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第二十六讲平面向量的应用 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 回归课本 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1.向量应用的常用结论 (1)两个向量垂直的充要条件 符号表示 :a ba b=0. 坐标表示 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a bx1x2+y1y2=0. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2)两个向量平行的充要条件 符号表示 :若 a b,b0,则 a=b. 坐标表示 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a b (x1,y1)=(x2,y2),即 或 x1y2-x2y1=0. (3)夹角公式 cos= (0 180 ). (4)模长公式 |a|= (a=(x,y). (5)数量积性质 |ab|a|b|. 12 1 ,2xxyy | | | ab ab 2 2 2|a x y Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题 ,是以函数和不等 式为背景的一种向量描述 ,它需要掌握向量的概念及基本 运算 ,并能根据题设条件构造合适的向量 ,利用向量的“数 ” “ 形”两重性解决问题 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2)平面向量与三角函数的整合 ,仍然是以三角题型为背景的 一种向量描述 ,它需要根据向量的运算性质将向量问题转 化为三角函数的相关知识来解答 ,三角知识是考查的主体 . (3)平面向量在解析几何中的应用 ,是以解析几何中的坐标为 背景的一种向量描述 ,它主要强调向量的坐标运算 ,将向量 问题转化为坐标问题 ,进而利用直线和圆锥曲线的位置关 系的相关知识来解答 ,坐标的运算是考查的主体 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (4)平面向量在平面几何中的应用 ,是以平面几何中的基本图 形 (三角形 平行四边形 菱形等 )为背景 ,重点考查平面向量 的几何运算 (三角形法则 平行四边形法则 )和几何图形的 基本性质 . (5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用 ,是以实际问题 为背景 ,考查学科知识的综合及向量的方法 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 注意 :(1)在解决三角形形状问题时 ,回答要全面 准确 ,处理四 边形问题时 ,要根据平行四边形或矩形 菱形 正方形及梯 形的性质处理 . (2)用向量处理物理问题时 ,一般情况下应画出几何图形 ,结合 向量运算与物理实际进行解决 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 考点陪练 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 01 .( 201 0 ) A B C M m , m ( ) A .2 B . . 3 C .4 D .5 M A M B M C AB AC m AM 湖 北 已 知 和 点 满 足 若 存 在 实 数 使 得 成 立 则 0 1 ( ) , 3 , 3 , 3 : M A B C , B. M A M B M C AM AB AC AB AC AM m 解 析 由 得 点 是 的 重 心 选 答案 :B Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3 , |2 .( 2 0 1 0 ) , A B C , A D | 1 , () 3 .2 3 . 2 3 . B, 3 3 A B C B D A D A C A D AB CD 天 津 如 图 在 中 则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. : AD 3, ( A B , 3 ) 3 , 0 , 3 , , A C B C B A B D B A A C A D B D B A A D B D A D B A A D B A A D A C A D B D A D B D A D A B A C A D 解 析 因 为 所 以 又 所 以 所 以 又 所 以 3 3 ( ) 3 2 3 . B D A D A D A B A D A D A B A D 答案 :D Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3 . y 2c os a . ,2 3 6 4 . 2 2 34 . 2 2 34 . 2 2 3 12 () . 2 2 3 12 x x A y c os x B y c os x C y c os x D y c os 将 的 图 象 按 向 量 平 移 则 平 移 后 所 得 图 象 的 解 析 式 为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 , 2 3 6 4 1 22 3 4 6 1 2 2 , 34 : A. x y c os a y c os x c os x 解 析 函 数 的 图 象 按 向 量 平 移 后 所 得 图 象 解 析 式 为 所 以 选 答案 :A Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4.若直线 2x-y+c=0按向量 a=(1,-1)平移后与圆 x2+y2=5相切 , 则 c的值为 ( ) A.8或 -2 B.6或 -4 C.4或 -6 D.2或 -8 解析 :直线 2x-y+c=0,按 a=(1,-1)平移后得直线 2(x-1)-(y+1)+c=0,即 2x-y-3+c=0, 由 d=r,得 得 c=8或 -2. 答案 :A | 3 | 5, 5 c Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 5.已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 a2 +a2009 ,且 ABC三点共线 (该直线不过点 O),则 S2010等于 ( ) A.1005 B.1010 C.2010 D.2015 解析 :由题意知 ABC三点共线 ,则 a2+a2009=1. S2010= =1005 1=1005.故选 A. 答案 :A OB OA OC 1 20 1020 10 ( ) 2 aa Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 类型一 利用向量解决平面几何问题 解题准备 :一般情况下 ,用向量解决平面几何问题 ,要用不共线 的向量表示题目所涉及的所有向量 ,再通过向量的运算法 则和性质解决问题 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 用向量方法解决平面几何问题的 “ 三步曲 ” : 建立平面几何与向量的联系 ,用向量表示问题中涉及的几 何元素 ,将平面几何问题转化为向量问题 ; 通过运算 ,研究几何元素之间的关系 ,如距离、夹角等问题 ; 把运算结果 “ 翻译 ” 成几何关系 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【 典例 1】 如图 ,正方形 OABC两边 ABBC的中点分别为 D和 E,求 DOE的余弦值 . 分析 把 DOE转化为向量夹角 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1 , 2 1 . 2 11 ( ) ( ) 22 11 ( ) . 2 : 4 O D O A A D O A A B O E O C CE O C CB O D O E O A A B O C CB O A O C A B O C O A CB A B CB 解 解 法 一 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 22 22 22 , , 0 , 0. , | | , | | , | | , | | | | O A O C AB C B O A O C AB C B AB O C O A C B AB O C AB AB O A C B O A O A O D O E AB O D O A 又 22 2 2 2 2 22 2 2 | 15 | | | | | | , | | c | | 2. 44 | | | | 4 . 5 5 | | | | | | os D O E | 4 AD AB AB AB O E O D O D oO E AB AB O D O E O D AB Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解法二 :如图建立直角坐标系 ,设 A(2,0),C(0,2),则 D(2,1),E(1,2). Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 2 1 1 2 4 . c os D O | | | | 5 . 44 . 5| E | ( 5 ) O D O E O D O E O D oO E O D O E 故 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 反思感悟 利用向量解几何题 ,关键是将有关线段设为向量 , 不同的设法可出现不同的解法 ;或者建立平面直角坐标系 , 用坐标法解之 .利用向量解平面几何有时特别方便 ,但要注 意一点 ,不宜搞得过难 ,因为高考在这方面要求不高 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 类型二 向量在解析几何的应用 解题准备 :向量与解析几何结合的综合题是高考命题的热点 , 解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化和条件的运 用 .常见技巧有两个 :一是以向量的运算为切入口 ;二是结合 向量的几何意义及曲线的有关定义作转化 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【 典例 2】 在平面直角坐标系 xOy中 ,点 P到两点 的距离之和等于 4,设点 P的轨迹为 C,直线 y=kx+1与 C交于 A,B两点 . (1)写出 C的方程 ; (2)若 求 k的值 ; (3)若点 A在第一象限 ,证明 :当 k0时 ,恒有 (0, 3 ), (0, 3 ) ,OA OB | | | | .O A O B Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 分析 (1)由点 P满足的条件列出等式 ,化简可得 C的方程 ; (2)由 这是解题的突破口 ; (3)证明的关键是写出 再结合题的条件即可求证 . 0,O A O B O A O B 22| | | | ,O A O B Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知 ,点 P的轨迹 C是以 为焦点 ,长半轴为 2的椭圆 . 它的短半轴 故曲线 C的方程为 x2+ ( 0 , 3 ) , ( 0 , 3 ) 222 ( 3 ) 1 ,b 2 1. 4 y Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1 1 2 2 22 12 12 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 A x , y , B x , y , y , k 4 x 2kx 3 0 , x x x x x y y 0. y y k x x k x x 1 , x x 1, yy 4 4 1, 2 , 4 3 . 4 , 3 3 2 1 0 , 444 1 1 0 , k 2 k y x y k x k k x k O A O B kk kkk 设 其 坐 标 满 足 消 去 并 整 理 得 故 若 则 而 于 是 化 简 得 所 以 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 22 2 1 2 2 2 3 : | ( x y ) ( x y ) ( x x ) 4( 1 x 1 x ) 3 x x x x A , x 0. x x x 0 , | | | 6 ( ) . 4 3 , 4 | | | 0. | x x 0. k | , . 0| , O A O B k x x k k O A O B O A O B 证 明 在 第 一 象 限 故 由 知 从 而 又 故 即 在 题 设 条 件 下 恒 有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 类型三 向量在物理中的应用 解题准备 :用向量知识研究物理问题的基本思想和方法是 :(1) 认真分析物理现象 ,深刻把握物理量之间的相互关系 ;(2)通 过抽象 概括 ,把物理现象转化为与之相关的向量问题 ;(3) 利用向量知识解决这个向量问题 ,并获得这个向量的解 ;(4) 利用这个结果 ,对原物理现象作出合理解释 .即用向量知识 圆满解决物理问题 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【 典例 3】 一条河的两岸平行 ,河宽为 d km,一艘船从 A处出发 航行到对岸 ,已知船航行的速度为 |v1| km/h,水流速度为 |v2| km/h.要使船抵达 B的上游 C处且 BC=d km,若取 |v1|=10,|v2|=4,d=2,则用时多少 ? Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 作出位移平行四边形 AGCF,如图所示 ,则 CF=AG=|tv2|, 在 Rt ABF中 , d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2, 即 (|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0, 把 d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式 ,得 84t2-16t-8=0,解得 t0.418(h). Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 类型四 向量在三角形中的应用 解题准备 :平面向量与解三角形的综合题是高考中的一个热 点 .其解题的基本思路是 : (1)在这些问题中 ,平面向量实际上主要呈现为叙述问题的一 种语言或者工具 ,其考查要求并不高 ,解题时要综合利用平 面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2)在解题时 ,既要考虑三角形中的边角关系性质的应用 ;又要 考虑向量的工具性作用 ,如利用向量的模与数量积转化边 长与夹角问题 ;还要注意三角形中边角的向量关系式的表 示形式 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 22 4 A B C S S 3 , . 1; 2 f s in 2 s in c o s 3 c 6, o. 3 s A B B C A B B C 【 典 例 】 已 知 的 面 积 满 足 且 设 与 的 夹 角 为 求 的 取 值 范 围 求 函 数 的 最 小 值 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1 c o s 6 , | S sin 3 ta n , 3 ta n 3 6 , | | | | 6 | | | . 1 , ta n 1 , ( 0 | | , ) , | 2 3 3 3 . 64 A B B C A B B C A B B C c o s A B B C 解 又 即 又 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 m in 2 f 1 2c os sin2 c os2 sin2 2 2 2 2 2 2 , , , , , 4 6 4 3 2 73 , 4 12 4 3 f. 44 2 , 3 sin 由 得 当 时 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 反思感悟 三角形的三边可与三个向量对应 ,这样就可以利用 向量的知识来解三角形了 ,解决此类问题要注意内角与向 量的夹角之间的联系与区别 ,还要注意向量的数量积与三 角形面积公式之间关系的应用 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 类型五 向量在函数不等式中的应用 解题准备 :借助向量的坐标表示 ,将已知条件实数化并转化为 函数问题 ,利用函数的性质解之 .向量主要是通过模与不等 式联系起来 ,常用的工具有均值不等式及 |a b| |a| |b|. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【 典例 5】 设 0|a|2且函数 f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值 为 0,最小值为 -4,且 a与 b的夹角为 45 ,求 |a+b|. 分析 由于已知 =45 ,故可求出 |a|、 |b|后再求 |a+b|. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 2 2 2 2 f x 1 si n x a si nx b 0 a 2 , si nx , a b 1 0 ; si nx 1 , a b 4 . | | | | | | 1. 24 | | 1 24 1 | | 2 ,| | 2 | | 1 0 4 | a b 8 4 a | 2. | | | | 4 2 , 2 2 .b2 aa si nx b a aab b ab 解 当 时 当 时 由 即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 反思感悟 由于已知 f(x)的最值 ,故可结合二次函数的最值确 定 |a|与 |b|的大小 ,再结合 =45 ,可求出 |a+b|.本题充 分体现了函数与不等式思想在向量中的应用 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 错源一 错误地认为 |ab|=|a|b| 【 典例 1】 已知向量 a,b,试比较 |ab|与 |a|b|的大小 . 错解 |ab|=|a|b|. 剖析 设向量 a与 b的夹角为 . 则 ab=|a|b|cos. (1)当 a b时 ,=90 ,ab=0, 所以 |ab|=0,但 |a|b|0, 故有 |ab|a|b|; Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2)当 a与 b同向或反向时 ,cos0 =1,cos180 =-1, 有 |ab|=|a|b|; (3)当夹角 为锐角或钝角时 , |ab|=|a|b|cos|, |cos|1,故有 |ab|a|b|. 正解 综合上述可知 ,|ab|a|b|. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 错源二 “ 共线 ” 运用出错 【 典例 2】 如图 ,半圆的直径 AB=2,O为圆心 ,C是半圆上不同 于 A,B的任意一点 ,若 P为半径 C上的动点 ,则 的 最小值是 _. ()P A P B P C Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 2, 1 | | | | 1 , 2 | 11 , 22 O A B , x 0 x 1 , 2 2x 1 x 2 x 0 x 1 , 0. PA PB PO PO PC AB PC PO PC x 错 解 点 是 的 中 点 设 则 当 或 时 上 式 有 最 小 值 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 剖析 本题的错误在于忽视向量的方向 ,导致了计算上的失误 .向量 虽然共线 ,但其方向相反 ,所以向量运算时 , 一定要看清方向 . ,PO PC Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 2, | | , | | ( ) 2 11 O A B , 1 x 0 x 1 2 (1 ) 2 . , x 22 11 . 22 , PA PB PO PC x PO PA PB PC PO PC x x x 正 解 点 是 的 中 点 设 则 当 时 上 式 有 最 小 值 12 答 案 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 技法一 整体思想 1 , R t A B C , B C a , 2a P Q A , , ?. PQ BC BP C Q 【 典 例 】 如 图 所 示 在 中 已 知 若 长 为 的 线 段 以 点 为 中 点 问 与 的 夹 角 取 何 值 时 的 值 最 大 并 求 出 这 个 最 大 值 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解题切入点 解答本题的关键是要结合图形 ,利用向量的三角 形法则找出向量之间的关系 ;或建立适当的坐标系 ,利用向 量的坐标形式来解答 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 以直角顶点 A为坐标原点 ,两直角边所在直线为坐标轴建 立平面直角坐标系 , 设 B(b,0),C(0,c),所以 b2+c2=a2, 设 P点坐标为 (x,y), 则 Q点坐标为 (-x,-y),且 x2+y2=a2, Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 22 2 22 ( , ) , ( , ) , ( ) ( ) ( ) ( , ) , ( x y bx c y . 2a c os 2bx 2c y2, , a c os a , c os 2 ) , 1 , 0 , 0 BP x b y C Q x y c BP C Q x b x y y c BC b c PQ x y BC PQ BP C Q BP C Q 则 又 而 当 时 有 最 大 值 即 当 ( ) , , 0. PQ BC BP C Q 即 与 的 方 向 相 同 时 最 大 最 大 值 为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 技法二 转化与化归 【 典例 2】 如图所示 ,若点 D是 ABC内一点 ,并且满足 AB2+CD2=AC2+BD2,求证 :AD BC. 解题切入点 借助向量的减法 ,分别表示出向量 ,然后代入已知 条件证明 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 A B C D A C B D , c m b b m c , c m 2m b b b m 2 , , , m c c , 2m c b 0 , . ( ) 0 , 0 , AB c AC b AD m BD AD AB m c C D AD AC m b AD AB AC AD C B 证 明 设 则 即 即 即 A D B C . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
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