唐等腰三角形的判定1

1._的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.2.等腰三角形两底角等腰三角形两底角_，简称为简称为_4.等边三角形的每个角都等于等边三角形的每个角都等于_等边对等角等边对等角相等相等600有两边相等有两边相等3.等腰三角形等腰三角形_、及、及底边上底边上的的 线和线和_重合，简称为重合，简称为_三线合一三线合一顶角平分线顶角平分线中中高高ABO如图，位于海上如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到两处的两艘救生船接到O处处遇险船只的报警，当时测得遇险船只的报警，当时测得A=300,B=300,如如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？在一般的三角形中，如果有两个角相等，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？那么它们所对的边有什么关系呢？相等能说出说出“等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等”的逆命题？的逆命题？如果一个三角形有如果一个三角形有两个底角相等两个底角相等，那么这个三角形是那么这个三角形是等腰三角形等腰三角形.两个角相等两个角相等的三角形是的三角形是等腰三角形等腰三角形.这个命题正确吗？这个命题正确吗？简称为：简称为：3cm3cm如图，在如图，在ABC中，如果中，如果B=C，那么那么AB与与AC之间有什么关系吗之间有什么关系吗？动手操作量一量：动手操作量一量：（1 1）测量）测量AB与与AC的长，的长，你发现了什么？你发现了什么？AB=AC（2）为什么）为什么AB=AC呢？呢？如图，在如图，在ABC中，中，B=C.沿过点沿过点A的直线把的直线把BAC对折，对折，得得BAC的平分线的平分线AD交交BC于点于点D，则则1=.又又B=C，由三角形内角和的性质得由三角形内角和的性质得ADB=.D12沿沿AD所在直线折叠，所在直线折叠，由于由于ADB=，1=，所以射线所以射线DB与射线与射线 重合重合，射线射线AB与射线与射线 重合重合.从而点从而点B与点与点 重合重合，于是于是AB=.3.证明：证明：如果一个三角形有两个如果一个三角形有两个 相相等等,那么这两个角那么这两个角所对的所对的 也相也相等等2ADCADCDC2ACCAC角角边边(简称简称“等角对等角对 ”)等边等边有两个角有两个角 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理(简称简称“等角对等角对 ”)在在ABC中中 B=C ABC几何语言几何语言:AB=AC（等角对等边等角对等边）即即ABC是等腰三角形是等腰三角形“等角对等边等角对等边”与与“等边对等角等边对等角”有何区别？有何区别？它们是互逆定理它们是互逆定理相等相等等边等边从边判断：从边判断：等腰三角形的判定方法：等腰三角形的判定方法：（等角对等边）（等角对等边）从从角判断：角判断：有有两两 相等相等的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.有有两个两个 相等相等的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.边边角角ABO如图，位于海上如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到两处的两艘救生船接到O处处遇险船只的报警，当时测得遇险船只的报警，当时测得A=300,B=300,如如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？1.1.解答前面提出的问题：解答前面提出的问题：解：解：A=300,B=300 A=OA=（等角对等边）（等角对等边）所以这两艘救生船以同样的速度同时出发，能同所以这两艘救生船以同样的速度同时出发，能同时赶到出事地点时赶到出事地点.BOB例例2 2：已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点D，E分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且DEBC.求证：求证：ADE为等腰三角形为等腰三角形.证明证明 B=.又又 DEBC ADE=AED=ADE=ADE为等腰三角形为等腰三角形.AB=AC（）AD=CBCAEDAE（等等角角对对等等边边）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）等边等边对对等角等角1.1.已知：已知：等腰三角形等腰三角形ABC的底角的底角ABC和和ACB 的的平分线平分线相交于点相交于点O.求证求证:OBC为等腰三角形为等腰三角形.ABCDEO证明证明:BO,COBO,CO分别是分别是ABC和和ACB的平分线的平分线 OBC=，OCB=ABC是等腰三角形是等腰三角形 OBC=OBC是等腰三角形是等腰三角形.ABC=2121 OB=（）ACBACBABCOCBOC等角对等边等角对等边 有一个角是有一个角是60的等腰三角形是的等腰三角形是等边三角形吗等边三角形吗？为什么为什么？动脑筋动脑筋如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC.由三角形内角和定理得由三角形内角和定理得 A+B+C=180.如果顶角如果顶角A=60，则则B+C=180-60=120.又又 AB=AC，B=C.B=C=A=60.ABC是等边三角形是等边三角形.结论结论由此得到另一条等边三角形的判定定理：由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形例例3 已知：如图，已知：如图，ABC是等边三是等边三角形，点角形，点D，E分别在分别在BA，CA的延的延长线上，且长线上，且AD=AE.求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形.举举例例证明证明 ABC是等边三角形，是等边三角形，BAC=B=C=60.EAD=BAC=60又又 AD=AE，ADE是等边三角形是等边三角形（对顶角相等（对顶角相等）（有一个角是（有一个角是600的等腰三角形是等边三角形）的等腰三角形是等边三角形）2 已知：如图，已知：如图，CD平分平分ACB，AEDC，AE交交BC的延长线于点的延长线于点E，且，且ACE=60.求证：求证：ACE是等边三角形是等边三角形.证明证明CD平分平分ACB，在在ACE中，中，CAE=180-=又又ACE=60 BCD=ACD=，ACD=DCB=又又 AEDC，CAE=ACE=ACE是等边三角形是等边三角形.三个角都是三个角都是600的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形DCB60E60EACE60E60P67A 7.P67A 7.已知：如图已知：如图,在等边三角形在等边三角形ABC的的AC边上的取中点边上的取中点D,BC的延长线上取一点的延长线上取一点E,E,使得使得CE=CD.求证：求证：BD=DE.证明：证明：ABC是等边三角形是等边三角形,D是是AC中点中点ACB=,CBD=CD=CE E=BCD=E+=2 =E=BD=DE6030CDECDEE6030CBD3.已知：如图已知：如图，AB=BC，CDE=120，DFBA且且DF平分平分CDE.求证：求证：ABC是等边三角形是等边三角形.证明证明 AB=BC，ABC是等边三角形是等边三角形.又又CDE=120，DF平分平分CDE.FDC=ABC=60，ABC是等腰三角形，是等腰三角形，EDF=FDC=60，又又DFBA，4、已知：如图，已知：如图，ADBC，BD平分平分ABC。求证：求证：AB=ADADBC123练习练习5、如图，在、如图，在ABC中，中，ACB和和ACB的平分线相交于点的平分线相交于点D，且，且DB=DC，请说明，请说明AB=AC的理由的理由.ABCD6 6、求证：如果三角形一个外角的平分线平、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。腰三角形。ABCED12已知：已知：EAC是是ABC的外角，的外角，1=2，ADBC，求证：，求证：AB=AC8、上午上午10时，一条船从时，一条船从A处出发以处出发以20海里海里每小时的速度向正北航行，中午每小时的速度向正北航行，中午12时到达时到达B处，从处，从A、B望灯塔望灯塔C，测得，测得NAC=40，NBC=80，求从，求从B处到灯塔处到灯塔C的距离的距离8040CABN北北9.9.如图如图,D是等边三角形是等边三角形ABC的的AC边上的中边上的中 点点,在在BC的延长线上取一点的延长线上取一点E,E,如果如果DE=6DE=6，DCB=2CDEDCB=2CDE，求求BD的长的长.解解 ABC是等边三角形是等边三角形ACB=60,ABC=60D是是AC的的中点中点CBD=30（三线合一）（三线合一）DCB=2CDEDCB=2CDECDE=30DCB=E+CDE=60E=30E=CBD BD=DE=6（等角对等边）（等角对等边）举举例例 例例4 如图，如图，ABC中中,ACB的平分的平分线交线交AB于点于点E,过点过点E作作FE/BC,交交AC于点于点O,交交ACD的平分线于点的平分线于点F,求证：求证：EO=FO.证明：证明：CE平分平分ACB，CF平分平分ACD，1=2，3=4.EF BC,2=5，3=6,1=5，4=6,EO=CO,FO=CO,EO=FO.ABCDEOF123456 1 1、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？由折叠可知：由折叠可知：EBD=CBD，在矩形在矩形ABCD中，中，ADBC，则，则CBD=FDB,所以所以FDB=EBD 所以所以BF=DFABCDEF2、如图，在如图，在ABC中，中，BO、CO分别平分分别平分ABC和和ACB，DE过点过点O，且，且DEBC.（1）图中共有几个等腰三角形？选其一加以说明）图中共有几个等腰三角形？选其一加以说明.（2）试说明）试说明ADE的周长与的周长与AB+AC的关系的关系.（3）若）若AC=13cm，AB=10cm，求，求ADE的周长的周长.ABCDEO小结小结m定理：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等所对的边也相等(等角对等边）。等角对等边）。m推论推论1 1：三个角相等的三角形是等边三角形。三个角相等的三角形是等边三角形。m推论推论2 2：有一个角等于有一个角等于6060的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形等腰三角形的判定方法：等腰三角形的判定方法：等边三角形的判定方法：等边三角形的判定方法：P66 A 5，6，7