成人高考数学双曲线.ppt

一轮复习讲义 双曲线 1 双曲线的概念 (1) 第一定义：平面内到两个定点 F 1 、 F 2 的距离的差的绝对值 等于常数 ( 小于 F 1 F 2 的正数 ) 的点的轨迹叫做 这两个 定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 集合 P M | MF 1 MF 2 | 2 a ， F 1 F 2 2 c ，其中 a 、 c 为常数且 a 0 ， c 0 ： 当 时， P 点的轨迹是双曲线； 当 a c 时， P 点的轨迹是 ； 当 时， P 点不存在 忆 一 忆 知 识 要 点 双曲线 焦点 焦距 ac 两条射线 要点梳理 ( 2) 第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( F 不在 l 上 ) 的距离的比是常数 e ( e 1) 的动点 C 的轨迹叫做双曲线 忆 一 忆 知 识 要 点 2 双曲线的标准方程和几何性质 标准 方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) 图形 要点梳理 范围 x a 或 x a ， y R x R ， y a 或 y a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1 ( a, 0) ， A 2 ( a, 0) A 1 (0 ， a ) ， A 2 (0 ， a ) 渐近线 y b a x y a b x 准线 x a 2 c y a 2 c 离心率 e c a ， e (1 ， ) ，其中 c a 2 b 2 性 质 实虚轴 线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴，它的长 A 1 A 2 2 a ； 线段 B 1 B 2 叫做双曲线的虚轴，它的长 B 1 B 2 2 b ； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 a 、 b 、的关系 c c 2 a 2 b 2 ( c a 0 ， c b 0) 忆 一 忆 知 识 要 点 要点梳理 难点正本 疑点清源 1. 双曲线中 a ， b ， c 的关系 双曲线中有一个重要的 Rt OAB ( 如右图 ) ， 它的三边长分别是 a 、 b 、 c . 易见 c 2 a 2 b 2 ，若记 AOB ，则 e c a 1 c os . 2 双曲线的定义用代数式表示为 | MF 1 MF 2 | 2 a ，其中 2 a F 1 F 2 ，这里要注意两点： ( 1) 距离之差的绝对值 ( 2) 2 a | F 1 F 2 |时，动点轨迹不存在 3 渐近线与离心率 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) 的一条渐近线的斜率为 b a b 2 a 2 c 2 a 2 a 2 e 2 1 . 可以看出，双曲线的渐近线和离心率 的实质都表示双曲线张口的大小 例 1 已知定点 A ( 0,7 ) 、 B (0 ， 7) 、 C ( 12, 2) ，以 C 为一个焦 点作过 A 、 B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程 双曲线的定义 由于椭圆过 A ， B 两点，且以 C 、 F 为焦点，所以可利用椭 圆的定义寻找点 F 所满足的关系 解 设 F ( x ， y ) 为轨迹上的任意一点， A 、 B 两点在以 C 、 F 为焦点的椭圆上， FA CA 2 a ， FB CB 2 a ( 其中 a 表示椭圆的长半轴长 ) ， FA CA FB CB ， FA FB CB CA 12 2 9 2 12 2 ( 5 ) 2 2 ， FA FB 20) ， 即 x 2 k y 2 9 k 1 ，则 k 9 k ( 10 ) 2 ， k 1. 故所求双曲线的方程为 x 2 y 29 1. ( 2) 当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) 渐近线的方程为 y 4 3 x ，并且焦点都在圆 x 2 y 2 100 上， b a 4 3 ， a 2 b 2 100 ， 解得 a 6 ， b 8. 焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 x 2 36 y 2 64 1. 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为 y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) ， 渐近线的方程为 y 4 3 x ，并且焦点都在圆 x 2 y 2 100 上， a b 4 3 ， a 2 b 2 100 ， 解得 a 8 ， b 6. 焦点在 y 轴上的双曲线的方程为 y 2 64 x 2 36 1. 综上，双曲线的方程为 x 2 36 y 2 64 1 或 y 2 64 x 2 36 1. 例 3 中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共 同的焦点 F 1 ， F 2 ，且 F 1 F 2 2 13 ，椭圆的长半轴长与双 曲线实半轴长之差为 4 ，离心率之比为 3 7. ( 1) 求这两曲线方程； ( 2) 若 P 为这两曲线的一个交点，求 c os F 1 PF 2 的值 双曲线的几何性质 ( 1) 分别设出椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0) ，双曲线方程为 x 2 m 2 y 2 n 2 1 ( m 0 ， n 0) ( 2) 由已知条件分别求出 a 、 b 、 m 、 n 的值 ( 3) 利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出 c os F 1 PF 2 . 解 ( 1) 由已知： c 13 ，设椭圆长、短半轴长分别为 a 、 b ， 双曲线实、虚半轴长分别为 m 、 n ， 则 a m 4 7 13 a 3 13 m ， 解得 a 7 ， m 3. b 6 ， n 2. 椭圆方程为 x 2 49 y 2 36 1 ，双曲线方程为 x 2 9 y 2 4 1. ( 2) 不妨设 F 1 、 F 2 分别为左、右焦点， P 是第一象限的一个交 点，则 PF 1 PF 2 14 ， PF 1 PF 2 6 ， 所以 PF 1 10 ， PF 2 4. 又 F 1 F 2 2 13 ， c os F 1 PF 2 PF 21 PF 22 F 1 F 22 2 PF 1 PF 2 10 2 4 2 ( 2 13 ) 2 2 10 4 4 5 . 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角 形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比 较多由于 e c a 是一个比值，故只需根据条件得到关于 a 、 b 、 c 的一个关系式，利用 b 2 c 2 a 2 消去 b ，然后变形求 e ，并 且需注意 e 1. 探究提高 如图，已知 F 1 、 F 2 为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) 的焦点，过 F 2 作垂直于 x 轴 的直线交双曲线于点 P ，且 PF 1 F 2 30 ， 求： ( 1) 双曲线的离心率； ( 2) 双曲线的渐近线方程 变式训练 3 解 ( 1) PF 2 F 1 90 ， PF 1 F 2 30 . 在 Rt PF 2 F 1 中， PF 1 F 1 F 2 c os PF 1 F 2 2 c c os 30 4 3 c 3 ， PF 2 1 2 PF 1 2 3 c 3 ， 又 PF 1 PF 2 2 a ，即 2 3 3 c 2 a ， c a 3 ， e c a 3 . ( 2) 对于双曲线 ， 有 c 2 a 2 b 2 ， b c 2 a 2 . b a c 2 a 2 a c a 2 1 3 1 2 . 双曲线的渐近线方程为 y 2 x . 例 4 过双曲线 x 2 3 y 2 6 1 的右焦点 F 2 ，倾斜角为 30 的直线 交双曲线于 A ， B 两点， O 为坐标原点， F 1 为左焦点 ( 1) 求 AB ； ( 2) 求 AOB 的面积； ( 3) 求证： AF 2 BF 2 AF 1 BF 1 . 直线与双曲线的位置关系 写出直线方程，然后与双曲线方程联 立组成方程组，消去 y 得关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式求 AB ；求 O 到直 线的距离，代入面积公式得 AOB 的面积；最后利用双曲线 的定义求证等式成立 ( 1) 解 由双曲线的方程得 a 3 ， b 6 ， c a 2 b 2 3 ， F 1 ( 3, 0) ， F 2 ( 3,0 ) 直线 AB 的方程为 y 3 3 ( x 3) 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，由 y 3 3 ( x 3 ) ， x 2 3 y 2 6 1 ， 得 5 x 2 6 x 27 0. x 1 x 2 6 5 ， x 1 x 2 27 5 . AB 1 k 2 | x 1 x 2 | 1 3 3 2 ( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 2 4 3 36 25 108 5 16 3 5 . ( 2) 解 直线 AB 的方程变形为 3 x 3 y 3 3 0. 原点 O 到直线 AB 的距离为 d | 3 3 | ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 3 2 . S A OB 1 2 AB d 1 2 16 3 5 3 2 12 3 5 . ( 3) 证明 如图，由双曲线的定义得 AF 2 AF 1 2 3 ， BF 1 B F 2 2 3 ， AF 2 AF 1 BF 1 BF 2 ， 即 AF 2 BF 2 AF 1 BF 1 . 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这 类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直 线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于 x ( 或 y ) 的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解 题设直线与双曲线交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点，直线的 斜率为 k ，则 AB 1 k 2 | x 1 x 2 |. 探究提高 直线 l ： y kx 1 与双曲线 C ： 2 x 2 y 2 1 的右支交于不同的 两点 A 、 B . ( 1) 求实数 k 的取值范围； ( 2) 是否存在实数 k ，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 变式训练 4 解 ( 1) 将直线 l 的方程 y kx 1 代入双曲线 C 的方程 2 x 2 y 2 1 后，整理得 ( k 2 2) x 2 2 kx 2 0. 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点， 故 k 2 2 0 ， ( 2 k ) 2 8 ( k 2 2 ) 0 ， 2 k k 2 2 0 ， 2 k 2 2 0. 解得 k 的取值范围是 2 k 2 . ( 2) 设 A 、 B 两点的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) 、 ( x 2 ， y 2 ) ， 则由 式得 x 1 x 2 2 k 2 k 2 ， x 1 x 2 2 k 2 2 . 假设存在实数 k ，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ( c, 0) 则由 FA FB 得： ( x 1 c )( x 2 c ) y 1 y 2 0. 即 ( x 1 c )( x 2 c ) ( kx 1 1) ( kx 2 1) 0. 整理得 ( k 2 1) x 1 x 2 ( k c )( x 1 x 2 ) c 2 1 0. 把 式及 c 6 2 代入 式化简得 5 k 2 2 6 k 6 0. 解得 k 6 6 5 或 k 6 6 5 ( 2 ， 2 )( 舍去 ) ， 可知存在 k 6 6 5 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 ( 14 分 ) 已知双曲线 x 2 y 2 2 1 ，过点 P ( 1,1) 能否作一条直线 l ， 与双曲线交于 A 、 B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？ 忽视直线与双曲线相交的判断致误 易错警示 学生解答展示 ( 1) 本题属探索性问题若存在，可用点差法求出 AB 的斜 率，进而求方程；也可以设斜率 k ，利用待定系数法求方程 ( 2) 求得的方程是否符合要求，一定要注意检验 审题视角 规范解答 解 设点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 在双曲线上，且线段 AB 的中 点为 ( x 0 ， y 0 ) ， 若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意 2 分 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y 1 k ( x 1) ， 即 y kx 1 k . 4 分 由 y kx 1 k ， x 2 y 2 2 1 ， 得 (2 k 2 ) x 2 2 k (1 k ) x (1 k ) 2 2 0 ( 2 k 2 0) 8 分 x 0 x 1 x 2 2 k ( 1 k ) 2 k 2 . 由题意，得 k ( 1 k ) 2 k 2 1 ，解得 k 2. 10 分 当 k 2 时，方程 成为 2 x 2 4 x 3 0. 16 24 80 ， b 0) 的渐近线方程是 y b a x ， y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0) 的渐近线方程是 y a b x . 4 若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存 在的情况 5 直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双 曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相 切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个 交点 失误与防范 1.平面内与两定点 F1， F2的 距离的差等 于常数 （ 小于 |F1F2|）的点的轨迹是什么？ 2.若常数 2a=0,轨迹是什么 ? 线段 F1F2垂直平分线 4.若常数 2a |F1F2|轨迹是什么？ 轨迹不存在 双曲线的一支 3.若常数 2a=|F1F2|轨迹是什么？ 两条射线 1 F 2 F x y o M 120 2 | |a F F 一、双曲线的定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（ 0 2a 1 , 0 1 ,a a 22 5 .e 21= 1 + ( 1 + ) . a 2 2 2 + 2 + 1aa a 2 12 2 aa 21( 1 + ) ( 1 , 4 ) , a 211 + ( 1 + ) ( 2 , 5 ) a 题型三 离心率问题 【 1】 已知 0,),试讨论 的值变化时 ,方程 x 2cos+y 2sin = 1 表示的曲线的形状 . 解： 当 = 0 时，方程 x 2 = 1 表示两条平行直线； 当 ( 0 , ) 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆； 4 当 ( , ) 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 4 2 当 ( , ) 时，方程表示焦点在 x 轴上的双曲线 2 当 = 时，方程 y 2 = 1 表示两条平行直线 2 当 = 时 ,方程表示圆心在原点，半径为 的圆； 4 2 题型四、 曲线的形状 【 2】 判断方程 表示什么曲线？ 22 193yx kk 39 03 09 )1( kk k k 由 )9,6()6,3( k 当 k ( 3 , 6 ) 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 ; 当 k ( 6 , 9 ) 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 ; (2) 由 9 k = k 3， 得 k = 6； 当 k = 6 时，方程表示圆心在原点的圆 ; (3) 由 ( 9 k )( k 3 ) 0， 得 k 3 或 k 9 当 k ( , 3 ) 时，方程表示焦点在 x 轴上的双曲线 ; 当 k ( 9 , + ) 时，方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 . 【 3 】 ( 2008 年山东 ) 设椭圆 C 1 的离心率为 5 13 ，焦点在 x 轴上且长轴长为 26 ，若曲线 C 2 上的点到椭圆 C 1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 ，则曲线 C 2 的标准方程 为 . 在椭圆 C 1 中，由 2 a 26 ， c a 5 13 ，得 a 13 ， c 5 ， 椭圆 C 1 的焦点为 F 1 ( 5, 0) ， F 2 ( 5, 0) ， 曲线 C 2 是以 F 1 、 F 2 为焦点，实轴长为 8 的双曲线， 椭圆 C 1 的焦点为 F 1 ( 5, 0) ， F 2 ( 5, 0) ， 曲线 C 2 是以 F 1 、 F 2 为焦点，实轴长为 8 的双曲线， 椭圆 C 1 的焦点为 F 1 ( 5, 0) ， F 2 ( 5, 0) ， 曲线 C 2 是以 F 1 、 F 2 为焦点，实轴长为 8 的双曲线 x 2 4 2 y 2 3 2 1 22 12 22 2 1 2 , 1 0 , 0 30 xy F F a b ab F x P P F F 已 知 为 双 曲 线 的 焦 点 ， 过 作 垂 直 于 轴 的 直 线 交 双 曲 线 于 点 ， 且 ， 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 为 _. 【 4】 题型四、 曲线的形状 22 02 22, 0 0 , , 0 , 1 ,ycF c c P c y ab 则方 设法 一 22 02, bby P F aa 解 得 所 以 2 1 2 1 2 1 2 2 33 0 3 , 2 ,bR t P F F P F F F F P F c a 在 所 以 即中 ， 2 2 2 2 2, 2 , 2bc a b b a a 又 故 所 以有 ， 2.yx故 所 求 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 122,P F P F( 方 法 二 ) 1 2 22 , 2 .P F P F a P F a 双 曲 线 的 得定 义 知由 可 2 2 , 2 , bP F b a a a因 为 所 以 222 , 2 ,bba a所 以 所 以 2.yx故 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 2yx答 案 【 1 】 ( 20 08 海南、宁夏 ) 设双曲线 x 2 9 y 2 16 1 的右 顶点为 A ，右焦点为 F . 过点 F 平行于双曲线的一条渐近 线的直线与双曲线交于点 B ，则 AFB 的面积为 _ 题型五、 定值 (长度、角度、比值、面积 ) y F1 F x O A 3215 解析 a 2 9 ， b 2 16 ，故 c 5 ， A ( 3, 0) ， F ( 5, 0) ， 不妨设 BF 的方程为 y 43 ( x 5) ， 代入双曲线方程解得 B ( 175 ， 3215 ) S AFB 12 | AF | | y B | 12 2 3215 3215 . a 2 9 ， b 2 16 ，故 c 5 ， A ( 3, 0) ， F ( 5, 0) ，不妨设 BF 的方程为 y 43 ( x 5) ， 代入双曲线方程解得 B ( 175 ， 3215 ) S AFB 12 | AF | | y B | 12 2 3215 3215 . a 2 9 ， b 2 16 ，故 c 5 ， A ( 3, 0) ， F ( 5, 0) ， 不妨设 BF 的方程为 y 43 ( x 5) ， 代入双曲线方程解得 B ( 175 ， 3215 ) S AFB 12 | AF | | y B | 12 2 3215 3215 . a 2 9 ， b 2 16 ，故 c 5 ， A ( 3, 0) ， F ( 5, 0) ， 不妨设 BF 的方程为 y 43 ( x 5) ， 代入双曲线方程解得 B ( 175 ， 3215 ) S AFB 12 | AF | | y B | 12 2 3215 3215 . 【 2】 已知点 P是双曲线 上除顶点 外的任意一点， F1、 F2分别为左、 右焦点 , c 为 半焦距， PF1F2 的内切圆与 F1F2切于点 M， 则 |F1M|F2M|= _. 22 22 1 yx ab |F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=2a， 又 |F1M|+|F2M|=2c， 解得 |F1M|=a+c， |F2M|=c-a， 从而 |F1M|F2M|=c2-a2=b2. b2 题型五、 定值 (长度、角度、比值、面积 ) 22 004 _ _ _ _ _ . x y P x y Q O P O Q 双 曲 线 上 一 点 （ ， ） 在 双 曲 线 的 一 条 渐 进 线 上 的 射 影 为 ， 已 知 为 坐 标 原 点 ， 则 的 面 积 为 定 值1 0.y x x y 即两 条 渐 近 线 为 ， 0 0 0 0 22 x y x yP Q P R ，又 ， 22 001 1. 24PO Q xy S PQ PR 【 3】 【 4】 双曲线 的两个焦点为 F1 ,F2 ,点 P 在双曲线上 , 若 PF 1 PF 2 , 则点 P 到 x 轴的距离为 _, F 1PF 2 的面积为 _. 2 2 1 4x y 5 5 1 m n 4mn 2 2 2( 2 5 )mn 2mn 1 1 2S m n 5 525 mnh P y F2 F1 x O 设动圆 M的半径为 r，则 1| | 2 ,M C r 2| | 2 ,M C r 12| | | | | | 2 2M C M C 8. 2 , 4 ,ac 2 14.b 22 1 , 0 2 1 4yx x 或 例 6.点 P(8,1)平分双曲线 x2-4y2=4 的一条弦 , 求弦所 在的直线方程 . 解：设弦的两个端点为 A(x1, y1), B(x2, y2), 两式相减得 AB的中点为 P(8,1), AB的直线方程为 2x-y-15=0. 则 22 11 22 22 4 4 , 4 4 , xy xy ，1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0 x x x x y y y y x1+x2=16 , y1+y2=2, .12 12 2yyxx ， .121 2 1 2 1 2 12 ( ) 4 ( ) 0yyx x x x y y xx B A x y o P 题型六、 双曲线的中点弦问题 备用图形 P y F2 F1 x O P y F2 F1 x O 焦点三角形 x y o byxa byxa 2A1A 2B 1B 备用图形 x y O 2 A1A 1F 2F x y o M 1F 2F x y o M y x o x y o