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2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1.若 z =1 +i ，则 z2-2 z =( )A.0 B.1 C. 2D.22.设集合 A =xx2-4 0，B=x2x +a 0，且A B =x-2x 1，则a =( )A.-4 B.-2 C.2 D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与 底面正方形的边长的比值为( )A.5 -14B.5 -12C.5 +14D.5 +124.已知 A 为抛物线 C : y2=2 px( p 0) 上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p =( )A.2 B.3 C.6 D.95. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x (单位：C) 的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ( x , y )(i =1,2,.,20) 得到下面的散点i i图：由此散点图，在 10C至 40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是( )A. y =a +bx6.函数 f ( x) =xA. y =-2x -14-2 x32xB. y =a +bxC. y =a +be的图像在点 (1, f (1)处的切线方程为( ) B. y =-2x +1C. y =2 x -3D. y =a +b ln xD. y =2 x +17.设函数 f ( x ) =cos(wx + )6在 -,的图像大致如下图，则 f ( x ) 的最小正周期为( )A.10 9B.76C.43D.328. ( x +y 2x)( x +y )5的展开式中 x3y3的系数为( )A. 5 B. 10 C. 15 D. 209.已知 a (0, p) ，且 3cos2a-8cosa=5 ，则 sina =( )A.53B.23C.13D.5910. 已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点，O 为 ABC 的外接圆，若 1O 的面积为 14 , AB =BC =AC =OO ，则球 O 的表面积为( )1A. 64 B. 48 C. 36 D. 32 11.已知 M : x2+y2-2 x -2 y -2 =0 ，直线l : 2 xy 20，P 为 l 上的动点，过点 P 作M的切线 PA, PB，切点为 A, B ，当 | PM | |AB |最小时，直线 AB 的方程为( ) A.2 x -y -1 =0B.2 x +y -1 =0C.2 x -y +1 =0D.2x +y +1 =012.若 2a+log a =42b+2log b ，则( ) 4A. a 2bB. a b2D.a 0, b 0) 的右焦点， A 为 C 的右顶点， B 为 C 上的点， a 2 b 2且 BF 垂直于x轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_.16.如图，在三棱锥 P ABC 的平面展开图中，AC =1 ，AB =AD = 3 CAE =30，则 cos FCB =_.，AB AC ，AB AD ，三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. （12 分）设 a n是公比不为 1 的等比数列， a 为 a1 2， a3的等差中项(1)求 a n的公比；(2)若 a =11，求数列 na n的前 n 项和.18. （12 分）如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， AE 为底面直径， AE =AD . ABC 是底面的内接正三角形， P 为 DO 上一点， PO =66DO .(1)证明： PA 平面 PBC ；(2)求二面角 B -PC -E 的余弦值.19. （12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.20. （12 分）已知 A, B分别为椭圆 E :xa22+y2=1(a1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB =8，P为直线 x =6 上的动点， PA 与 E 的另一交点为 C ， PB 与 E 的另一交点为 D . (1)求 E 的方程；(2)证明：直线 CD 过定点.21. （12 分）已知函数 f ( x) =ex+ax2-x .(1)当 a =1 时，讨论f (x)的单调性；(2)当 x 0 时， f (x)12x3+1，求a的取值范围.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第1 k 一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOyx=cosk t ,中，曲线 C 的参数方程为 y=sin t(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为24rcosq-16rsinq+3 =0.(1)当 k =1 时， C 是什么曲线？1(2)当 k =4 时，求 C 与 C 的公共点的直角坐标.1 223选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f ( x) =|3 x +1| -2| x -1|.(1)画出y = f ( x)的图像；(2)求不等式f ( x ) f ( x +1)的解集. a 2 2 2 A 参考答案1.答案：D解析：通解z =1 +i，z2-2 z =(1+i)2-2(1+i) = 2i -2i -2 = -2 =2 .故选 D.光速解z =1 +i，z 2 -2 z = z z -2 = 2 -1+i = 2 2 =2 .故选 D.2.答案：B解析：解法一 易知 A = x | -2 x 2 , B =x| x - ，因为 A B = x | -2 x 1 ，所以 2 -a2=1 ，解得 a =-2.故选 B.解法二 由题意得 A =x| -2 x 2.若a =-4，则 B =x| x 2，又 A =x| -2 x 2，所以 A B =x|-2x 2，不满足题意，排除 A；若 a =-2，则 B =x|x 1，又A =x|-2x 2，所以 A B =x|-2x 1，满足题意；若 a =2 ，则 B =x|x -1，又 A =x| -2 x 2，所以 A B =x| -2 x -1，不满足题意，排除 C；若 a =4 ，则B =x|x -2，又A =x|-2x 2，所以 A B =x|x =-2，不满足题意.故选 B. 3.答案：C解析：设正四棱锥的高为 h ，底面正方形的边长为 2 a ，斜高为 m ，依题意得h2=122 a m ，即 h2=am ，易知 h2+a2=m2，由得 m =1 + 52a ，所以1 + 5am 1 + 5= = .故选 C. 2 a 2 a 44.答案：C解析：通解 因为点 A 到 y 轴的距离为 9，所以可设点 A (9,yA)，所以 y2A=18 p .又点A 到p p p 焦点 ,0 的距离为 12，所以 9 - +y 2 =12 ，所以 9 - +18 p =12 2 ，即 2 2 2 p2+36 p -252 =0 ，解得 p =-42 (舍去)或 p =6 .故选 C.光速解 根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x =-py 轴的距离为 9，所以 =12 -9 ，解得 p =6 .故选 C.25.答案：Dp2的距离为 12，因为点 A 到 4 4 3 +9 k 4 4 3 1 解析：根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，由图并结合选项可排除 A， B，C，故选 D.6.答案：B解析：通解f ( x) =x4-2 x3， f ( x) =4 x3-6 x2， f (1) =-2，又 f (1) =1 -2 =-1， 所求的切线方程为 y +1 =-2(x -1) ，即 y =-2x +1 .故选 B.优解f ( x) =x4-2 x3， f ( x) =4 x3-6 x2， f (1) =-2， 切线的斜率为 2，排除 C，D.又 f (1) =1 -2 =-1， 切线过点 (1，-1)，排除 A.故选 B.7.答案：C解析：通解 由题图知， f - =0 ，- w + = +k ( k Z) ，解得 w =- 9 9 6 2 4( k Z ).设 f ( x) 的最小正周期为 T ，易知 T 2 2T ， |2 42 w| | w|，1 |w|2 ，当且仅当k =-1时，符合题意，此时 w =3 2 4，T = = .故选 C. 2 w 3秒解 由题图知，f - =0 且 f ( -) 0 ，- w+ =- (w 0) ，解得 w = ， 9 9 6 2 2 f ( x ) 的最小正周期 T =2 w=4 3.故选 C.8.答案：C解析：因为 ( x +y )5 的展开式的第 r +1 项 T =C r x 5 -rr +1 5yr y 2 ，所以 x + ( x +y ) x5的展开式中x3y3的系数为 C35+C15=15 .故选 C.9.答案：A解析：3cos2a-8cosa=5 ，3 (2cos2a-1)-8cosa=5 ， 6cos 2a-8cosa-8 =0 ， 3cos2a-4cosa-4 =0 ，解得 cos2a =2 (舍去)或 cos a =- . a(0, ) ，3 sin a = 1 -cos 2a =53.故选 A.10.答案：A解析：如图所示，设球 O 的半径为 R ， O 的半径为 r ，因为 O 的面积为 4 ，所以1 14 = r2AB，解得 r =2 ，又 AB =BC =AC =OO ，所以 =2 r ，解得 AB =2 3 ，故sin 60 2 2 OO =2 3 ，所以 R 2 =OO 2 +r 2 =(2 3) 2 +2 2 =16 ，所以球 O 的表面积 S =4 R 2 =64 .故 1 1选 A.11.答案：D解析：通解 由 M : x2+y2-2 x -2 y -2 =0 ，得 M : ( x -1)2+( y -1)2=4 ，所以圆心1M (11)， .如图，连接 AM ，BM ，易知四边形 PAMB 的面积为 | PM | |AB |2，欲使| PM | |AB |最小，只需四边形 PAMB 的面积最小，即只需 PAM 的面积最小.因为 | AM |=2 ，所以只需| PA | 最小.又 | PA |= | PM |2-| AM |2= | PM |2-4 ，所以只需直线 2 x +y +2 =0 上的动点P 到 M 的距离最小，其最小值为| 2 +1 +2 | 5= 5 ，此时 PM l，易求出直线 PM 的方程2x +y +2 =0， x =-1，为 x -2 y +1 =0 .由 得 所以 P (-1，0).易知 P，A，M，B 四点共圆，所以x -2 y +1 =0， y =0，以 PM 为直径的圆的方程为 x2 1 5 +y- = ，即 x 2 2 2+y2-y -1 =0 ，由得，直线AB 的方程为 2x +y +1 =0 ，故选 D.优解 因为 M : ( x -1)2+( y -1)2=4 ，所以圆心 M (11)， .1 a b 2 b2 bx x 2 x +y -2 =0连接 AM，BM ，易知四边形 PAMB 的面积为 | PM | |AB |2，欲使 | PM | |AB | 最小，只需四边形 PAMB 的面积最小，即只需 PAM 的面积最小.因为 | AM |=2 ，所以只需 | PA | 最小.又 | PA |= | PM |2-| AM |2= | PM |2-4 ，所以只需 | PM | 最小，此时 PM l .因为 PM AB ，所以 l AB ，所以 k=-2，排除 A，C. AB2x +y +2 =0， x =-1，易求出直线 PM 的方程为 x -2 y +1 =0 ，由 得 所以 P ( -1，0).因为点x -2 y +1 =0， y =0，M 到直线 x =-1的距离为 2，所以直线 x =-1过点 P 且与 M 相切，所以 A( -11)，.因为点 A( -11)，在直线 AB 上，故排除 B.故选 D.12.答案：B解析：解法一 令 f ( x) =2x+log x ，因为 y =2 2x在 (0，+)上单调递增， y =log x 在 (0，+)2上单调递增，所以 f ( x) =2x+log x 在 (0，+)上单调递增.又 22 +log a =4 +2log b =2 +log b 2 +log (2b) ，所以 f (a ) f (2 b ) ，所以 a 2b .故选2 4 2 2B.解法二 （取特值法）由 2a+log a =42b+2log b =44b+log b ，取 b =1 ，得 2 2a+log a =4 ， 2令 f ( x ) =2x+log x -4 ，则 f ( x) 在 (0，+)上单调递增，且 f (1) 0 ，所以 2f (1) f (2) 0 ， f ( x) =2 +log x -4 在 (0，+)上存在唯一的零点，所以1 a 2b =2 ，a b2都不成立，排除 A，D；取b =2 ，得 2a+log a =17 ，令 g ( x ) =2 2x+log x -17 ， 2则 g ( x ) 在 (0，+)上单调递增，且 g (3) 0 ，所以 g (3)g (4) 0 ，g ( x ) =2 +log x -17 在 (0，+)上存在唯一的零点，所以3 a b 2 =4 不成立，排2除 C.故选 B.13.答案：1解析：通解 作出可行域，如图中阴影部分所示，由x -y -1 =0， 得 x =1，故 A(1，0) .作出 y =0，直线 x +7 y =0 ，数形结合可知，当直线 z =x +7 y 过点 A 时， z =x +7 y 取得最大值，为 1. 3 1 优解 作出可行域，如图中阴影部分所示，易得A(1，0) ，B (0，-1) ，C ，-1 ，当直线 z =x +7 y2 过点 A 时， z =1 ；当直线 z =x +7 y 过点 B 时， z =-7；当直线 z =x +7 y 过点 C 时，z =3 11-7 =- .所以 z =x +7 y 的最大值为 1. 2 214.答案： 3解析：解法一a，b 为单位向量，且 | a +b |=1，( a +b ) 2 =1 ，1 +1 +2a b=1 ，1 a b=- ，| a -b |22=a2+b2-2a b=1 +1 -2 - =3 ，| a -b |= 3 . 2 解法二 如图，设 OA =a ，OB =b ，利用平行四边形法则得 OC =a +b ， | a |=|b |=|a +b |=1 ， OAC 为正三角形，| BA |=|a -b |=2 32| a |= 3 .B a n n 15.答案：2解析：设 B (c,yB)，因为 B 为双曲线 C :x 2 y 2 c 2 y 2 b 4 - =1 上的点，所以 - B =1 ，所以 y 2 = .a 2 b 2 a 2 b 2 a2因为 AB 的斜率为 3，所以 y =B2bb 2， =3 ，所以 b 2 =3ac -3a2 ，所以 c 2 -a 2 =3ac -3a a c -a2，所以 c2-3ac +2 a2=0 ，解得 c =a (舍去)或 c =2 a ，所以 C 的离心率 e =ca=2 .16.答案： -14解析：依题意得， AE =AD = 3 ，在 AEC 中， AC =1 ， CAE =30，由余弦定理得EC2=AE2+AC2-2 AE AC cos EAC =3 +1 -2 3 cos30 =1，所以 EC =1 ，所以CF =EC =1 .又 BC = AC2+AB2= 1 +3 =2 ，BF =BD = AD2+AB2= 6 ，所以在 BCFBC 2 +CF 2 -BF 2 2 2 +12 -( 6) 2 1中，由余弦定理得 cos FCB = = =- .2 BC CF 2 2 1 41 (3n +1)(-2)17.答案：(1) q =-2；(2) S = -9 9n.解析：(1)设an的公比为 q ，由题设得 2 a =a +a ，即 2 a =a q +a q1 2 3 1 1 12.所以 q2+q -2 =0 ，解得 q =1 (舍去)， q =-2.故 a的公比为 -2. n(2)记 S 为nna 的前 n 项和.由(1)及题设可得， a =( -2) n -1.所以 n nS =1 +2 ( -2) + +n ( -2) nn -1，-2S =-2+2 (-2) n2+( n -1) (-2)n -1+n ( -2)n.可得 3S =1 +( -2) +( -2) 2 + n+( -2) n -1 -n ( -2)n=1 -( -2) 3n-n ( -2) n .1 (3n +1)(-2) 所以 S = -9 9n. 2 2 2 2 2 2 3 1 3 18.答案：(1)见解析；(2)2 55.解析：(1)设 DO =a ，由题设可得 PO =6 3a, AO = a, AB =a ， 6 3PA =PB =PC =22a .因此 PA2 +PB 2 =AB 2 ，从而 PA PB .又 PA2+PC2=AC2，故 PA PC .所以 PA 平面 PBC .(2)以 O 为坐标原点， OE 的方向为 y 轴正方向， OE 为单位长，建立如图所示的空间直 角坐标系 O -xyz . 3 1 2 由题设可得 E (0,1,0), A(0, -1,0), C - , ,0 ,P 0,0, . 3 1 2 所以 EC =- , - ,0 ,EP =0,-1, 设 m =( x, y , z ) 是平面 PCE 的法向量，则.m EP =0, m EC =0,即 2-y+ z =0, 2- x - y =0. 2 2 3 可取 m =- ,1, 2 . 2 2 由(1)知 AP =0,1, 是平面 PCB 的一个法向量，记 n =AP ，n m 2 5则 cos n, m = .| n | |m | 5所以二面角 B -PC -E 的余弦值为1 3 719.答案：(1)；(2) ；(3) . 16 4 162 55.解析：(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为乙连胜四场的概率为116116；1丙上场后连胜三场的概率为 .8所以需要进行第五场比赛的概率为1 -1 1 1 3- - = .16 16 8 4(3)丙最终获胜，有两种情况：1比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ；8比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为1 1 1 1 7因此丙最终获胜的概率为 + + + = .8 16 8 8 161 1 1, ,16 8 8.20.答案：(1)x 29+y 2 =1 ；(2)见解析.解析：(1)由题设得 A( -a,0), B( a ,0), G (0,1) .则 AG =( a,1) ,GB =( a ,-1) .由 AG GB =8 得 a2-1 =8 ，即 a =3 .所以 E 的方程为x 29+y2=1 .(2)设 C (x, y ),D(x, y ),P(6, t ) .1 1 2 2若 t 0 ，设直线 CD 的方程为 x =my +n ，由题意可知 -3 n 3 .1 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 3 3 3 1 1 t t由于直线 PA 的方程为 y = ( x +3) ，所以 y =9 9(x +31).t t直线 PB 的方程为 y = ( x -3) ，所以 y = x -3 .3 3可得 3 y (x -3 )=y(x+3).1 2 2 1由于x229+y22(x +3 )(x-3=1 ，故 y 2 =- 2 29)，可得 27 y y =-(x+3)(x+3)，即1 2 1 2(27+m2)yy +m(n +3) (y+y )+(n+3)21 2 1 2=0 .将 x =my +n 代入x 29+y2=1 得(m2+9 )y2+2mny +n 2 -9 =0 .2mn n 2 -9所以 y +y =- , y y = m 2 +9 m2 +9.代入式得 (27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2 (m2+9)=0.3解得 n =-3(舍去)， n = .2故直线 CD 的方程为 x =my +32，即直线 CD 过定点 ,0 .2 若 t =0 ，则直线 CD 的方程为 y =0 ，过点 ,0 .2 综上，直线 CD 过定点 ,0 .2 21.答案：(1)见解析；(2)7 -e42, + .解析：(1)当 a =1 时， f ( x) =ex+x2-x ， f ( x) =ex+2 x -1 .故当 x ( -,0) 时， f ( x) 0 .所以 f ( x) 在 (-,0) 上单调递减， 在 (0, +)单调递增.(2) f ( x ) 12x3+1 等价于 x23-ax2+x +1 e -x1 .设函数 g ( x ) = x 3 -ax 2 +x +1 e -x ( x 0) ，则2 1 3 g ( x) =- x3 -ax 2 +x +1 - x 2 +2 ax -1 e2 2 -x1=- x2x2 -(2 a +3) x +4 a +2 e-x1=- x ( x -2 a -1)(x -2)e 2-x. 2 ( ), ，故由 ii 可得 x4 2 2 ( ) 1 1 解 得y = .1 2 7 1(i) 若 2a +1 0 ，即 a - ，则当 x (0,2) 时， g ( x ) 0 . 所以 g ( x ) 在 (0,2) 单调递增，而2g (0) =1 ，故当 x (0,2) 时， g ( x) 1 ，不合题意.1 1(ii) 若 0 2 a +1 2 ，即 - a ，则当 x (0,2 a +1) (2, +)时， g ( x) 0 .所以 g ( x) 在 (0,2 a +1),(2, +)单调递减，在 (2 a +1,2) 单调递增.由于 g (0) =1 ，所以 g ( x) 1 当且仅当 g (2) =(7 -4 a)e -2 1 ，即 a 7 -e2 1所以当a 时， g ( x ) 1 .4 27 -e42.(iii) 若 2 a +1 2 ，即 a 12，则1 g ( x) x 3 +x +1 e2 -x.由于 0 7 -e 1 1 3+x +1 e -x1 .故当 a 127 -e2时， g x 1 .综上， a 的取值范围为 , +) .422.答案：(1)曲线C 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆；(2) , . 1 4 4 解析：(1)当 k =1 时，C :1x =cos t , y =sin t ,消去参数 t得 x2+y2=1 ，故曲线 C 是圆心为坐标原点，1半径为 1 的圆.(2)当 k =4 时， C :1x =cos 4 t , y =sin 4 t ,消去参数 t得 C 的直角坐标方程为 x + 1y =1 ，C 的直角坐标方程为 4 x -16 y +3 =0 . 2由 1x = ,x+ y =1, 4 4x-16y +3 =0 1 41 1故 C 与 C 的公共点的直角坐标为 ( ， )4 423.答案：(1)见解析；(2) -,- . 6 解析：(1)由题设知. 7 11 7 6 1-x -3 ，( x - ),3 1f ( x) =5x -1，(- 1).y = f ( x ) 的图像如图所示.(2) 函数 y = f ( x) 的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数 y = f ( x +1) 的图像.y = f ( x ) 的图像与 y = f ( x +1) 的图像的交点坐标为 - , - . 6 6 由图像可知当且仅当 x f(x+1)的解集为-,-.
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