控制系统的频域特性.ppt

1 控制系统的频率特性 4-1 引言 4-2 频率特性的基本概念 4-3 系统对谐和函数输入的稳态响应的计算 4-4 频率响应的极坐标图 (乃奎斯特图 ) 4-5 频率响应的对数坐标图 (伯德图 ) 4-6 由系统传递函数绘伯德图 4-7 最小相位系统 4-8 由系统的对数频率特性求对应的传递函数 4-9 频域分析的 MATLAB实现 2 控制系统的频率特性 第一节 引言 利用微分方程求解系统的响应比较直观， 但也有其重要的缺点： 1) 系统的阶次较高时，系统响应的计算工作 量很大，有时求解非常困难； 2) 难以看出环节参数对系统的具体影响，更 难以找出相应的改进措施； 3) 系统的传递函数如不能由微分方程得到时， 就很难对系统进行时域分析。 3 控制系统的频率特性 频域分析法是分析线性定常系统性能的另 一种有效方法，是进行系统分析、设计及校正 的常用方法。 频域分析法是一种图解分析法，其重要 特点是从系统的开环频率特性去分析系统的闭 环控制特性，而不用求解系统的微分方程。 频域性能指标与时域性能指标之间有着 对应关系，频域响应特性能反映出系统的结构 和参数与性能指标之间的关系。 4 控制系统的频率特性 利用频率响应分析法可以方便地分析系 统中各参数对系统性能的影响，即可以通过 系统的频率特性分析系统的稳定性、瞬态性 能和稳态性能，从而进一步确定改善系统性 能的途径。 对于高阶系统的性能分析，频域分析法 较为方便，而且频率特性可以通过实验确定， 这对于系统较复杂，数学模型难以通过解析 法确定的系统更为有效。 5 控制系统的频率特性 第二节 频率特性的基本概念 频率特性分析法是研究系统对正弦输入 信号的稳态响应 。 使用正弦输入信号来研究系统有如下的特 点 : 1) 系统输入信号是谐和信号，其稳态输出仍 然是谐和信号； 6 控制系统的频率特性 2) 如输入谐和信号的幅值恒定不变，则输出 信号的相位随输入谐和信号的频率的变化而 变化； 3）同样在输入谐和信号的幅值恒定不变的 情况下，输出信号的幅值也随输入谐和信号 的频率的变化而变化。 即输出信号的幅值及相位均为输入信号 频率 的函数 Y () 及 ()。 7 控制系统的频率特性 当输入信号为 x (t) = X0sin (t+0) 时， 输出信号为： y (t) = Y ()sint +0+() A () = Y () / X0 系统的幅频特性 ； () 系统的相频特性 ； 0 输入信号的初始相位。 系统的幅频特性及相频特性合称为系统的 频率特性。记作： A () () 或 A()e j()。 8 控制系统的频率特性 当已知系统的传递函数 G(S)之后，设其 实部为零，则 S = j，代入 G(S) 则有 G(j)， G(j)即称为 系统的频率响应函数 。 于是有系统的 幅频特性： A () = |G(j)| 相频特性： () = G(j) 频域函数为复数，所以可写为 ： G(j) = Re G(j) + Im G(j) = Re () + Im () 9 控制系统的频率特性 则有 式中： Re () 系统的实频特性 Im () 系统的虚频特性 实例： 第四章 .doc )R e ( )I m ( a r c t a n)( )(Im)(Re)( 22 jG jG 10 控制系统的频率特性 结论： 系统的幅频特性等于系统传递函 数分子上全部环节的幅频特性的乘积与 系统传递函数分母上全部环节的幅频特 性的乘积之比；系统的相频特性等于系 统传递函数分子上全部环节的相频特性 之和与系统传递函数分母上全部环节的 相频特性之和的差。 11 控制系统的频率特性 第三节 系统对谐和函数输入的稳态响应的计算 时间响应计算，即使是对一个很简单的 系统来说也是很复杂的，但如果我们将分析 转到频域中来进行，就大大简化了分析过程。 设系统传递函数为 系统输入： 则 1)( TS KSG tXtx s in)( 0 220)( SXSX 12 控制系统的频率特性 所以 进行拉氏反变换得： 上式右边第二项为系统的瞬态响应，此 项随着系统响应时间的增加，瞬态响应趋于 零。 22 01)( S XTS KSY T t e wT TKXTt T KXty 220 2 0 1 )a r c t a n (s i n )(1 )( 13 控制系统的频率特性 因此，输出函数 y(t)的稳态表达式为： 式中： X0 输入信号的最大幅值； 系统的幅频特性； 系统的相频特性。 )(s i n )( )(s i n )(1 )( 0 2 0 jGtjGX t T KX ty 2)(1)( T KjG )a r c t a n ()( TjG 14 控制系统的频率特性 结论： 计算系统对谐和函数输入的稳态响应 可不必进行拉氏反变换的繁琐而复杂的解算 过程，而只要求出系统的幅频及相频特性即 可。 如果输入函数的初始相角 00，上式 应改写为： 实例 4-3、 4-4第四章 .doc )(s i n )()( 00 jGtjGXty 15 控制系统的频率特性 第四节 频率响应的极坐标图 (乃奎斯特图 ) 极坐标图 (Nyquist)是反映频率响应 的几何表示。频率响应函数 G(j)是 的 复变函数，当 从 0逐渐增长到 + 时， G(j)作为一个矢量，其端点在复平面相 对应的轨迹就是频率响应的极坐标图，亦 称乃氏图（乃奎斯特 Nyquist曲线）。 16 控制系统的频率特性 即以 G(j)的模 |G(j)|为矢变量的模， 以 G(j)的幅角 G(j)为矢变量的幅角，而 以输入频率 为变量所构成的图形曲线。参见 图 4-1。 乃奎斯特轨迹线 17 控制系统的频率特性 规定： 相角正负的判断以正实轴为基准，矢变 量逆时针转动为正，顺时针转动则为负。 一、典型环节频率特性的极坐标图 绘制极坐标图的一般步骤： 1、将已知传递函数 G(S)变换成频率响应函数 G(j)，求出实部与虚部表达式； 2、求出 |G (j)|及 G (j)的函数表达式； 18 控制系统的频率特性 3、分别写出 =0和 + 时的 |G (j)|及 G (j)； 4、画出乃氏图中的中间 几个关键点 。 如求乃氏图 与实轴的交点 ，交点可利用 ImG(j)=0的关系式求出，也可利用 G (j)=n180 (其中 n为整数 )求出； 求乃氏图 与虚轴的交点 ，交点可利用 ReG(j)=0的关系式求出，也可利用 G (j)=n90 (其中 n为奇数 )求出。 19 控制系统的频率特性 5、必要时再画出乃氏图中间的几个点； 6、将所有这些点依次光滑连线，即可得到频 率特性的极坐标图。 以惯性环节和二阶振荡环节为重点，对 极坐标图的绘制以及它们各自的特点进行讨 论。 实例 第四章 .doc 20 控制系统的频率特性 重要规律： 1）对于没有积分环节的系统，轨迹线上 = 0 rad/s 的起始点均在正实轴上 “0 型系统”； 2）若系统有一个积分环节，轨迹线上 = 0 rad/s 的起始点则在负虚轴的方向上（即 -90 方向） “ 型系统”； 3）若系统中有两个积分环节，轨迹线上 = 0 rad/s 的起始点则在负实轴的方向上（即 -180 方 向）。 “ 型系统”。 21 控制系统的频率特性 第五节 频率响应的对数坐标图 (伯德图 ) 对数频率特性图又称为伯德 (Bode)图 ， 由对数幅频特性图及对数相频特性图两个图所 组成 。 这两组图形分别表示了系统频率特性的 幅值和相位随频率 变化的情况 ， 这一点与乃 奎斯特图相似 。 22 控制系统的频率特性 一、伯德图的重要优点 1）两组图形的 横坐标 均采用对数分度，即 按频率 的对数值 lg进行线性分度； 可在 有限的线段上表示出较宽的频率范围（例如， 从零点零几赫兹到几千赫兹），使系统工作 的主要频带可以突出地表示出来，从而克服 了以频率 值在坐标轴上均匀分度所带来的 问题。 23 控制系统的频率特性 2） 对数幅频特性图的纵坐标采用 20倍的常 用对数分度，其单位是分贝 （符号为 dB，分 贝是对信号功率衰减程度的度量）。即对数 幅频特性图的纵坐标按 的值进 行线性分度；而 相频特性图的纵坐标仍按相 位角 ()分度，单位为度或弧度。 由此可见，对数频率特性图就是由曲线 L() 和曲线 () 组成的图形。 )(lg20)( AL 24 控制系统的频率特性 系统幅频特性图的纵坐标以对数分度时， 就可 将各组成环节的乘除关系化为相加减的 关系，从而可以简化作图 。同时也为进一步 校正系统性能，改善系统稳定性提供了一个 有力工具， 这也是伯德图的一个最重要的优 点！ 25 控制系统的频率特性 二、伯德图的一般画法 1）由系统传递函数 G(S)写出其频率响应函数； 2）求出其幅频特性 |G(j)| 及相频特性 G(j)的表 达式； 3）写出幅频特性分贝数的计算式 20Lg|G(j)|； 4）代入 = 0 rad/s 的一系列值，求出系统对应 的幅频特性分贝数及相频特性值； 5）根据以上计算所得结果绘制对数幅频及相频特性图。 通常，在不需要的情况下或系统为最小相位系统 时可以不绘相频特性图 三、典型环节伯德图的绘制 典型环节伯德图的绘 制 .doc 26 控制系统的频率特性 图 4-8惯性环节的伯德图 27 控制系统的频率特性 1、对于幅频图，在转角频率前（即低频 段），可以用一条 0dB线来近似代替精确的幅 频特性曲线 ,而这一代替所产生的最大误差发 生在转角频率 T处，且最大不超过 -3dB； 2、当 大于转角频率时（高频率段），则 可以用一条每十倍频程衰减 20dB的斜直线代 替，而这一代替所产生的误差也发生在转角 频率 T处，且同样最大误差不超过 -3dB。 28 控制系统的频率特性 惯性环节的对数幅频特性图通常可以用 通过转角频率处的零分贝线及 -20dB/dec （即每十倍频程衰减 20dB）斜直线来代替； 3、惯性环节的相频特性则是随频率 的 增加，相角从 0 变化到 -90 ，而转角频率 处对应的相角则正好是 (T) = - 45 29 控制系统的频率特性 图 4-9二阶振荡环节伯德图 30 控制系统的频率特性 1）对于幅频图，在转角频率（即无阻尼自 振角频率 n）前 (即低频段 )，仍然可以用一条 0dB线来近似代替精确的幅频特性曲线； 2）当 大于转角频率时（高频率段），则可 以用一条每十倍频程衰减 40dB的斜直线（渐近 线）代替； 3）用这样两条近似折线代替精确曲线所产 生的误差随阻尼比 的减小而迅速地增大。显然， 其最大误差亦发生在转角频率处 n，且等于 - 20Lg(2)； 31 控制系统的频率特性 4）其相频特性随频率 由 0 rad/s rad/s 的变化从 0 变化到 -180 ，而转角频 率 n处对应的相角 (n) = -90 。 特别提醒： 相频特性曲线也是一条随阻尼 比变化而变化的曲线，但前面计算的三个特殊 点的的相频值，却与阻尼比无关！ 3、其它典型环节的伯德图 32 控制系统的频率特性 表 4-1 对数幅频、相频特性表达式 33 控制系统的频率特性 34 控制系统的频率特性 两条渐近线相交的频率，称为转角频率或转折 频率。 结论： 惯性环节、导前环节转角频率 T = 1/T， 二阶振荡环节及二阶微分环节转角频率 T = n， 而对于比例环节、延迟环节、积分环节及微分环节 则不存在转角频率。积分环节对数幅频特性为一条 通过（ 1， 0）点，斜率为 -20dB/dec的一条斜线， 相频特性始终等于 -90 ；微分环节对数幅频特性 为一条通过（ 1， 0）点，斜率为 +20dB/dec的斜 线，相频特性始终等于 +90 。 35 控制系统的频率特性 第六节 由系统传递函数绘伯德图 掌握了典型环节的 Bode图后，绘制复杂系 统的 Bode图就比较容易，特别是按渐近线绘 制 Bode图是很方便的。 绘制系统 Bode图的基本步骤如下： 1) 由传递函数 G(S)求出频率特性，并将化为 若干典型环节频率特性相乘的形式； 36 控制系统的频率特性 2) 求出各典型环节的转折频率、阻尼比 等参数； 3) 分别画出各典型环节的幅频曲线的渐近线和相频 曲线； 4) 将各环节的对数幅频曲线的渐近线进行叠加，得 到系统幅频曲线的惭近线，并对其进行修正； 5) 将各环节相频曲线叠加，得到系统的相频曲线。 举例说明绘制系统 Bode图的方法和步骤。 举例绘制系统 Bode图的方法和步骤 .doc 37 控制系统的频率特性 绘制系统的对数幅频特性的步骤： 1）将系统传递函数写成标准典型环节串联的形式； 2）确定各典型环节的转折频率，并由小到大将其标 在横坐标上； 3）计算 ，在横坐标上找出 ，纵坐标为 的点； 4）过点（ 1， 20lgK）作斜率为 的斜线， 以后从第一个转折频率开始沿轴向右，每经过一个 转折频率便改变一次斜率，其原则是：如遇惯性环 20 lg K 1 2 0 lg K 2 0 d B /d e c 38 控制系统的频率特性 节的转折频率，则斜率增加；如遇一阶微分环节的 转折频率，斜率增加；如遇振荡环节的转折频率， 斜率增加；如遇二阶微分环节则增加。 5）根据需要，可根据误差修正曲线对渐近线进行修 正，其办法是在同一频率处将各环节误差值叠加， 即可得到精确的对数幅频特性曲线。 6）对数相频特性曲线为各典型环节的相频特性曲线 的叠加。 举例 举例绘制系统 Bode图的方法和步骤 .doc 39 控制系统的频率特性 第七节 最小相位系统 举例绘制系统 Bode图的方法和步骤 .doc 1、最小相位系统 若系统传递函数 G(S)的所有零点和极点均在 S平面 的左半平面，则该系统称为最小相位系统。对于最小相位 系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的变化范 围最小，当 时，其相位角为 。 2、非最小相位系统 若系统传递函数 G(S)有零点或极点在 S平面的右半 平面时，则该系统称为非最小相位系统。对于非最小相位 系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的变化范 围总是大于最小相位系统的相角范围，当 时，其相 位角不等于 。 m、 n分别为 G(S)中分子、分母多项式中 S的最高次幂。 ( ) 9 0nm ( ) 9 0nm 40 控制系统的频率特性 最小相位系统的特点是： 最小相位系统的相频特性和对数幅频特 性间存在着确定的对应关系：即一条对数幅 频特性曲线，只能有一条对数相频特性与之 对应 ，因此，利用 Bode图对系统进行分析时， 对于最小相位系统，往往只画出它的对数幅 频特性曲线就够了。并且 对于最小相位系统， 只需根据其对数幅频特性就能写出其传递函 数。 41 控制系统的频率特性 第八节由系统的对数频率特性求对应的传递函数 在很多情况下，由于实际对象的复杂性，完全从 理论上推导数学模型（或传递函数）及其参数往往很 困难，这时可以采用实验的方法获得系统或过程的传 递函数，并确定其参数。 可以直接利用频率特性测试仪器来测得其频率特 性，由频率特性来求取系统传递函数，这对复杂系统 建模提供了一种有效方法。 42 控制系统的频率特性 根据系统 Bode图确定传递函数的步骤如下： （ 1）根据低频段对数幅频特性渐近线的斜率 确定系统中含有积分环节的个数。当低频段 对数幅频特性渐近线的斜率呈现为 时， 系统即为 型系统。即 是系统中串联积分 环节的个数。 （ 2）根据低频段确定系统的增益，由系统幅 频特性与系统型次的关系可知： 2 0 d B /d e c 43 控制系统的频率特性 a） 0型系统 对数幅频曲线低频部分是一条水 平线 ， 增益满足下式： 2 0 l g 2 0 l g ( )K G j ( 1) 44 控制系统的频率特性 b) 型系统 对数幅频曲线低频部分是斜率为 的直线，增益 K等于该渐近线（或其 延长线）与 0dB线交点处的频率，即 2 0 d B /d e c K 45 控制系统的频率特性 c) 型系统 对数幅频曲线低频段部分是斜 率为 的直线，增益 K的平方根等于 该渐近线（或其延长线）与 0dB线交点处的 频率，即 4 0 d B /d e c K 46 控制系统的频率特性 （ 3）根据对数幅频特性渐近线在转折频率处斜率的 变化，确定系统的串联环节。 （ 4）进一步根据对数幅频特性的形状及参量，计算 二阶振荡环节中的阻尼比 ,或者根据最小相位系统 对数幅频曲线的斜率与相频特性之间的单值对应关 系，检验系统是否串联有延时环节，并计算延时环 节的参量。 举例 举例绘制系统 Bode图的方法和步骤 .doc 47 控制系统的频率特性 第九节 频域分析的 MATLAB实现 实例 频域分析的 MATLAB实现 .doc