2021年广东省清远市中考数学一模试卷

7 37 135 1 2021 年广东省清远市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1.下列各式中，正确的个数是( )8 = 4 1 = 329 4的平方根是3 (5) 2 的算术平方根是5 是1 的平方根6 36A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2. 2018 年 12 月 18 日中国球员周琦被休斯顿火箭队正式裁员，当日在各大搜索引擎中输入“周琦”， 能搜索到与之相关的网页约 84000000 个，将这个数用科学记数法表示为( )A.8.4 10B. 8.4 106C. 8.4 107D. 8.4 1083.四张完全相同的卡片上，分别画有圆、正方形、等边三角形和线段，现从中随机抽取两张，卡 片上画的恰好都是中心对称图形的概率为( )A.1B.34C.12D.144.计算(𝑎𝑏 3 ) 2的结果是( )A.2𝑎𝑏3B.𝑎𝑏6C.𝑎2𝑏5D.𝑎2𝑏65.若|3𝑥 + 𝑦 5| + (𝑥 2)2= 0，则𝑥2 𝑥𝑦 的值是( )A.2B.2C.6D.66.如图中的平面展开图与标注的立体图形不相符的是( )A.长方体B.正方体C.圆柱体D.三棱锥7.如图所示，点 A，B，C 在圆 O 上，若𝐴𝑂𝐵 = 64，则𝐶 的度数是( )A.B.C.D.643032348.估计8 的运算结果应在( ) 4A.1 到 2 之间B.2 到 3 之间C.3 到 4 之间D.4 到 5 之间= + 𝑥+12 9.若𝑎2+ (𝑘 1)𝑎 + 9是一个完全平方式，则 k 等于( )A.7B.7 或5C.7D.510. 已知二次函数𝑦 = 𝑥 ( )2 4𝑥 + 2，关于该函数在3 𝑥 1的取值范围内，下列说法正确的是A.C.有最大值 6，有最小值3有最大值 6，有最小值 5B.D.有最大值 5，有最小值3有最大值 6，有最小值1二、填空题（本大题共 7 小题，共 28.0 分）11. 已知𝑥3𝑥1 𝐴 𝐵 2 3𝑥+2 𝑥1 2𝑥，则𝐴 =_，𝐵 =_12. 将抛物线𝑦 = 2(𝑥 + 1) 2 + 1绕其顶点旋转180后得到抛物线的解析式为_ ；将抛物线𝑦 = 2(𝑥 + 1)2+ 1绕原点旋转180后得到抛物线的解析式为_ 13. 如图，以平行四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形 EFGH，当𝐴𝐷𝐶 = 𝛼(0 𝛼 7 3(𝑥 4) 2𝑥6319. 为更好地开展体育运动，增加学生体质，学校准备在运动会前购买一批运动鞋，供学生借用七(2)班为配合学校工作，从全校各个年级共随机抽查了 38 名同学的鞋号，具体数据如下：35 37 36 35 37 36 37 3836 37 37 35 35 34 34 3535 36 37 36 38 39 37 3536 35 36 37 33 34 40 3635 34 35 36 37 36整理上面的数据，看看穿不同鞋号的同学各有多少，他们各占调查总人数的百分之几，请你对学校 购鞋提出建议20. 作图题：国庆节期间小红外出游玩时看到了映山红拼成的“70”字样，还有两个花坛𝑀. 𝑁 ，请帮小红找一处最佳观赏位置 P，满足观赏点 P 到“7”字样的两边距离都相等，并且到两个花坛 M，N 的距离也都相等(尺规作图，保留作图痕迹并写出结论)结论为：_21. 如图，一次函数𝑦 = 𝑘 𝑥 𝑏 的图象与反比例函数𝑦 = 2的图象1 1 2相交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，点 B 的 坐标是(𝑚, 4)，连接 AO，𝐴𝑂 = 5，sin𝐴𝑂𝐶 = 5(1)求反比例函数的解析式；(2)连接 OB， 𝐴𝑂𝐵 的面积；(3)请直接写出当𝑥 𝑚 时，𝑦2的取值范围1 1 2 1 𝐷𝑁22. 某公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的 日销售量𝑚( 件)与时间𝑡( 天)的关系如下表：时间𝑡/ 天日销售量𝑚/ 件19439068410763624未来 40 天内，前 20 天每天的价格𝑦 (元/件)与时间𝑡( 天)的函数关系式为𝑦= 0.25𝑡 + 25(1 𝑡 20且 t为整数)，后 20 天每天的价格𝑦2(元/件)与时间𝑡( 天)的函数关系式𝑦= 0.5 +40(21 𝑡 40且 t为整数)下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足 这些数据的𝑚(件)与𝑡( 天)之间的关系式；(2)请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前 20 天中，该公司决定每销售一件商品，就捐赠 a 元利润(𝑎 4)给希望工程公司通过销售记录发现，前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间𝑡( 天)的增大而增大，请 直接写出 a 的取值范围23. 如图，将𝐴𝐵 = 10𝑐𝑚，𝐴𝐷 = 8𝑐𝑚 的长方形纸片 ABCD 沿过顶点 A的直线 AP 为折痕折叠时，点 B 与边 CD 上的点 Q 重合，试分别求出 DQ，PQ 的长24. 如图，在𝑅𝑡 𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵𝐶 = 90，AB 是 𝑂 的直径， 𝑂 交 AC 于点 D，过点 D 的直线 交 BC 于点 E，交 AB 的延长线于点 P，𝐴 = 𝑃𝐷𝐵 (1)求证：PD 是 𝑂 的切线；(2)若𝐴𝐵 = 4，𝐷𝐴 = 𝐷𝑃 ，试求弧 BD 的长；(3)如图，点 M 是𝐴𝐵 的中点，连结 DM，交 AB 于点𝑁. 若𝑡𝑎𝑛𝐴 = ，求 的值2 𝑀𝑁1 25. 如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是(5,4)， 𝑀 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴相交于 A，B 两点(1)则点 A，B，C 的坐标分别是𝐴( _ ，_ )，𝐵( _ ，_ )，𝐶( _ ，_ )；(2)设经过 A，B 两点的抛物线解析式为𝑦 = (𝑥 5)42+ 𝑘，它的顶点为 E，求证：直线 EA 与 𝑀 相切；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方， 𝑃𝐵𝐶 是等腰三角形？如果存在， 请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由7 4( )= = 17 49 13 7 132 𝑛【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了算术平方根、平方根解题的关键是掌握算术平方根、平方根的定义，注意算术平方根、 平方根的区别和联系根据算术平方根以及平方根的定义即可作出判断解：42= 16，故原式错误；1 = ，故原式错误；9 3 32 = 9，负数没有平方根，故原式错误；(5)2 = 5，5 的算术平方根是5，故原式错误；，所以 是1 的平方根，故原式正确6 36 36 6 36故选：A2.答案：C解析：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为𝑎 10𝑛的形式，其中1 |𝑎| 10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值科学记数法的表示形式为𝑎 10 的形式，其中1 |𝑎| 1时，n 是 正数；当原数的绝对值 1时，n 是负数解：84000000 个，将这个数用科学记数法表示为8.4 10 故选：C3.答案：C解析：解：列表如下：123741-(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)-(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)-(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)-6 12 6 其中 1 表示圆，2 表示正方形，3 表示等边三角形，4 表示线段，所有等可能情况数为 12 种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有 6 种，卡片上画的恰好都是中心对称图形的概率为 = ，12 2故选：C根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出 所求的概率此题考查了列表法与树状图法，以及中心对称图形，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况 数之比4.答案：D解析：解：原式= 𝑎 𝑏 ，故选：D根据积的乘方等于乘方的积，可得答案本题考查了积的乘方，利用积的乘方是解题关键5.答案：D解析：解：根据题意得，3𝑥 + 𝑦 5 = 0，𝑥 2 = 0， 解得𝑥 = 2，𝑦 = 1，所以，𝑥2 𝑥𝑦 = 22 2 (1) = 4 + 2 = 6故选：D根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解本题考查了非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负 数都为 06.答案：D解析：本题考查了几何体的展开图，解题的关键是逐项对照几何体与展开图本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记各几何体的展开图是关键分析四个选项，发现 D 中的平面展开图为三棱 柱的展开图，不是三棱锥的展开图，由此即可得出结论解：根据立体图形与平面展开图对照四个选项，发现 D 中的平面展开图为三棱柱的展开图，不是三棱锥的展开图故选 D， 1 11 得 ：𝑎7.答案：C解析：解： 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵， 𝐴𝑂𝐵 = 2𝐴𝐶𝐵 ， 𝐴𝑂𝐵 = 64， 𝐴𝐶𝐵 = 32故选：C利用圆周角定理即可解决问题本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型8.答案：A解析：本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的 一般方法，也是常用方法先进行二次根式的运算，然后再进行估算解：8 = 8 = 24 4 1 2 7，得：𝑥 4，解不等式3(𝑥 4) ，得：𝑥 6，3则不等式组的解集为4 𝑥 6解析：(1)依次去括号、移项、合并同类项即可得出不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可； (2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找 不到确定不等式组的解集本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19.答案：解：将这 38 位同学所穿鞋号进行统计，并计算所占调查人数的百分比，如下表：通过表格中的数据，可以得出，鞋号为 35、36、27 号的鞋所占的比例较高，因此在学校购鞋时，应注意这三个号码应多买，这三个号码的鞋约占总数的75%解析：分别统计各个鞋号的频数，再计算所占的百分比，根据所占的比例，提出合适的建议 考查众数的意义，频数、频率的意义，理解众数的意义是解决问题的关键20.答案：点 P 即为所求解析：解：如图，点 P 即为所求3 3 𝑘𝑥1 11 1 故答案为：点 P 即为所求作相对 MN 的垂直平分线交𝐴𝐵𝐶 的角平分线于点 P，点 P 即为所求本题考查作图应用与设计，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟 练掌握五种基本作图，属于中考常考题型21.答案：解：(1)过点 A 作𝐴𝐸 𝑥 轴于点 E，如图所示在𝑅𝑡 𝐴𝐸𝑂 中，𝐴𝑂 = 5，sin𝐴𝑂𝐶 = ，5 𝐴𝐸 = 𝐴𝑂 sin𝐴𝑂𝐶 = 5 = 3，5 𝑂𝐸 = 𝐴𝑂 2 𝐴𝐸 2 = 4，点 A 的坐标为(4,3)点 A 在反比例函数𝑦 = 2的图象上，2 𝑘 = 4 3 = 12，2反比例函数的解析式为𝑦 = 212𝑥(2) 点𝐵(𝑚, 4)反比例函数𝑦 = 212𝑥的图象上， 4 = 12𝑚，解得：𝑚 = 3，点 B 的坐标为(3, 4)将𝐴(4,3)、𝐵(3, 4)代入𝑦 = 𝑘 𝑥 + 𝑏 中， 4𝑘 + 𝑏 = 3 𝑘 = 1，解得： 1 ， 3𝑘 + 𝑏 = 4 𝑏 = 1直线 AB 的解析式为𝑦 = 𝑥 1当𝑦 = 𝑥 1 = 0时，𝑥 = 1，点 C 的坐标为(1,0)，1 1 72 2 2 2 1 1 1 𝐴𝑂𝐵= 𝑂𝐶 (𝑦 𝑦 ) = 1 3 (4) = 𝐴 𝐵(3)观察函数图象可知：当𝑥 0；当0 𝑥 3时，𝑦 42 2当𝑥 0或𝑦 42 2解析：(1)过点 A 作𝐴𝐸 𝑥 轴于点 E，在𝑅𝑡 𝐴𝐸𝑂中，通过解直角三角形可求出点 A 的坐标，由反比 例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式；(2)由反比例函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，利用三角形的面 积公式即可求 𝐴𝑂𝐵的面积；(3)观察函数图象可得出：𝑥 0以及0 𝑥 3时，𝑦2的取值范围，合在一起即可得出结论本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、反比例(一次)函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：(1)通过解直角三角形找出点 A 的坐标；(2)根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法求出直线 AB 的解析式； (3)观察函数图象，找出当 𝑥 513，第 14 天的日销售利润最大，为 578 元(3)由题意得：𝑃 = (2𝑡 + 96)( 𝑡 + 5 𝑎)(1 𝑡 20)4配方得：𝑃 = 14𝑡 2(𝑎 + 7)2 + 2(𝑎 17)2 (1 𝑡 20)，要使日销售利润随时间 t 增大而增大，则要求对称轴𝑥 = 2(𝑎 + 7) 20解得𝑎 3；又题目要求𝑎 4，故3 𝑎 4解析：(1)从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；(2)日利润=日销售量每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大 值后比较得结论；(3)列式表示前 20 天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求 a 的取值范围此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断 后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键23.答案：解：由折叠的性质可 𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑄𝑃 ， 𝐴𝐵 = 𝐴𝑄 = 10，四边形 ABCD 是矩形， 𝐷 = 90， 𝐴𝐷 = 8， 𝐷𝑄 = 𝐴𝑄 2 𝐴𝐷 2 = 102 82 = 6，线段 DQ 的长度是 6cm； 𝐶𝑄 = 𝐷𝐶 𝐷𝑄 = 4，设𝑃𝑄 = 𝑥 ，则𝑃𝐵 = 𝑃𝑄 = 𝑥 ， 𝐶𝑃 = 𝐵𝐶 𝐵𝑃 = 8 𝑥 ， 𝑥2= 42+ (8 𝑥)2，解得：𝑥 = 5，线段 PQ 的长度是 5cm解析：由折叠的性质可 𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑄𝑃 ，根据全等三角形的性质可知𝐴𝐵 = 𝐴𝑄 = 10，利用勾股定理即可求出线段 DQ 的长度；依据 𝐷𝑄 = 6，可得𝐶𝑄 = 𝐷𝐶 𝐷𝑄 = 4，设𝑃𝑄 = 𝑥 ，则𝑃𝐵 = 𝑃𝑄 = 𝑥 ，所以𝐶𝑃 = 𝐵𝐶 𝐵𝑃 = 8 𝑥 ，利用勾股定理可建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值即可60𝜋2 2本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的运用，解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程 求出答案24.答案：证明：(1)连结 OD， 𝐴𝐵 是 𝑂 的直径， 𝐴𝐷𝐵 = 90， 𝐴 + 𝐴𝐵𝐷 = 90，又 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐷 ， 𝐵𝐷𝑂 = 𝐴𝐵𝐷 ，又 𝐴 = 𝑃𝐷𝐵 ， 𝑃𝐷𝐵 + 𝐵𝐷𝑂 = 90，即𝑃𝐷𝑂 = 90， 且 D 在圆上， 𝑃𝐷 是 𝑂 的切线(2)设𝐴 = 𝑥， 𝐷𝐴 = 𝐷𝑃 ， 𝐴 = 𝑃 = 𝑥， 𝐷𝐵𝐴 = 𝑃 + 𝐵𝐷𝑃 = 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥， 在 𝐴𝐵𝐷 中，𝐴 + 𝐴𝐵𝐷 = 90， 𝑥 + 2𝑥 = 90𝑜，即𝑥 = 30， 𝐷𝑂𝐵 = 60，弧 BD 长= = 𝜋180 3(3)连结 OM，过 D 作𝐷𝐹 𝐴𝐵 于点 F，1 𝐵𝐷 5𝑥1 12 5= 𝑥𝑥4 𝐷𝑁点 M 是的𝐴𝐵的中点， 𝑂𝑀 𝐴𝐵 ， 𝑡𝑎𝑛𝐴 = =2 𝐴𝐷，设𝐵𝐷 = 𝑥 ，则𝐴𝐷 = 2𝑥，𝐴𝐵 = 5𝑥 = 2𝑂𝑀， 𝑂𝑀 = ，2在𝑅𝑡 𝐵𝐷𝐹 中， 𝐷𝐹 = 𝑥5𝐴𝐷𝐵= 𝐴𝐵 𝐷𝐹 = 𝐴𝐷 𝐷𝐵 2 2 𝑀𝑂𝑁 = 𝐷𝐹𝑁 = 90，𝐷𝑁𝐹 = 𝑀𝑁𝑂 𝑂𝑀𝑁 𝐹𝐷𝑁𝐷𝑁 𝐷𝐹𝑀𝑁 𝑂𝑀=2 5552=5解析：(1)由圆周角的定理可得𝐴𝐷𝐵 = 90，可得𝐴 + 𝐴𝐵𝐷 = 90，可求𝑃𝐷𝐵 + 𝐵𝐷𝑂 = 90， 可得结论；(2)设𝐴 = 𝑥 ，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得𝐷𝐵𝐴 = 𝑃 + 𝐵𝐷𝑃 = 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥，由 三角形内角和可求 x 的值，由弧长公式可求弧 BD 的长；(3)连结 OM，过 D 作𝐷𝐹 𝐴𝐵 于点 F，设𝐵𝐷 = 𝑥 ，则𝐴𝐷 = 2𝑥，𝐴𝐵 = 5𝑥 = 2𝑂𝑀，可求 OM，DF 的长，通过证 𝑂𝑀𝑁 𝐹𝐷𝑁，可求 的值𝑀𝑁本题是圆的综合题，考查了圆的知识，弧长公式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添 加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键25.答案：2；0；8；0；0；4解析：(1)解：连接 MC、MA，如图 1 所示： 𝑀 与 y 轴相切于点 C， 𝑀𝐶 𝑦 轴，1 9 9 𝑀𝐸 = 𝑀𝐷 + 𝐷𝐸 = 4 + = 3+ ( )= ， 𝐸𝐴2 2 2 + 𝑀(5,4) ， 𝑀𝐶 = 𝑀𝐴 = 5，𝑂𝐶 = 𝑀𝐷 = 4， 𝐶(0,4) ， 𝑀𝐷 𝐴𝐵 ， 𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 ，𝑀𝐷𝐴 = 90， 𝐴𝐷 = 5 2 42 = 3， 𝐵𝐷 = 3， 𝑂𝐴 = 5 3 = 2，𝑂𝐵 = 5 + 3 = 8， 𝐴(2,0)，𝐵(8,0) ，故答案为 2，0；8，0；0，4；(2)证明：把点𝐴(2,0)代入抛物线𝑦 = (𝑥 5) 2 + 𝑘 ，4得：𝑘 = ，4 𝐸(5, )，4 𝐷𝐸 =94，9 25 9 2254 4 4 16， 𝑀𝐴2+ 𝐸𝐴2= 52225 62516 16，𝑀𝐸2=62516， 𝑀𝐴2+ 𝐸𝐴2= 𝑀𝐸2， 𝑀𝐴𝐸 = 90，即𝐸𝐴 𝑀𝐴 ， 𝐸𝐴与 𝑀 相切；(3)解：存在；点 P 坐标为(5,4)，或(5, 71)，或(5,4 + 55)；理由如下： 由勾股定理得：𝐵𝐶 = 𝑂𝐶 2 + 𝑂𝐵 2 = 42 + 82 = 45，分三种情况：当𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 时，点 P 在 BC 的垂直平分线上，点 P 与 M 重合， 𝑃(5,4)；当𝐵𝑃 = 𝐵𝐶 = 45时，如图 2 所示： 𝑃𝐷 = 𝐵𝑃 2 𝐵𝐷 2 = 80 32 = 71， 𝑃(5, 71)；当𝑃𝐶 = 𝐵𝐶 = 45时，连接 MC，如图 3 所示： 则𝑃𝑀𝐶 = 90，根据勾股定理得：𝑃𝑀 = 𝑃𝐶2 𝑀𝐶 2 = 80 52 = 55， 𝑃𝐷 = 4 + 55， 𝑃(5,4 + 55)；综上所述：存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方， 𝑃𝐵𝐶 是等腰三角形， 点 P 的坐标为(5,4)，或(5, 71)，或(5,4 + 55).(1)连接 MC、MA，由切线的性质得出𝑀𝐶 𝑦 轴，𝑀𝐶 = 𝑀𝐴 = 5，𝑂𝐶 =𝑀𝐷 = 4，得出点 C 的坐标；由𝑀𝐷 𝐴𝐵，得出𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 ，𝑀𝐷𝐴 = 90，由勾股定理求出 AD，得出 BD、OA、OB，即可得出点 A、B 的坐标；(2)把点𝐴(2,0)代入抛物线得出𝑘 = 94，得出顶点 E 的坐标，得出 DE、ME，由勾股定理得出𝐸𝐴2=22516，证出𝑀𝐴2+ 𝐸𝐴2= 𝑀𝐸2，由勾股定理的逆定理证出𝑀𝐴𝐸 = 90，即可得出 EA 与 𝑀 相切；(3)由勾股定理求出 BC，分三种情况：当𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 时，点 P 在 BC 的垂直平分线上，点 P 与 M 重 合，容易得出点 P 的坐标；当𝐵𝑃 = 𝐵𝐶 = 45时，由勾股定理求出 PD，即可得出点 P 的坐标；当𝑃𝐶 = 𝐵𝐶 = 45时，由勾股定理求出 PM，得出 PD，即可得出点 P 的坐标本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(3) 中，需要进行分类讨论，运用勾股定理才能得出结果