点线面的位置关系与平行关系讲义.doc

点、线、面位置关系以及线面平行关系 【知识点梳理】1、公理及推论公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内用符号语言表示公理1：公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面和相交，交线是a，记作a符号语言：公理2作用：它是判定两个平面相交的方法它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面公理3及其推论作用：它是空间内确定平面的依据；它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2、空间直线与直线之间的位置关系（1） 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线（2） 异面直线性质：既不平行，又不相交（3） 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线（4） 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（5）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点三种位置关系的符号表示：a；aA；a直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外4、平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点：；相交有一条公共直线：l5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（记忆口诀：线线平行 线面平行）符号表示为：图形如右图所示Pab6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为：图形如右图所示a7、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（记忆口诀：线面平行 线线平行）用符号表示为：图形如右图所示8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行用符号语言表示为：.其它性质：；夹在平行平面间的平行线段相等图形如右图所示【典型例题】题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P求证：P在直线BD上变式1：如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（）（A）EF与GH互相平行（B）EF与GH异面（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上变式2：如图所示，设，分别是空间四边形的边，上的点，且，求证：（1），四点共面；（2）当时，四边形是平行四边形；（3）当时，四边形是梯形题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2： A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角变式3：给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：若为异面直线，则；若，则；若，则，其中真命题的个数为（ ）A3 B2 C1 D0题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定例题3：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F求证：EF平面ABCD变式4：一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC，并给出证明题型四、证明线面平行与线面平行性质的运用例题4：如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE 变式5：如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点变式6：如图所示，是圆柱的母线，为矩形，分别是线段的中点，求证：面变式7：如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，求证：面题型五：证明面面平行与面面平行性质的运用例题5：如图，在四棱锥P ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行变式8：正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBDA1AB1BC1CD1DGEF 【方法与技巧总结】1位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：证明两条异面直线所成角为90；证明线面垂直，得到线线垂直；（2）直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；利用平行四边形利用三角形中位线（3）面与面平行证明方法：主要证明线线平行即可（4）掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化2求角：（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是；（2）直线和平面所成的角：先找射影，构造成直角三角形【巩固练习】1、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是（ ）A B，直线C D，且不共线与重合2对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（ ）A如果、n是异面直线，那么B如果、n是异面直线，那么相交C如果、n共面，那么D如果、n共面，那么3有以下命题，正确命题的序号是 直线与平面没有公共点，则直线与平面平行； 直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行；直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行；直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行 4在三棱锥中，分别是的中点求证：平面5如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点，证明：平面6如图所示，在三棱柱中，点为棱的中点，求证：平面7如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，为中点证明：平面8如图，已知，2AB=DE，且是的中点，求证：平面9在棱长为的正方体中,是线段的中点，底面的中心是，求证：平面【课后作业】1已知直线l1、l2，平面，l1l2，l1，则2与的位置关系是（ ）A l2 B l2 C l2或l2 D l2与相交2设平面与平面交于直线l，直线，直线，则M_l3直线AB、AD，直线CB、CD，点EAB，点FBC，点GCD，点HDA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线_上4如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为 5如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1= (5题) (6题)6直线a、b不在平面内，a、b在平面内的射影是两条平行直线，则a、b的位置关系是 7正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、CC1、C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH的形状是 8空间四边形ABCD中, AD=1 , BC=, BD=, AC=, 且, 则异面直线AC和BD所成的角为 9在四棱锥中，为中点，为中点求证：平面10如图，矩形，为圆的直径，点在圆上，设的中点为，求证：平面11M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，（1）求MN与AD所成的角；（2）求MN与CD1所成的角 12如图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=14cm，BD=14cm，M、N分别是AB，CD的中点，MN=cm，求异面直线AC与BD所成的角13已知四面体ABCD中，M，N分别是和的重心，求证：（1）BD/平面CMN；（2）MN/平面ABD14如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，（1）求证：CD/平面EFGH；（2）求异面直线AB，CD所成的角15M，N，P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM：MB=CN：NB=CP：PD求证：（1）AC/平面MNP，BD/平面MNP；（2）平面MNP与平面ACD的交线/AC【拓展训练】1（四川卷）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）Al1l2，l2l3 l1l3 Bl1l2，l2l3 l1l3Cl1l2l3 l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面2（浙江卷）若直线l不平行于平面，且l，则（ ）A内的所有直线与l异面 B内不存在与l平行的直线 C内存在唯一的直线与l平行 D内的直线与l都相交3（四川卷）下列命题正确的是（ ）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5（四川卷）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_6如图，是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过作圆柱的截面交下底面于，已知，证明：四边形是平行四边形7如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且求证： 【参考答案】1、巩固练习答案1【答案】C 2【答案】C 3【答案】4【答案】 因为，分别为的中点 所以， 又因为，平面，平面 所以，平面5【答案】 因为，分别是的中点所有，由题可得，即又因为，平面，平面 所以，平面6【答案】连接交于点，连接在平行四边形中，为中点又因为为中点所以，又因为，平面，平面 所以，平面7【答案】证明：连接在平行四边形中，因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以因为平面，平面所以平面8【答案】取中点，连结，为的中点，又 为平行四边形， 又平面，平面 平面9【答案】连接因为，所以为平行四边形，因此在正方形中，为中心，即为中点由于是线段的中点，所以， 所以为平行四边形，即因为面，平面，所以平面2、课后作业答案1【答案】C 2 3BD 4 52:1 6平行或异面7等腰梯形 89009【答案】证明：连接， . 为中点，则因为，所以，则四边形是平行四边形所以因为不在平面内，在平面内,所以平面10【答案】设的中点为，则，又，则，四边形为平行四边形， 又平面，平面，平面11解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD/B1C1B1C1与MN所成的锐角（或直角）是AB、CD所成的角 B1NM=450 MN与AD所成的角为450（2）连接A1B，过M在面A1B中作A1B的平行线交A1B1于点L，连接LN，LM/D1CLMN（或其补角）即为MN与CD1所成的角 LMN=600 MN与CD1所成的角为60012解：取BC的中点P，连接PM，PN，可证MPN（或其补角）是异面直线AC与BD所成的角，在PMN中，由MP=NP=7，MN=，可得cosMPN =，MPN =1200则异面直线AC与BD所成的角为60013连接AM，AN，并延长分别交BC，CD于点E，F，连接EF，由M，N分别是和的重心，得E，F分别是BC，CD的中点，则EF/BD，易证得BD/平面CMN；由，得MN/EF，可证MN/平面ABD14（1）由四边形EFGH是矩形可得，EF/GH，可证得EF/平面BCD，又因CD是过EF的平面ACD与平面BCD的交线，则EF/CD，所以CD/平面EFGH （2）由CD/平面EFGH，可证得CD/GH；同理可证AB/GF；FGH就是异面直线AB，CD所成的角（或补角），因为EFGH是矩形，所以FGH=900，则异面直线AB，CD所成的角为90015证明：（1）AC/平面MNP，BD/平面MNP. （2），即平面MNP与平面ACD的交线/AC3、拓展训练答案1B，【解析】对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，所以选B2B，【解析】在内存在直线与l相交，所以A不正确；若内存在直线与l平行，又l，则有l，与题设相矛盾，B正确，C不正确；在内不过l与交点的直线与l异面，D不正确3C，【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确4B 5906【答案】证明：因为圆柱的上下底面平行，且是截面与圆柱上、下底面的交线，所以 依题意得，正六边形是圆内接正六边形，所以，正六边形的边长等于圆的半径，即 在中，由正六边形的性质可知， 所以，即同理可得，所以，故四边形是平行四边形7【答案】证明：由题可知，在四棱柱中，平面平面因为，所以，共面平面，且平面平面所以，17/18