2021届浙江省嘉兴市高三上学期期末数学试题

嘉兴市 2020 2021 学年第一学期期末检测高三数学满分 150 分，时间 120 分钟.一 选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 已知集合A = x | y =lg( x -1) ， B = x | -1x 3，则 AB =（ ）A.C.x | -1x 3x | 2 x 3B.D.x |1 x 3x |1 x 0”是“x 0”的（ ）A. 充分而不必要条件 C. 充要条件B. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数f (x)=x-1xcos x（-pxp且x 0）的图象可能为（ ）A. B. C.D.5. 设 l , m 是两条不同的直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若l / /a， m a ，则l / m第页1 x , y B. 若l / /a，m / /a，则l / mC. 若l m， m a ，则l aD. 若l a，l / m ，则 m a6. 已知实数 满足条件 2 x -y 0x +2 y 0 ，则 z =2 x +y的最大值是（ ）3 x +y 5A. 0B.3C.4D.57. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）A.C. +4 +2B.D.22+4+28.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）A.576B.432C.388D. 216x 2 y 29. 已知双曲线 - =1( a 0, b 0)a 2 b 2的左右焦点分别为F , F1 2，O为坐标原点，点 P 是其右支上第一象限内的一点，直线PO , PF2分别交该双曲线左右支于另两点 A, B ，若 |PF =2|PF1 2，且AF B =60 2，则该双曲线的离心率是（ ）第页2A.3B.2C.2 33D.5210. 对任意 x 0 ，若不等式e xx+a ln x +e2 ax恒成立(e为自然对数 底数)，则正实数 a 的取值范围是（ ）的A.(0,eB.(0,e 2 C.2 ,eeD.2 ,e 2e二 填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.11. 已知复数z =21 +i（其中 i虚数单位），则z =_； z =_.12. 已知抛物线y2=mx ( m 0)的焦点为 F ，准线方程为x =-2，点P ( x , 4)0是抛物线上的一点，则实数 m =_，| PF |=_.13. 已 ABC 中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c ， c =4 ， A =， ABC 的面积为 3 ，则 3b =_； cos C _.14. 已知(1 +mx )(1 +x ) 5 =a +a x +a x 2 +ax0 1 2 66.若a =5 ，则 m =_； 2a +a +a = 1 3 5_.15. 已知平面向量 a 与 b夹角为120，b 在 a 上的投影是 -1，且满足 (2 a +b ) ( a -3b )，则| a +2b |=_.16. 甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为34，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元，设甲所获的奖金总额为 X 元，则甲所获奖金总额的方差D( X ) =_.17. 如图，在多面体 ABC -DEF 中，已知棱 AE , BD , CF两两平行， AE 底面 DEF ， DE DF ，四边形ACFE为矩形，AE =DE =DF =2 BD =3，底 DEF 内(包括边界)动点 P 满足 AP , BP 与底第页3n nn n 面 DEF 所成的角相等.记直线CP与底面 DEF 的所成角为q，则tanq的取值范围是_.三解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.18. ABC中，角A, B , C所对的边分别为a, b, c，已知函数f ( x ) =2cos x sin( x -p3)( x R).（1）求f (5p12)的值；（2）求函数y = f ( x)的单调递增区间.19. 如图，四棱锥P -ABCD中 PAD为正三角形，AB / / CD ， AD =DC =12AB =2， BC =2 3 ，PC =3.（1）求证：AD PC；（2）求 AB与平面 PAD所成角的正弦值.20. 已知数列a n满足a =132，a = 2 -na1n -1， n 2， n N*1（1）证明：数列 为等差数列，并求数列a 的通项公式；a -1 nna 3（2）若 c = n ，记数列 c 的前 n 项和为 T ，求证： T 1 n 2n 4.21. 已知中心在坐标原点的椭圆C，其焦点分别为F ( -1,0) ， F (1,0) ，点 P ( - 1 22 2 6, ) 为椭圆 3 3C上一点.第页4 （1）求椭圆C的方程；（2）过点Q (6, -4) 的直线 l 与 x 轴交于点1T (t , 0) ，由点 T (t , 0)引另一直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点.是否存2在实数t，使得直线QA, QT , QB的斜率成等差数列，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.22. 已知函数f ( x) =( m +1)ln x，g ( x) =mx 2 +x，m R.（1）当 m =0 时，曲线f(x)=f(x)+ag (x)-1(aR)在 x =2 处的切线与直线x +2 y -1 =0平行，求函数y =f( x )在e,e 2 上的最大值(e为自然对数的底数)；（2）当 m =1时，已知 0 a a -b g ( a ) +g (b ) -a -b.第页5 嘉兴市 2020 2021 学年第一学期期末检测高三数学满分 150 分，时间 120 分钟.一 选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 已知集合A = x | y =lg( x -1) ， B = x | -1x 3，则 AB =（ ）A.C.x | -1x 3x | 2 x 3B.D.x |1 x 3x |1 x 0”是“ x 0 ” （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件的C. 充要条件【答案】BD. 既不充分也不必要条件4. 函数f (x)=x-1xcos x（-pxp且 x 0 ）的图象可能为（ ）A. B.C. D.第页6 x , y 【答案】D5. 设 l , m 是两条不同的直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若l / /a， m a ，则l / mB. 若l / /a ， m / /a ，则 l / mC. 若l m，m a，则l aD. 若l a，l / m，则m a【答案】D6. 已知实数 满足条件 2 x -y 0x +2 y 0 ，则 z =2 x +y的最大值是（ ）3 x +y 5A. 0B.3C. 4D.5【答案】C7. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）A.C. +4 +2B.D.22+4+2【答案】Ax 2 y 29. 已知双曲线 - =1( a 0, b 0)a 2 b 2的左 右焦点分别为F , F1 2，O为坐标原点，点 P 是其右支上第一第页7象限内的一点，直线PO , PF2分别交该双曲线左 右支于另两点 A, B ，若 |PF =2|PF1 2，且AF B =60 2，则该双曲线的离心率是（ ）A.3B.2C.2 33D.52【答案】A10. 对任意x 0，若不等式e xx+a ln x +e2 ax恒成立(e为自然对数的底数)，则正实数 a 的取值范围是（ ）A.(0,eB.(0,e2C.2 ,eeD.2 ,e 2e【答案】B二 填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.11. 已知复数z =21 +i（其中 i为虚数单位），则z =_； z =_.【答案】(1).1 +i(2).212. 已知抛物线y 2 =mx ( m 0)的焦点为 F ，准线方程为x =-2，点P ( x , 4)0是抛物线上的一点，则实数 m =_，| PF |=_.【答案】(1). 8 (2). 413. 已 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，c =4， A =， 3ABC的面积为 3 ，则b =_； cos C _.【答案】(1). 1 (2). -131315. 已知平面向量 a 与 b 的夹角为120，b 在 a 上的投影是 -1第页8，且满足 (2 a +b ) ( a -3b )，则10 2| a +2b |=_.【答案】7216. 甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为34，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元，设甲所获的奖金总额为 X 元，则甲所获奖金总额的方差 【答案】60D( X ) =_.17. 如图，在多面体ABC -DEF中，已知棱AE , BD , CF两两平行， AE 底面 DEF ，DE DF，四边形ACFE为矩形，AE =DE =DF =2 BD =3，底 DEF 内(包括边界)的动点 P 满足 AP, BP 与底面 DEF 所成的角相等.记直线CP与底面 DEF 的所成角为q，则tanq的取值范围是_.3 10 3 + 3 【答案】 , 三解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.18. ABC 中，角A, B , C所对的边分别为a, b, c，已知函数f ( x ) =2cos x sin( x -p3)( x R).（1）求f (5p12)的值；（2）求函数y = f ( x)的单调递增区间.【答案】（1）2 - 32；（2）k 5p p- , k p+12 12,( k Z).19. 如图，四棱锥P -ABCD中 PAD为正三角形，AB / / CD，AD =DC =12AB =2， BC =2 3 ，PC =3.第页9( )2cos BAC =（1）求证： AD PC ；所成角的正弦值.（2）求 AB 与平面 PAD3【答案】（1）证明见解析；（2）.4（1）取 AD 中点 O ，连结 OP , OC , AC .因为 AD =DC =42 +AC 2 - 2 3由平几及解三角形知识得2 4 AC1AB =2 ， BC =2 3 ， 2AC 2 +2 2 -2=cos ACD =2 2 AC2，解得AC =2，所以ADC =60，因此 ADC 为正三角形，故 AD OC ，又因 PAD也是正三角形，因此 AD OP ，又 OC OP =O，所以 AD 平面 POC ，而 PC 平面 POC ，所以 AD PC .（2）方法一：因为AB / / CD，所以 AB 与平面 PAD所成角即CD与平面 PAD所成角，记作q.由（1）得 AD 平面POC，又 AD 平面 PAD，所以平面 PAD 平面POC，平面PAD平面 POC =PO ，故过点 C 作 CH 平面 PAD ，则垂足 H 必在直线 PO 上，此时q=CDH，在 PAD中， PO =32AD = 3 ，而 OC = 3 ，PC =3，所以 POC 中，由余弦定理可得POC =120，所以 CH =OC sin 60=32，又 CD =2 ，所以sin q =sin CDH =CH 3=CD 4，所以 AB与平面 PAD3所成角的正弦值为 .4第页10 q n n n 1 n 方法二：由（1）知 AD 平面POC，又 AD 平面ABCD，所以平面 POC 平面ABCD，平面POC平面 ABCD =OC .故过点 O 作直线 Oz OC ，则 Oz 平面 ABCD ，又 AD CO，故可如图建立空间直角坐标系.又OD =1， OC =3 ， OP = 3 ，POC =120，可求得各点坐标： O (0,0,0) ， D (1,0,0) ， C (0, 3,0)， P (0, -3 3, ) ，2 2设平面 PAD的一个法向量为 n =( x , y, z ) ，则 n OD =0 n OP =0，即 ( x, y, z ) (1,0,0) =03 3( x, y, z ) (0, - , ) =02 2，x =0故 3 3 - y + z =0 2 2，令 z =1 ，故 n =(0, 3,1) ，又 CD =(1,- 3,0)，记CD与平面 PAD所成角为 ，则 sinq= cos n, CD =n CD |n|CD|=-32 23= .4又因为AB / / CD ，故 AB 与平面 PAD 所成角的正弦值为34.20. 已知数列a n满足a =132，a = 2 -na1n -1， n 2， n N*.（1）证明：数列 a（2）若 c = n n 2n1为等差数列，并求数列a 的通项公式； a -1 nn3，记数列 c 的前 n 项和为 T ，求证： T 1n 4 n.【答案】（1）证明见解析，a =nn +2n +1；（2）证明见解析.3 1 （1）当 a = 时，因为 a = 2 - ，2 an -11 a -1a -1 =1 - = n -1a a n -1 n -1，所以1 1 a 1 a -1 - = n -1 - = n -1 =1a -1 a -1 a -1 a -1 a -1 n n -1 n -1 n -1 n -1，第页111 2 所以数列1 a -1n1为首项为 ，公差为 1 的等差数列. a -1又a =1321， =2 ，所以 a -111a -1n=n +1，解得a =nn +2n +1.（2）因为a =nn +2n +1，所以c =nn +2 1 1 = -n (n +1) 2n n 2n-1 ( n +1) 2n.所以T =c +c +c+c n 1 2 n -1 n=1 -1 1 1 1 1 1 + - + - =1 -2 21 2 21 3 22 n 2n-1 ( n +1) 2n ( n +1) 2n，即T =1 -n1 ( n +1) 2n，显然 T 0，故数列T n是递增数列，所以T T =n 13 3，因此，4 4T b 0) ，由题意可求得 PF = ， PF =a 2 b2 3 3由椭圆定义可知2 a =|PF | +| PF |=41 2，所以a =2，而c =1，故 b2=a2-c2=3故所求椭圆C的方程为x 2 y 2+ =14 3（2）假设存在实数 t ，使得直线QA, QT , QB的斜率成等差数列，即满足k +k =2 k QA QB QT当直线l2的斜率为零时，此时直线l2与椭圆C的交点是椭圆C长轴的端点不妨设A(-2, 0)，B (2,0)，此时k =-QA1 4 ， k =-1， k =2 t -6由于k +kQA QB=2 kQT，故1 4 2 - -1 =2 ，解得 t =2 t -6 3当直线l2斜率不为零时，可设直线l2的方程为x =ny +tA(ny +t , y ) ， B ( ny +t , y ) 1 1 2 2x2 y 2 + =1，联立方程组 4 3x =ny +t整理得(3n2 +4) y 2 +6 nty +3t 2-12 =0D=(6 nt ) 2 -4(3n 2 +4)(3t 2 -12) 0 t 2 3n 2 +4 -6nty +y = 3n2 +4 ，故 3t 2 -12 y y =1 2 3n2 +4(*)而kQAy +4 y +4= 1 ， k = ， ny +t -6 ny +t -61 2k =QT4t -6，又k +k =2 k QA QB QT故y +4 y +4 8 1 + 2 =ny +t -6 ny +t -6 t -6 1 2整理得(2 nt -12 n -8n 2 ) y y +(t -6)( t -6 -4 n )( y +y ) =01 2 1 2将(*)代入上式可得，整理得n (t -6 -4 n)(6t -4) =0，对于任意 该等式恒成立第页132 4 4 2 故6t -4 =0 ，解得 t =23综合，可知存在实数t =23，使得直线QA, QT , QB的斜率成等差数列22. 已知函数f ( x) =( m +1)ln x，g ( x) =mx2+x，m R.（1）当 m =0时，曲线f(x)=f(x)+ag (x)-1(aR)在x =2处的切线与直线x +2 y -1 =0平行，求函数y =f(x)在 e,e 上的最大值( e 为自然对数的底数)；（2）当 m =1时，已知 0 a a -b g ( a ) +g (b ) -a -b.【答案】（1）4e2+1；（2）证明见解析.（1）当 m =0时，f(x ) =ln x +ax-1，因此f1 a ( x) = -x x 2，而曲线y =f(x)在x =2处的切线与直线x +2 y -1 =0平行，故f(2) =1 a 1- =- ，解得 a =4 . 2 4 2所以f(x ) =ln x +4x-1，f( x) =x -4x 2，故当x e,4)时，f( x ) 0 ，即函数 y =f(x) 在 (4,e2上递增，所以f(x)max=max f(e),f(e2)，而f(e)=， f(e2)=+1 e e 2，故 f(e2)-f(e)=(e -2)e 220，即f(e2)f(e)，所以函数y =f(x)在 e,e 上的最大值为4e2+1.（2）当 m =1时，f ( x) =2ln x，g ( x ) =x 2 +x，由于 0 a a -b g ( a ) +g (b ) -a -b成立.证明ln b -ln a 2ab -a a 2 +b2成立证明ln b -ln a 2a(b -a ) a 2 +b 2成立，第页14a ( ) +12b2( -1)b b 证明 ln 成立.令 x = ，因为 0 a 1 ， a b aa即只需证明ln x 2( x -1)x 2 +1( x 1)成立 证明 ( x 2 +1)ln x -2 x +2 0( x 1)即可，下面证明该不等式成立.设F ( x ) =( x2+1)ln x -2 x +2( x 1)，求得F( x) =2 x ln x +x +1x-2，因为 x 1，所以 x +1 1 2 x =2x x，所以当 x 1 时， F ( x) 2 x ln x +2 -2 =2 x ln x 0，因此函数y =F ( x )是(1,+)上的增函数，故F ( x ) F (1) =0，这就证明了当 x 1时，( x 2 +1)ln x -2 x +2 0恒成立，故原命题成立.第页15