推理与证明章末归纳总结.ppt

1 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 第二章 推理与证明 2 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 3 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 4 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 5 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 归纳是通过对特例的观察和综合去发现一般规律，一般通过观察图形或分析式子 寻找规律，归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把 相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证 6 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 例 1 在德国布莱梅举行的第 48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球 堆成若干堆 “ 正三棱锥 ” 形的展品，其中第 1堆只有一层，就一个乒乓球；第 2,3,4、 堆最底层 (第一层 )分别按如图所示方式固定摆放从第二层开始， 每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第 n堆第 n层就放一个乒乓球，以 f(n) 表示第 n堆的乒乓球总数，则 f(3) _； f(n) _(答案用 n表 示 ) 7 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 8 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 解析 f (1) 1 ，观察图可知 f (2) 4 ， f (3) 10 ， f (4) 20 ，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的 个数，而第一层的个数构成数列 1,3,6,10 ， ，其第 n 项 是 n ( n 1 ) 2 ，所以 f ( n ) f ( n 1) n ( n 1 ) 2 ，所以有 f (2) f (1) 2 ( 2 1 ) 2 ， f (3) f (2) 3 ( 3 1 ) 2 ， f (4) f (3 ) 4 ( 4 1 ) 2 ， ， f ( n ) f ( n 1) n ( n 1 ) 2 . 9 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 以上各式相加，整理得 f ( n ) f (1) 2 2 2 3 2 3 4 2 4 n 2 n 2 1 2 2 2 3 2 n 2 1 2 n 2 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) 6 n ( n 1 ) 2 2 n ( n 1 ) ( n 2 ) 6 . 答案 10 ； n ( n 1 ) ( n 2 ) 6 10 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移， 应用类比的关键就在于如何把相关对象在某些方面的一致性说清楚常见的 类比题型有两类：一类是类比旧知识，推出新结论；另一类是类比新知识， 推出新结论 11 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 例 2 如图 所示，在 ABC中，射影定理可表示为 a bcosC ccosB，其中 a， b， c分别为角 A， B， C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想 12 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 解析 如图 所示 ， 在四面体 P ABC中 ， 设 S1， S2， S3， S分别表示 PAB， PBC， PCA， ABC的面积 ， ， ， 依次表示面 PAB， 面 PBC， 面 PCA与底面 ABC所成二 面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间 ， 其表现形式应为 S S1cos S2cos S3cos. 分析 平面图形与空间图形的类比 平面图形的结论 空间图形的相应结论 13 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 14 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而做出关 于该类事物的判断的思维过程，因此是从一般到特殊的推理数学中的演绎 法一般是以三段论的格式进行的三段论由大前提、小前提和结论三个命题 组成，大前提是一个一般性原理；小前提给出了适合这个原理的一个特殊场 合，结论是大前提和小前提的逻辑结果 15 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 例 3 若定义在区间 D 上函数 f ( x ) 对于 D 上 的几个 值 x 1 ， x 2 ， ， x n 总满足 1 n f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n ) f x 1 x 2 x n n 称函数 f ( x ) 为 D 上的凸函数，现 已知 f ( x ) sin x 在 (0 ， ) 上是凸函数，则在 ABC 中， sin A sin B sin C 的最大值是 _ 16 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 答案 3 3 2 解析 由 1 n f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n ) f x 1 x 2 x n n ， ( 大前提 ) 因为 f ( x ) sin x 在 (0 ， ) 上是凸函数， ( 小前提 ) 所以 f ( A ) f ( B ) f ( C ) 3 f A B C 3 ， ( 结论 ) 即 sin A sin B sin C 3 sin 3 3 3 2 ， 因此 sin A sin B sin C 的最大值是 3 3 2 . 17 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 综合法是我们在已经储存了大量的知识积累了丰 富的经验的基础上所用的一种方法，其优点是叙 述起来简洁、直观、条理、清楚，综合法可使我 们从已知的知识中进一步获得新知识 例 4 已知二次函数 f(x) ax2 bx c(a0)(abc) 的图象与 x轴有两个不同的交点 A， B，且 f(1) 0. ( 1) 求 c a 的范围； ( 2) 证明： 3 2 | AB | b c ，且 a 0 ， a 0 ， c a c c . a 2 c 2 a c 2 c a 1 2 . 19 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! ( 2) 证明： ax 2 bx c ax 2 ( a c ) x c ( ax c )( x 1) 0 x A c a ， x B 1 或 x A 1 ， x B c a ， |AB | | x A x B | c a 1 1 c a ， 由 ( 1) 知 2 c a 1 2 ， 1 1 2 1 c a 1 2 ， 即 3 2 | AB | 0 时，两边平方 寻找 a 2 b 2 1 2 ( a 2 b 2 2 ab ) 成立的条件 寻找 a 2 b 2 2 ab 成立的条件 a 2 b 2 2 ab 对一切实数成立 结论 22 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 解析 当 a b 0 时， a 2 b 2 0 ， a 2 b 2 2 2 ( a b ) 成立 当 a b 0 时，用分析法证明如下： 要证 a 2 b 2 2 2 ( a b ) ， 只需证 ( a 2 b 2 ) 2 2 2 ( a b ) 2 ， 即证 a 2 b 2 1 2 ( a 2 b 2 2 ab ) ，即证 a 2 b 2 2 ab . a 2 b 2 2 ab 对一切实数恒成立， a 2 b 2 2 2 ( a b ) 成立 综上所述，不等式得证 . 23 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在此基础上运用演绎推理，导出矛 盾，从而肯定结论的真实性 例 6 已知函数 f ( x ) ln(1 e x ) x ( x R ) 有下列性 质： “ 若 x a ， b ，则存在 x 0 ( a ， b ) ，使得 f ( b ) f ( a ) b a f ( x 0 ) ” 成立利用这个性质证明 x 0 唯一 24 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 证明 假设存在 x 0 ， x 0 ( a ， b ) 且 x 0 x 0 ，使得 f ( b ) f ( a ) b a f ( x 0 ) ， f ( b ) f ( a ) b a f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ， f ( x ) e x 1 e x 1 1 1 e x ， 记 g ( x ) f ( x ) 1 1 e x . g ( x ) e x ( 1 e x ) 2 0 ， f ( x ) 是 a ， b 上的单调增函 数 x 0 x 0 ，这与 x 0 x 0 矛盾，即 x 0 是唯一的 25 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法它是一种完全归纳法，它的证 明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为 “ 归纳基础 ” (或称特殊性 )第二 步解决的是延续性 (又称传递性 )问题运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点： 1 两个步骤缺一不可 2 第二步中 ， 证明 “ 当 n k 1时结论正确 ” 的过程里 ， 必须利用 “ 归纳假设 ” 即必须 用上 “ 当 n k时结论正确 ” 这一结论 26 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 3 在第二步的证明中 ， “ 当 n k时结论正确 ” 这一归纳假设起着已知的作用 ， “ 当 n k 1时结论正确 ” 则是求证的目标 在这一步中 ， 一般首先要凑出归 纳假设里给出的形式 ， 以便利用归纳假设 ， 然后再去凑出当 n k 1时的结 论 数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式 、 三角恒等式 、 不等式 、 整 除性问题及几何问题 27 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 例 7 ( 2010 全国 理， 22) 已知数列 a n 中， a 1 1 ， a n 1 c 1 a n . ( 1) 设 c 5 2 ， b n 1 a n 2 ，求数列 b n 的通项公式； ( 2) 求使不等式 a n a n 1 a 1 得 c 2 用数学归纳法证明：当 c 2 时， a n a 1 ，命题成立； 设当 n k 时， a k c 1 a k a k 1 ， 故由 知当 c 2 时， a n 2 时，令 c c 2 4 2 ， 31 金太阳新课标资源网 老师都说好 ! 由 a n 1 a n a n 1 1 a n c 得 a n 当 2 c 10 3 时， a n 10 3 时， 3 ，且 1 a n log 3 1 3 时， a n 1 3 ， a n 1 3. 因此 c 10 3 不合要求，所以 c 的取值范围为 2 ， 10 3 .