动量与功能3-2new

1第三章第三章 动量和能量的守恒定律动量和能量的守恒定律(2)(2)一、一、功、功、动能动能定理定理二、二、保守力和势能保守力和势能三、三、功能原理、机械能守恒定率功能原理、机械能守恒定率四、四、完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞五、五、能量守恒定律能量守恒定律六、六、质心、质心运动定律质心、质心运动定律23.4 3.4 动能定理动能定理1、元功、元功:MMFF dr在位移无限小时力可看作不在位移无限小时力可看作不变的常量，则元功定义为：变的常量，则元功定义为：2、有限路径上变力的功：、有限路径上变力的功：如果力可以写成位置的函数，则可以把路如果力可以写成位置的函数，则可以把路径分割成无数无限小的小段。计算每一小段上径分割成无数无限小的小段。计算每一小段上的元功再加起来，即积分。的元功再加起来，即积分。单位：焦耳单位：焦耳(J),量纲：量纲：ML2T2一、功一、功dWF drdsFrdFdWt cos即功的其它单位：电子伏特（功的其它单位：电子伏特（eV）=1.610-19J3 力沿力沿A、B的功为所有无限小段位移的功为所有无限小段位移上的元功之和上的元功之和：注意：注意：1 1、功是过程量，、功是过程量，与路径有关与路径有关。2 2、功是标、功是标量，但有正负。正功加速物体运动，负功阻碍物量，但有正负。正功加速物体运动，负功阻碍物体运动。体运动。3 3、合力的功为各分力的功的代数和。、合力的功为各分力的功的代数和。解析式：解析式：bazyxdzFdyFdxFW)(cosbbbaaaWdWF drFds FFnFtAB4s1s2dsFcos图中曲线下的面积等于图中曲线下的面积等于变力所做功的代数和。变力所做功的代数和。若有几个力同时作用在若有几个力同时作用在质点上，它们所做的功质点上，它们所做的功等于每个分力所做功的等于每个分力所做功的代数和。代数和。rdFrdFrdFWi21即：即：iWWWW2153、功率、功率:力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功tWP平均功率：单位：单位：W 或或 Js-1 量纲：量纲：ML2T3dtdWtWPt0lim瞬时功率：vFdtrdFPrdFdW 6例例1、一陨石从距地面高为、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？力的功是多少？解：取地心为原点，引力与矢解：取地心为原点，引力与矢径方向相反径方向相反abhRo RhRrdFW)(hRRGMmh 2RhRdrrMmGhRRGMmrdrGMmRhR11 27(SI)例例2、质量为、质量为2 kg 的质点在力的质点在力i tF12的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿 x 轴正向作直线运动。轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。求前三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）解：（一维运动可以用标量）vdttrdFW122000032120tdttdtmFadtvvttt3203340W12t3t dt36 t dt9t729 J （）84、一对万有引力的功、一对万有引力的功1111 rdfrmor1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m1、m2 组成一个封闭系统组成一个封闭系统在在 t时间内时间内2211rdfrdfdW2222 rdfrm2112rrr)()(122122rrdfrdrdfdW21ff212rdfdW9由此可以看出，两质点由此可以看出，两质点靠近靠近时互相作用力做时互相作用力做正功正功；它们它们远离远离时互相作用力做时互相作用力做负功负功。这个功等于作用。这个功等于作用力和距离变化量的乘积。力和距离变化量的乘积。二、动能定理二、动能定理1、质点的动能定理、质点的动能定理BBBABttAAAWFd rF d rmad r tdvadrdsvdtdtAv1FBv2质点质点m在合外力作用下自在合外力作用下自A点移动到点移动到B点，点，合外力做的功为：合外力做的功为：10定义：动能定义：动能 Ek=mv2/2 ，单位：单位：J 量纲：量纲：ML2T22、质点系的动能定理：、质点系的动能定理：质点系：质点系：m1 m2内力：内力：初速度：初速度：12F F；AAvv21 外力：外力：末速度：末速度：12 =ff BBvv21 2211 22BABvABBAAvdvWmvdtmvdvmvmvdt合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,tdvadrvdtdt 则则 WAB=EKBEKA。11两式相加得：两式相加得：2211221122112211 BABABABArdfrdfrdFrdF 即：外力的功之和内力的功之和即：外力的功之和内力的功之和 系统末动能系统末动能系统初动能系统初动能即：即：W外外W内内EKB EKA）（22221122221121212121AABBvmvmvmvm222222222222121 :2222ABBABAvmvmrdfrdFm211211111112121 :1111ABBABAvmvmrdfrdFm12说明：说明：1、动能是状态量，任一运动状态对、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。应一定的动能。2、EK 为动能的增量，增为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变。量可正可负，视功的正负而变。3、动能是、动能是质点因运动而具有的做功本领。质点因运动而具有的做功本领。注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。统的总动量。所有外力对质点系做的功和内力对质点系做所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。的功之和等于质点系总动能的增量。记作：记作：W外外W内内EKB-EKA13例例3 3、质量为、质量为1 1kg kg 的小球用的小球用1 1m m 长的细绳悬挂在长的细绳悬挂在o o点，起点，起始时与垂直线呈始时与垂直线呈30300 0角释放，求角释放，求10100 0角时小球的速率。角时小球的速率。解：由题知合外力的功为：解：由题知合外力的功为：rdPrdFrdFdWT dsPdsPrdPrdP sincoscos dmgldWlddssin ，又又0r dFT0coscossin0mgldmglW由动能定理知：由动能定理知：20202121coscosmvmvmglW1053.1coscos2smglvFTpvlOmd14S与 方向相反,因此前式加了负号153.5 保守力和非保守力、势能保守力和非保守力、势能1、保守力：某些力对质点做功的大小只与、保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。力称为保守力。2、势能：在具有保守力相互作用的系统内，、势能：在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为势能。只由质点间的相对位置决定的能量称为势能。3、几种保守力和相应的势能：重力，重力、几种保守力和相应的势能：重力，重力势能、引力，引力势能、弹性力，弹性势势能、引力，引力势能、弹性力，弹性势能、静电力和静电势能等。能、静电力和静电势能等。16122rm mFGer 1.1.万有引力的功，引力势能万有引力的功，引力势能一一.几种保守力及其相应的势能几种保守力及其相应的势能 对对 的万有引力为的万有引力为:1m2m2m移动移动 时，时，所作元功为所作元功为:Fdr rFWdd122drm mGerr rrrdrd2m1mABArBr17122dBArrm mWGrr rrererrdcosdd11()BAWGMmrr 122ddBrAm mWFrGerr m2从从A到到B的过程中的过程中 作功：作功：Fdrrrrdrd2m1mABArBr W与路径无关！与路径无关！引力的功只取决于起始和终了位置！引力是保守力。引力的功只取决于起始和终了位置！引力是保守力。1212()()BAm mm mGGrr 18引力势能引力势能PPbPabaEEEW （势能的减少！）（势能的减少！）引力做功只取决于始末位置而与过程无关的这种特点引力做功只取决于始末位置而与过程无关的这种特点表明：表明：以以EP表示势能。则有：表示势能。则有：根据以上分析可知：引力的功应该等于势能的减少！根据以上分析可知：引力的功应该等于势能的减少！当引力做正功时，这种能量当引力做正功时，这种能量势能势能转化为动能；转化为动能；当引力做负功时，系统的动能转化为这种能量当引力做负功时，系统的动能转化为这种能量势能势能。伴随系统中物体相对位置的变化这种能量伴随系统中物体相对位置的变化这种能量势能势能可以和系统的动能互相转化。可以和系统的动能互相转化。引力系统具有由相对位置决定的做功的能力。这种引力系统具有由相对位置决定的做功的能力。这种能力是一种能量。这种能量我们叫做能力是一种能量。这种能量我们叫做“势能势能”或者或者“位位能能”191211()=PAPBBAWGm mEErr 1211()PAPBBAEGm mErr 如果把如果把B B取在无限远处，即取在无限远处，即r rB B ，且假且假设无穷远处势能为零设无穷远处势能为零,即即E EPP=0,=0,那么引力势那么引力势能：能：121PAAEGm mr PPbPabaEEEW 202、重力的功和重力势能、重力的功和重力势能 M在重力作用下由在重力作用下由a运动到运动到b，取地面为坐标，取地面为坐标原点，原点，y轴向上为正，轴向上为正，a、b的坐标分别为的坐标分别为 ya、yb.mgdyrdgmdW可见重力是保守力。可见重力是保守力。byao)()(baabyyyymgyymgmgdyWba21()=baPPaPbWmg yyEEE 根根据据 若以地面为零势能点若以地面为零势能点,即当即当yb=0,EPb=0,则空则空间任意点的重力势能可表示为：间任意点的重力势能可表示为：(0)PEmgymgy ()PaPbbaEEmg yy 223、弹力的功和弹性势能、弹力的功和弹性势能kxF可见，弹性力是保守力。因此可以引入弹性势能可见，弹性力是保守力。因此可以引入弹性势能.根据势能的定义根据势能的定义,弹性力的功应等于弹性势弹性力的功应等于弹性势能增量的负值能增量的负值.即：即：2211()22baxbaxWkxdxkxkx 2211()22baPaPbWkxkxEE 以弹簧的平衡位置为坐标原点：以弹簧的平衡位置为坐标原点：弹性力的功只取决于始末位置弹性力的功只取决于始末位置.23 设当设当xb=0时时EPb=0，即，即 以弹簧原长为零势能处。以弹簧原长为零势能处。则任意伸长则任意伸长x处的弹性势能为：处的弹性势能为：2211()0022PExkxkx 注意：注意：零势能点可以任意取，前述只是一零势能点可以任意取，前述只是一般取法。般取法。2211()22baPaPbWkxkxEE 221122PaPbbaEEkxkx 24二、保守力做功的数学表达式：二、保守力做功的数学表达式：保守力做功：保守力做功：ACBADBADBACBl dFl dFWW AcBD物体沿闭合路径物体沿闭合路径ACBDAACBDA运动一周，保守力作的功：运动一周，保守力作的功：lACBADBACBBDAWF drF drF drF drF dr0lrdFW所以：所以：物体沿任意闭合路径运动一周，保物体沿任意闭合路径运动一周，保守力对它所作的功为零。守力对它所作的功为零。25三、势能的性质三、势能的性质1、只要有保守力，就可引入相应的势能。、只要有保守力，就可引入相应的势能。2、势能是状态函数。质点在某一点的势能、势能是状态函数。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。在点移动到零势能点时保守力所做的功。3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。两点间的势能差是绝对的，即能参考点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函数。势能是质点间相对位置的单值函数。4、势能是属于具有保守力相互作用的质点、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。系统的。26四、势能曲线四、势能曲线:重力势能曲线重力势能曲线弹性势能曲线弹性势能曲线万有引力势能曲线万有引力势能曲线 曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的转化。的转化。yEpmgyxEp22kxEprmmG21273.6 功能原理、机械能守恒定律功能原理、机械能守恒定律一一.功能原理：功能原理：质点系的动能定理：质点系的动能定理：W外外+W内内=EkB-EkA因为因为 ：W内内=W保内保内W非保内非保内所以所以 ：W外外+W保内保内W非保内非保内=EkB-EkA又因为又因为：W保内保内EPAEPB 所以：所以：W外外+W非保内非保内=EKB-EKA+EPB-EPA即：即：W外外+W非保内非保内=EKB+EPB(EKA+EPA）28二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律W外外0W非保内非保内0则则EB EA常量常量如果如果 在只有保守内力做功的情况下，质点系的机在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变械能保持不变 质点系在运动过程中，它所受质点系在运动过程中，它所受合合外力的功与系统内非外力的功与系统内非保守力的功的总和等于它的机械能的增量。称功能原理。保守力的功的总和等于它的机械能的增量。称功能原理。定义系统的机械能定义系统的机械能 E=EK+EP所以：所以：W外外 W非保内非保内EB-EA即：即：W外外+W非保内非保内=EKB+EPB-(EKA+EPA）29例例1、一质量为、一质量为m的质点，在的质点，在xoy平面上运动。平面上运动。j tbi tarsincos其位置矢量为：其位置矢量为：其中其中a,b,为正值常数，为正值常数，a b。(1)求质点在求质点在A(a,0)点和点和B(0,b)点时的动能。点时的动能。(2)求质点所受的作用力以及当质点从求质点所受的作用力以及当质点从A运动到运动到B的的过程中分力过程中分力Fx 、Fy所做的功。所做的功。解：解：sincos)1(j tbi tar cos sintbvtavyxtbytaxsin cos tCosbtSinamk 2222221 30A(a,0)点：cos t=1 sin t=02222212121mbmvmvEyxKAB(0,b)点：cos t=0 sin t=12222212121mamvmvEyxKBjtmbi tmajmaimaFyxsincos )2(22220202021cosmaxdxmtdxmadxFWaaaxx31220202021sinmbydymtdymbdyFWbbbyy32例例2、一链条总长为、一链条总长为l，质量为质量为m。放在桌面上并使其下。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：（，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离）链条离开桌面时的速率是多少？开桌面时的速率是多少？al-a xO解：解：(1)建坐标系如图建坐标系如图lalafdxxllmgrdfW)(注意：摩擦注意：摩擦力作负功！力作负功！lxlmgf/)(22)(2)21(allmgxlxlmgla33(2)对链条应用动能定理：对链条应用动能定理：2022121mvmvWWWfP21222)()(alallgv得20210mvWWvfPlalmgxdxlmgrdPWlalaP2)(22lalmgWf2)(2前已得出：前已得出：2222212)(2)(mvlalmglalmg343.7 完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞 物体碰撞后，若两物体的物体碰撞后，若两物体的动能之和完全没有损动能之和完全没有损失，称为完全弹性碰撞；失，称为完全弹性碰撞；例例1：设静止的宇宙尘埃的密度为：设静止的宇宙尘埃的密度为，质量为，质量为m0 的飞船已的飞船已初速度初速度v0 穿过尘埃，由于尘埃粘到飞船上，使飞船的速穿过尘埃，由于尘埃粘到飞船上，使飞船的速度改变，求飞船的速度与时间的关系。度改变，求飞船的速度与时间的关系。解：因为飞船与尘埃作完全非弹性碰撞，将飞船与尘解：因为飞船与尘埃作完全非弹性碰撞，将飞船与尘埃埃 作为一个系统。由于无外力作用，系统动量作为一个系统。由于无外力作用，系统动量守恒：守恒：若两物体碰撞后若两物体碰撞后合为一体合为一体以同样的速度运动，以同样的速度运动，称为称为 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。mvvm0035由已知条件，将上式积分：由已知条件，将上式积分：tvvdtvmSvdv0003002/10002vmtSvmv有：有：显然飞船在尘埃中飞行的时间越长，其速度就显然飞船在尘埃中飞行的时间越长，其速度就越低。这是一个变质量的例子。越低。这是一个变质量的例子。在在t t到到t+dtt+dt时间内，飞船质量的增加（即粘上的尘埃）时间内，飞船质量的增加（即粘上的尘埃）dvvvmSvdtdm200mvvm00vvmm00 即36例例2 2：两个质量分别为：两个质量分别为m m1 1 和和m m2 2，速度分别为，速度分别为V V10 10 和和V V20 20 的的弹性小球作对心弹性碰撞，求碰撞后的速度。弹性小球作对心弹性碰撞，求碰撞后的速度。解：取速度方向为解：取速度方向为X X 轴正向，由动量守恒定律：轴正向，由动量守恒定律：2211202101vmvmvmvm由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：2222112202210121212121vmvmvmvm联立两式得到：联立两式得到：21202102112mmvmvmmv21101201222mmvmvmmvm1m1m2m2371、能量守恒定律、能量守恒定律 封闭系统内有非保守力做功时，机械封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，能量的形式可能变化，也可能能不守恒，能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。在物体之间转移。一个封闭系统内经历任何变化时，该一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变。这是普系统的所有能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。遍的能量守恒定律。3.8 3.8 能量守恒定律的意义及其应用能量守恒定律的意义及其应用 封闭系统：封闭系统：不受外界作用的系统。和外界没有能量和物质的交换不受外界作用的系统。和外界没有能量和物质的交换38动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒能量守恒能量守恒特点和优点：不追究过程细特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下结论。节而能对系统的状态下结论。意义：守恒定律的发现、和应意义：守恒定律的发现、和应用能推动人们深入认识自然界。用能推动人们深入认识自然界。守恒定律守恒定律时空对称性时空对称性动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律空间平移对称性空间平移对称性空间转动对称性空间转动对称性时间平移对称性时间平移对称性2 2、守恒定律的特点、守恒定律的特点393.9 质心、质心、质心运动定律质心运动定律一、质心：质点系的质量中心一、质心：质点系的质量中心质点系质点系 N 个质点个质点质量：质量：m1 m2 m3 mi mN 位矢：位矢：r1 r2 r3 ri rN质心的位矢：质心的位矢：(m为总质量为总质量)mrmmrmriiiiiiic质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的。个质点系，质心的位置是固定的。40直角坐标系中的分量式为：直角坐标系中的分量式为：mzmmymmxmxiiiciiiciiicz y 质量连续分布时：质量连续分布时：mzdmmydmmxdmxccc/z /y /对称物体的质心就是物体的对称中心。由对称物体的质心就是物体的对称中心。由两个质点组成的质点系，常取质心处两个质点组成的质点系，常取质心处xc=0以便于分析和计算。以便于分析和计算。41例：一段均匀铁丝弯成半径为例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。此半圆形铁丝的质心。解：选如图坐标系，取长解：选如图坐标系，取长为为dl的铁丝，质量为的铁丝，质量为dm，以以表示线密度，表示线密度，dm=dl.分析得质心应在分析得质心应在y轴上。轴上。RddlRymydlyc sin注意：质心不在铁丝上。注意：质心不在铁丝上。2021sin1 RmRdRmyc RyRmc2 oddlxyc42二、质心运动定律二、质心运动定律ciiicvmPPvmvm 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。运动速度的乘积。iiiiiiccvmmdtrdmmdtrdv11mrmriiiccccamFamdtvdmdtPdF 质心运动定律：系统的总质量和质心加速度的乘质心运动定律：系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。积等于质点系所受外力的矢量和。43例题例题p1补充内容及例题：补充内容及例题：例题例题p4例题例题p5例题例题p6例题例题p2例题例题p3ZLCAICAIUPS