( ) ( )P A P AB P B P AB = 故 ( ) ( )P A P B= A,B的独立性， 式有 第 14 页 共 105 页 14 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 P A P B P A P B= + 21 2 ( ) ( )P A P A= + 21 ( )P A= 故 11 ( ) 3P A = 故 2( ) 3P A = 4( ) 3P A = （ ） 即P（A）=23 . 55.随机地向 0y0,P(A|B)=1,试比P(AB)与P(A)的大小. (2006考) 解：因为 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB= + U ( ) ( ) ( ) ( )P AB P B P AB P B= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P B P A= + =U . 习题 1.一中有5乒乓 ，编为1，2，3，4，5，在其中同时取3， X表示取出的3 中的最大码， 出随机 X的 . 【解】 3 5 3 5 2 4 3 5 3,4,5 1( 3) 0.1 C 3( 4) 0.3 C C( 5) 0.6 C X P X P X P X = = = = = = = = = = 故 求 为 X 3 4 5 第 16 页 共 105 页 16 P 0.1 0.3 0.6 2.设在15同类零件中有2为 品，在其中取3 ， 任取1，作不 ， X表示取出的 品个数，求： （1） X的 ； （2） X的 数 作图； (3) 1 3 3 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2P X P X P X P X . 【解】 3 13 3 15 1 2 2 13 3 15 1 13 3 15 0,1,2. C 22( 0) . C 35 C C 12( 1) . C 35 C 1( 2) . C 35 X P X P X P X = = = = = = = = = = 故X的 为 X 0 1 2 P 22 35 12 35 1 35 （2） 当x0时，F（x）=P（Xx）=0 当0 x1时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)= 2235 当1x2时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当x2时，F（x）=P（Xx）=1 故X的 数 0, 0 22, 0 1 35( ) 34, 1 2 35 1, 2 x x F x x x = (3) 第 17 页 共 105 页 17 1 1 22( ) ( ) , 2 2 35 3 3 34 34(1 ) ( ) (1) 0 2 2 35 35 3 3 12(1 ) ( 1) (1 ) 2 2 35 34 1(1 2) (2) (1) ( 2) 1 0. 35 35 P X F P X F F P X P X P X P X F F P X = = = = = = = + = = = = = 3.射 向 独立地 行3 射击， 击中率为0.8，求3 射击中击中 的 数的 数， 求3 射击中至少击中2 的概率. 【解】 设X表示击中 的 数.X=0，1，2，3. 3 1 2 3 2 2 3 3 ( 0) (0.2) 0.008 ( 1) C 0.8(0.2) 0.096 ( 2) C (0.8) 0.2 0.384 ( 3) (0.8) 0.512 P X P X P X P X = = = = = = = = = = = = 故X的 为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 数 0, 0 0.008, 0 1 ( ) 0.104, 1 2 0.488, 2 3 1, 3 x x F x x x x = = = = + = = + = = + ( 2, 1) ( 3, 1) ( 3, 2)P X Y P X Y P X Y= = + = = + = = 1 2 3 2 2 3 3 3C 0.6(0.4) (0.3) C (0.6) 0.4(0.3)= + + 3 3 2 2 1 2 3 3(0.6) (0.3) C (0.6) 0.4C 0.7(0.3)+ + 3 1 2 3 2 2 3 3(0.6) C 0.7(0.3) (0.6) C (0.7) 0.3+ =0.243 6.设 机 有200 飞机在 落，任一飞机在 一时刻 落的概率设为0.02，且设 飞机 落是独立的.试问该机 需 多少条道， 保证 一时刻飞机需立即 落而 有 道的概率小 0.01( 条道 一 飞机 落)？ 【解】设X为 一时刻需立即 落的飞机数，Xb(200,0.02)，设机 需 N条道， 有 ( ) 0.01P X N 即 200 200 200 1 C (0.02) (0.98) 0.01k k k k N = + 利用 似 200 0.02 4.np = = = 第 19 页 共 105 页 19 4 1 e 4( ) 0.01 ! k k N P X N k = + B 查表 N9.故机 至少应 9条道. 7.有一繁忙的汽 站， 有大 汽 通过，设 辆 在一的 时出事故的概率为 0.0001,在 的该时有1000辆汽 通过，问出事故的 数不小 2的概率是多少 （利用 理）？ 【解】设X表示出事故的 数，Xb（1000，0.0001） ( 2) 1 ( 0) ( 1)P X P X P X = = = 0.1 0.11 e 0.1 e = 8. 在五“试中 功的 数X PX=1=PX=2，求概率PX=4. 【解】设在 试中 功的概率为p， 1 4 2 2 3 5 5C (1 ) C (1 )p p p p = 故 13p = 4 45 1 2 10( 4) C ( )3 3 243P X = = = . 9.设事件A在 一 试中发生的概率为0.3，当A发生不少 3 时， 示灯发出信， （1） 行5 独立试，试求 示灯发出信的概率； （2） 行7 独立试，试求 示灯发出信的概率. 【解】（1） 设X表示5 独立试中A发生的 数，X6（5，0.3） 5 5 5 3 ( 3) C (0.3) (0.7) 0.16308k k k k P X = = = (2) Y表示7 独立试中A发生的 数，Yb（7，0.3） 7 7 7 3 ( 3) C (0.3) (0.7) 0.35293k k k k PY = = = 10. 公安局在为t的时隔收到的紧急呼救的 数X服从参数为（1/2）t的 ，而与时隔 关（时 小时计）. （1） 求 一中午12时至下午3时 收到呼救的概率； （2） 求 一中午12时至下午5时至少收到1 呼救的概率. 【解】（1） 32( 0) eP X = = (2) 52( 1) 1 ( 0) 1 eP X P X = = = 11.设PX=k= kkk pp 22 )1(C , k=0,1,2 PY=m= mmm pp 44 )1(C , m=0,1,2,3,4 为随机 X，Y的概率 ， PX1=59，试求PY1. 第 20 页 共 105 页 20 【解】因为 5( 1) 9P X = ，故 4( 1) 9P X = . 而 2( 1) ( 0) (1 )P X P X p = = n很大，p很小，=np=5，故用 似，有 第 21 页 共 105 页 21 514 0 e 5( 15) 1 0.000069 ! k k P X k = (2) P(保险公司获利不少 10000) (30000 2000 10000) ( 10)P X P X= = 510 0 e 5 0.986305 ! k k k = 即保险公司获利不少 10000元的概率在98% P（保险公司获利不少 20000） (30000 2000 20000) ( 5)P X P X= = 55 0 e 5 0.615961 ! k k k = 即保险公司获利不少 20000元的概率约为62% 15. 随机 X的密 数为 f(x)=Ae|x|, x+, 求：（1）A值；（2）P0X1; (3) F(x). 【解】（1） ( )d 1f x x = | | 0 1 e d 2 e d 2x xA x A x A = = = 故 12A= . (2) 1 1 0 1 1(0 1) e d (1 e ) 2 2 xp X x = = (3) 当x0时， 1 1( ) e d e2 2x x xF x x = = 当x0时， 0| | 0 1 1 1( ) e d e d e d 2 2 2 x xx x xF x x x x = = + 11 e2 x= 故 1e , 0 2( ) 11 e 0 2 x x x F x x = 16.设 仪器有三同 的电管，电管使用寿 X的密 数为 f(x)= = = (2) 1 22 3 1 2 4C ( )3 3 9p = = (3) 当x100时F（x）=0 当x100时 ( ) ( )dxF x f t t = 100 100 ( )d ( )dxf t t f t t = + 2 100 100 100d 1x t t x= = 故 1001 , 100 ( ) 0, 0 xF x x x = 17.在 0，a 任意 一个 ， X表示 的 ，设 落在0，a 中任意小 的概率与小 正比例，试求X的 数. 【解】 题意 X0,a，密 数为 1, 0 ( ) 0, x af x a = 其他 故当xa时，F（x）=1 即 数 0, 0 ( ) , 0 1, x xF x x a a x a 18.设随机 X在2，5 服从 . 对X 行三 独立观测，求至少有两 的观测 值大 3的概率. 【解】XU2,5，即 1, 2 5 ( ) 3 0, xf x = 其他 第 23 页 共 105 页 23 5 3 1 2( 3) d 3 3P X x = = 故 求概率为 2 2 3 3 3 3 2 1 2 20C ( ) C ( ) 3 3 3 27p = + = 19.设顾客在 银行的窗口待服务的时X（ 钟计）服从 数 1( )5E . 顾客在窗 口待服务，超过10钟他” .他一个月要到银行5 ， Y表示一个月他未 到服务而 窗口的 数，试 出Y的 ， 求PY1. 【解】依题意 1 ( )5X E ，即其密 数为 51e , 0 ( ) 5 0, x xf x = x 0 该顾客未到服务而 的概率为 25 10 1( 10) e d e 5 x P X x = = 2 (5,e )Y b ,即其 为 2 2 5 5 2 5 ( ) C (e ) (1 e ) , 0,1,2,3,4,5 ( 1) 1 ( 0) 1 (1 e ) 0.5167 k k kPY k k PY PY = = = = = = = 20. 人 汽 站 ，有两条路可走.第一条路程短但交通拥挤， 需时X服 从N（40，102）；第 条路程，但阻塞少， 需时X服从N（50，42）. （1） 身时 有1小时，问应走 条路 的把握大？ （2） 时有45钟，问应走 条路赶 把握大？ 【解】（1） 走第一条路，XN（40，102）， 40 60 40( 60) (2) 0.97727 10 10 xP X P = = = 走第 条路，XN（50，42）， 50 60 50( 60) (2.5) 0.9938 4 4 XP X P = = = + 故走第 条路 的把握大. （2） XN（40，102）， 40 45 40( 45) (0.5) 0.6915 10 10 XP X P = = = XN（50，42）， 第 24 页 共 105 页 24 50 45 50( 45) ( 1.25) 4 4 XP X P = = 1 (1.25) 0.1056= = 故走第一条路 的把握大. 21.设XN（3，22）， （1） 求P2X5，P4X10，PX 2，PX 3; （2） 确 c使PX c=PXc. 【解】（1） 2 3 3 5 3(2 5) 2 2 2XP X P = 1 1(1) (1) 1 2 2 0.8413 1 0.6915 0.5328 = = + = + = 4 3 3 10 3( 4 10) 2 2 2 XP X P = = + + = = =- (2) c=3 22. 机器生产的螺栓（cm）XN（10.05,0.062）,规 在10.050.12为 格品, 求一螺栓为不 格品的概率. 【解】 10.05 0.12(| 10.05| 0.12) 0.06 0.06XP X P = 1 (2) ( 2) 21 (2)0.0456 = + = = 23.一工厂生产的电管寿 X（小时）服从正态 N（160，2），要求P120 X2000.8， 最大不超过多少？ 第 25 页 共 105 页 25 【解】 120 160 160 200 160(120 200) XP X P = = = = (3) e , 0( ) ( ) 0, 0 x x f x F x x = = 25.设随机 X的概率密为 f（x）= .,0 ,21,2 ,10, 其他 xx xx 求X的 数F（x）， 画出f（x）F（x）. 【解】当x0时F（x）=0 当0 x1时 0 0 ( ) ( )d ( )d ( )dx xF x f t t f t t f t t = = + 2 0 d 2x xt t= = 当1x2时 ( ) ( )dxF x f t t = 第 26 页 共 105 页 26 0 1 0 1 1 0 1 2 2 ( )d ( )d ( )d d (2 )d 1 32 2 2 2 2 12 x x f t t f t t f t t t t t t xx x x = = + = + = + = + 当x2时 ( ) ( )d 1xF x f t t = = 故 2 2 0, 0 , 0 12 ( ) 2 1, 1 22 1, 2 x x x F x x x x x = + 0; (2) f(x)= = 当x0时 1( ) ( )d e d e2 2x x x xF x f x x x = = = 当x0时 0 0 ( ) ( )d e d e d2 2x xx xF x f x x x x = = + 11 e2 x= 故其 数 第 27 页 共 105 页 27 11 e , 0 2( ) 1e , 0 2 x x x F x x = (2) 1 2 2 0 1 1 11 ( )d d d 2 2 bf x x bx x x x = = + = + b=1 即X的密 数为 2 , 0 1 1( ) , 1 2 0, x x f x xx = 其他 当x0时F（x）=0 当0x1时 0 0 ( ) ( )d ( )d ( )dx xF x f x x f x x f x x = = + 2 0 d 2x xx x= = 当1x2时 0 1 2 0 1 1( ) ( )d 0d d dx xF x f x x x x x x x = = + + 3 12 x= 当x2时F（x）=1 故其 数为 2 0, 0 , 0 12 ( ) 3 1 , 1 22 1, 2 x x x F x xx x = = 即 1 ( ) 0.01z = 即 ( ) 0.09z = 第 28 页 共 105 页 28 故 2.33z = （2） ( ) 0.003P X z = 1 ( ) 0.003z = 即 ( ) 0.997z = 查表 2.75z = /2( ) 0.0015P X z = /21 ( ) 0.0015z = 即 /2( ) 0.9985z = 查表 /2 2.96z = 28.设随机 X的 为 X 2 1 0 1 3 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的 . 【解】Y可取的值为0，1，4，9 1( 0) ( 0) 5 1 1 7( 1) ( 1) ( 1) 6 15 30 1( 4) ( 2) 5 11( 9) ( 3) 30 PY P X PY P X P X PY P X PY P X = = = = = = = + = = + = = = = = = = = = 故Y的 为 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设PX=k=(12 )k, k=1,2,fi, 1, 1, . XY X = 当取数时 当取数时 求随机 X的 数Y的 . 【解】 ( 1) ( 2) ( 4) ( 2 )PY P X P X P X k= = = + = + + = +L L 第 29 页 共 105 页 29 2 4 21 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1( )/(1 ) 4 4 3 k= + + + + = = L L 2( 1) 1 ( 1) 3PY PY= = = = 30.设XN（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密； （2） 求Y=2X2+1的概率密； （3） 求Y=X的概率密. 【解】（1） 当y0时， ( ) ( ) 0YF y PY y= = 当y0时， ( ) ( ) (e ) ( ln )xYF y PY y P y P X y= = = ln ( )dy Xf x x = 故 2 /2lnd ( ) 1 1 1( ) (ln ) e , 0 d 2 yY Y x F yf y f y y y y y = = = (2) 2( 2 1 1) 1PY X= + = 当y1时 ( ) ( ) 0YF y PY y= = 当y1时 2( ) ( ) (2 1 )YF y PY y P X y= = + 2 1 1 12 2 2y y yP X P X = = ( 1)/2 ( 1)/2 ( )dy X y f x x = 故 d 1 2 1 1( ) ( )d 4 1 2 2Y Y X Xy yf y F y f fy y = = + ( 1)/41 2 1 e , 12 1 2 y yy = (3) ( 0) 1PY = 当y0时 ( ) ( ) 0YF y PY y= = 当y0时 ( ) (| | ) ( )YF y P X y P y X y= = 第 30 页 共 105 页 30 ( )d y Xy f x x= 故 d( ) ( ) ( ) ( )dY Y X Xf y F y f y f yy= = + 2 /22 e , 0 2 y y= 31.设随机 XU（0,1），试求： （1） Y=eX的 数密 数； （2） Z=2lnX的 数密 数. 【解】（1） (0 1) 1P X = 故 (1 e e) 1XP Y = = 当 1y 时 ( ) ( ) 0YF y PY y= = 当1ye时 ( ) (e ) ( ln )XYF y P y P X y= = ln 0 d lny x y= = 当ye时 ( ) (e ) 1XYF y P y= = 即 数 0, 1 ( ) ln , 1 e 1, e Y y F y y y y = 故Y的密 数为 1 1 e ,( ) 0, Y yyf y = 其他 （2） P（0X = 当z0时， ( ) ( ) 0ZF z P Z z= = 当z0时， ( ) ( ) ( 2ln )ZF z P Z z P X z= = /2(ln ) ( e )2 zzP X P X = = /21 /2 e d 1 ez zx = = 第 31 页 共 105 页 31 即 数 - /2 0, 0( ) 1-e ,Z z zF z z = 0 故Z的密 数为 /21e , 0 ( ) 2 0, z Z zf z z = 0 32.设随机 X的密 数为 f(x)= 2 2 , 0, 0, . x x 其他 试求Y=sinX的密 数. 【解】 (0 1) 1P Y = 当y0时， ( ) ( ) 0YF y PY y= = 当0y1时， ( ) ( ) (sin )YF y PY y P X y= = (0 arcsin ) (arcsin)P X y P y X= + arcsin 2 2 0arcsin 2 2d d y y x xx x = + 2 2 2 2 1 1arcsin 1arcsin y y= + - -（）（） 2arcsin y= 当y1时， ( ) 1YF y = 故Y的密 数为 2 2 1 , 0 1 ( ) 1 0, Y y f y y = g 其他 33.设随机 X的 数 下： += .)3(,)2( ,)1(,1 1)( 2 x xxxF 试填 (1),(2),(3)项. 【解】 lim ( ) 1x F x = 填1 第 32 页 共 105 页 32 右续性 + 0 0lim ( ) ( ) 1x x F x F x = = 0 0 x = ，故 为0 从而 亦为0 即 2 1 , 0 ( ) 1 1, 0 xF x x x = + 34.同时两骰， 到一骰出 6 为 ，求抛 数X的 . 【解】设Ai=第i骰出 6 （i=1,2）,P(Ai)=16.且A1与A2独立 再设C= 抛 出 6 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )PC P A A P A P A P A P A= = + U 1 1 1 1 116 6 6 6 36= + = 故抛 数X服从参数为1136的 35.随机数字 列要多 使数字0至少出 一 的概率不小 0.9? 【解】 X为0出 的 数，设数字 列中要 n个数字， Xb(n,0.1) 0 0( 1) 1 ( 0) 1 C (0.1) (0.9) 0.9n nP X P X = = = 即 (0.9) 0.1n n22 即随机数字 列至少要有22个数字 36. F（x）= + .21,1 ,210,21 ,0,0 x xx x F（x）是（ ）随机 的 数. （A） 续； （B） 散； （C） 非续亦非 散. 【解】因为F（x）在（,+） 单调不 右续，且lim ( ) 0 x F x = lim ( ) 1 x F x + = , F（x）是一个 数 但是F（x）在x=0处不续， 不是阶梯状曲，故F（x）是非续亦非 散随 机 的 数 （C） 37.设在 a,b ，随机 X的密 数为f(x)=sinx，而在a,b，f(x)=0， a,b 第 33 页 共 105 页 33 （ ） (A) 0,/2; (B) 0,; (C) /2,0; (D) 0, 23 . 【解】在 0, 2 sinx0，且 /2 0 sin d 1x x= .故f(x)是密 数 在0, 0 sin d 2 1x x= .故f(x)不是密 数 在 ,02 sin 0 x ，故f(x)不是密 数 在 30,2 ，当 3 2x 时，sinx0，f(x) 不是密 数 故 （A） 38.设随机 XN（0，2），问：当取值时，X落 （1，3）的概率最大？ 【解】因为 2 1 3 (0, ), (1 3) ( )XX N P X P = 3 1( ) ( ) ( )g = 利用微积中求极值的方 ，有 2 2 3 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )g = + 2 2 2 2 9/2 1/2 2 2 1/2 8/2 2 3 1 1 1e e 2 2 1 e 1 3e 0 2 pi pi pi = + = = 20 4ln3 = , 0 2ln3 = 0( ) 0g 故 0 2ln3 = P（X0）=1，故01e2X1，即P（0Y1）=1 当y0时，FY（y）=0 当y1时，FY（y）=1 当0y1时， 2( ) ( ) (e 1 )xYF y PY y P y= = 1ln(1 ) 22 0 1( ln(1 ) 2 2e dy x P X y x y = = = 即Y的密 数为 1, 0 1( ) 0,Y yf y = 其他 即YU（0，1） 41.设随机 X的密 数为 第 35 页 共 105 页 35 f(x)= .,0 ,63,92 ,10,31 其他 x x k使 PXk=2/3，求k的取值范 . (2000考) 【解】 P（Xk）=23 P（Xk）=13 k0,P(Xk)=0 0k1,P(Xk)= 0 1 1d 3 3 3 k kx = 当k=1时P（Xk）=13 1k3时P（Xk）= 1 0 1 1 1d 0d 3 3 kx x+ = 3k6，P（X6,P（Xk）=1 故有当1k3时 P（Xk）=23 . 42.设随机 X的 数为 F(x)= .3,1 ,31,8.0 ,11,4.0 ,1,0 x x x x 求X的概率 . （1991考） 【解】 散随机 X 与 数之的关系，可 X的概率 为 X 1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 43.设三 独立试中，事件A出 的概率. A至少出 一 的概率为19/27，求 A在一 试中出 的概率. 【解】 X为三 独立试中A出 的 数，设P（A）=p, Xb(3,p) P（X1）=1927 P（X=0）=（1p）3= 827 故p=13 44.随机 X在（1，6） 服从 ，方程y2+Xy+1=0有实 的概率是多少？ 【解】 第 36 页 共 105 页 36 1, 1 6 ( ) 5 0, xf x = 其他 2 4( 4 0) ( 2) ( 2) ( 2) 5P X P X P X P X = + = = 45.随机 XN（2，2），且P2X4=0.3， PX0= . 【解】 2 2 2 4 20.3 (2 4) ( )XP X P = = 2 2( ) (0) ( ) 0.5 = = 故 2( ) 0.8 = 因 2 0 2 2( 0) ( ) ( )XP X P = = = 全概率公式有 3 1 ( ) ( ) ( | ) 0.0642i i i P B P A P B A = = = = 叶斯公式有 2 2 2 ( ) ( | )( | ) 0.009 ( ) P A P B AP A B P B = = 49.设随机 X在 （1，2） 服从 ，试求随机 Y=e2X的概率密fY(y). 第 38 页 共 105 页 38 【解】 1, 1 2( ) 0,X xf x = 其他 因为P（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1 当ye2时FY（y）=P(Yy)=0. 当e2ye4时， 2( ) ( ) (e )XYF y PY y P y= = 1(1 ln )2P X y= 1ln 2 1 1d ln 1 2 y x y= = 当ye4时， ( ) ( ) 1YF y PY y= = 即 2 2 4 4 0, e 1( ) ln 1, e e 2 1, e Y y F y y y y = 故 2 41 , e e 2( ) 0, Y yyf y = 其他 50.设随机 X的密 数为 fX(x)= 1时， ( ) ( ) (e ) ( ln )XYF y PY y P y P X y= = = ln 0 1e d 1y x x y = = 即 11 , 1 ( ) 0, 1 Y yyF y y = 故 2 1 , 1 ( ) 0, 1 Y yyf y y = 第 39 页 共 105 页 39 51.设随机 X的密 数为 fX(x)= )1( 1 2x+ , 求Y=13 x的密 数fY(y). 【解】 33( ) ( ) (1 ) ( (1 ) )YF y PY y P X y P X y= = = 33 2 (1 )(1 ) 3 1 1d arctg (1 ) 1 arctg(1 ) 2 yy x xx y = =+ = 故 2 6 3 (1 )( ) 1 (1 )Y yf y y = + 52. 设一大设在任为t的时发生故障的 数N（t）服从参数为t的 . （1） 求继两 故障之时隔T的概率 ； （2） 求在设 经 故障工作8小时的 currency1下，再 故障运行8小时的概率Q. （1993考） 【解】（1） 当tt与N(t)=0价，有 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ( ) 0) 1 e tTF t PT t PT t P N t = = = = = 即 1 e , 0( ) 0, 0 t T tF t t = = = = 53.设随机 X的绝对值不大 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1X1出 的条 件下，X在1，1任一 取值的条件概率与该 正比，试求X的 数F（x）=PXx. (1997考) 【解】 当x1时F（x）=0；而x1时F（x）=1 题 1 1 5( 1 1) 1 8 4 8P X = = 当1x1时， 1( | 1 1) 2xP X x X + = 时 ( ) ( )F x P X x= 第 40 页 共 105 页 40 ( , 1 1) ( , 1) ( , 1) ( , 1 1) ( , 1) ( | 1 1) ( 1 1) ( 1) 1 5 1 5 1( 1) 2 8 8 16 8 P X X P X x X P X x X P X x X P X x x P X x X P X P X x x = + = + = = + = = + = += + = + +g 当x=1时， 1( ) ( ) ( 1) 8F x P X x P X= = = = 故X的 数 0, 1 5 1( ) ( 1) , -1 x1 16 8 1, 1 x F x x x = + + 54. 设随机 X服从正态N（1,12),Y服从正态 N(2,22)，且P|X-1|P|Y-2| 1，试比1与2的大小. (2006考) 解： 依题意 1 1 (0,1)X N : ， 2 2 (0,1)Y N : ， 1 1 1 1 1 1 XP X P = ， 2 2 2 2 1 1 YP Y P = . 因为 1 2 1 1P X P Y ，即 1 1 1 1 2 2 1 1 X YP P ，即 1 2 . 习题三 1.一 抛三 ， X表示在三 中出 正 的 数， Y表示三 中出 正 数 与出 反 数之差的绝对值.试 出XY的联 . 【解】XY的联 表： 0 1 2 3 1 0 1 3 1 1 1 3C 2 2 2 8 =g 2 3 1 1 1C 3/8 2 2 2 =g 0 第 41 页 共 105 页 41 X Y 3 1 8 0 0 1 1 1 1 2 2 2 8 = 2.盒有3黑 2红 2 ，在其中任取4 ， X表示取到黑 的数， Y表示取到红 的数.求XY的联 . 【解】XY的联 表： 0 1 2 3 0 0 0 2 2 3 2 4 7 C C 3 C 35= g 3 13 2 4 7 C C 2 C 35= g 1 0 1 1 2 3 2 2 4 7 C C C 6 C 35= g g 2 1 13 2 2 4 7 C C C 12 C 35= g g 3 13 2 4 7 C C 2 C 35= g 2 P(0黑,2红,2)= 2 2 4 2 2 7 1C C /C 35=g 1 2 1 3 2 2 4 7 C C C 6 C 35= g g 2 23 2 4 7 C C 3 C 35= g 0 3.设 维随机 （X，Y）的联 数为 F（x，y）= .,0 20,20,sinsin 其他 yxyx 求 维随机 （X，Y）在方currency1 36,40 yx 的概率. 【解】 图 0 , (3.2)4 6 3P X Y + .,0 ,0,0,)43( 其他 yxA yxe 求：（1） 数A； （2） 随机 （X，Y）的 数； （3） P0X1，0Y = = 其他 (3) 0 1,0 2P X Y 1 2 (3 4 ) 3 8 0 0 0 1,0 2 12e d d (1 e )(1 e ) 0.9499.x y P X Y x y + = = = 5.设随机 （X，Y）的概率密为 f（x，y）= .,0 ,42,20),6( 其他 yxyxk （1） 确 数k； （2） 求PX1，Y3； （3） 求PX1.5； （4） 求PX+Y4. 【解】（1） 性有 2 4 0 2 ( , )d d (6 )d d 8 1,f x y x y k x y y x k+ + = = = 故 18R = （2） 1 3 1, 3 ( , )d dP X Y f x y y x = 1 3 0 2 1 3(6 )d d 8 8k x y y x= = (3) 11.5 1.5 ( , )d d a ( , )d d x D P X f x y x y f x y x y .,0 ,0,5 5 其他 yye 求：（1） X与Y的联 密；（2） PYX. 题6图 【解】（1） 因X在（0，0.2） 服从 ， X的密 数为 1 , 0 0.2, ( ) 0.2 0, . X xf x = 其他 ( , ) , ( ) ( )X Yf x y X Y f x f yg独立 5 51 5e 25e , 0 0.2 0, 0.2 0, 0, y y x y = = 且 其他. (2) 5( ) ( , )d d 25e d dy y x D PY X f x y x y x y = 图 第 44 页 共 105 页 44
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