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94 瞬时功率和平均功率瞬时功率和平均功率)111()()()(titutp一、瞬时功率和平均功率一、瞬时功率和平均功率 图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，它吸收的功率为的条件下，它吸收的功率为 在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电流是相同频率的正弦电压和电流，即流是相同频率的正弦电压和电流，即)cos(2)cos()()cos(2)cos()(iimuumtItItitUtUtu 其瞬时功率为其瞬时功率为)cos()cos(coscos2yxyxyx)211()22cos(cos )2cos()cos(21 )cos()cos()()()(uiuiummimumtUIUItIUtItUtitutp)22cos(cos)(utUIUItp 其中其中=u-i是电压与电流的相位差是电压与电流的相位差,瞬时功率的波形瞬时功率的波形如图所示如图所示 周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，用平均功率，用P表示，其定义是表示，其定义是)311(cos d)2cos(cos1 d)(1 0 0 UIttUIUITttpTPTiuT 由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效值乘积值乘积UI有关，还与电压电流的相位差有关，还与电压电流的相位差=u-i有关，式中有关，式中的因子的因子cos 称为功率因数称为功率因数。平均功率是一个重要的概念，。平均功率是一个重要的概念，得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功率，就是指它的平均功率，简称为功率。率，就是指它的平均功率，简称为功率。)22cos(cos)(utUIUItp )2 t2cos()(uUIUItp 下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。1.单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。此时单口网络电压与电流相位相同，即此时单口网络电压与电流相位相同，即=u-i=0,cos=1，式，式(112)变为变为 其波形如下图所示。其波形如下图所示。)411(22RURIUIP 瞬时功率瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为图图11-3 电阻的瞬时功率和平均功率电阻的瞬时功率和平均功率2)-(11 )22cos(cos)(utUIUItp)18022sin()9022cos()()22sin()9022cos()(uuCuuLtUItUItptUItUItp 2.单口网络是一个单口网络是一个电感或电容电感或电容，或等效为一个电抗。，或等效为一个电抗。此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即 =u-i=90,cos=0，式，式(112)变为变为 此时平均功率的表达式此时平均功率的表达式(11-3)变为变为)511(0)09cos(UIP 这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平均功率为零。均功率为零。图图11-4 电感和电容的瞬时功率和平均功率电感和电容的瞬时功率和平均功率 其波形如图其波形如图(a)和和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功所示。其特点是在一段时间吸收功率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量。率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量。3.由无源由无源RLC元件构成的单口网络，其相量模型等效元件构成的单口网络，其相量模型等效为一个正值电阻与电抗的串联或一个正值电导与电纳的并为一个正值电阻与电抗的串联或一个正值电导与电纳的并联。其电压电流的相位差联。其电压电流的相位差 在在-90 到到+90 之间变化，功率因之间变化，功率因数数cos 在在0到到1之间变化。之间变化。此时瞬时功率此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化，所吸收的平均随时间作周期性变化，所吸收的平均功率为功率为)611()Re()Re(cos22YUZIUIP 式中的式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。与此相似，式中的与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分是单口网络等效导纳的电导分量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。当单口网络中包含有独立电源和受控源时，计算平均当单口网络中包含有独立电源和受控源时，计算平均功率的式功率的式(113)仍然适用，但此时的电压与电流的相位差仍然适用，但此时的电压与电流的相位差 可能在可能在+90 到到+270 之间变化，功率因数之间变化，功率因数cos 在在0到到-1之间之间变化，导致平均功率为负值，这意味着单口网络向外提供变化，导致平均功率为负值，这意味着单口网络向外提供能量。能量。值得注意的是在用值得注意的是在用UIcos 计算单口网络吸收的平均功计算单口网络吸收的平均功率时，一定要采用电压电流的关联参考方向，否则会影响率时，一定要采用电压电流的关联参考方向，否则会影响相位差相位差 的数值，从而影响到功率因数的数值，从而影响到功率因数cos 以及平均功率的以及平均功率的正负。正负。)711(cosUIP 功率因数功率因数cos 之值与单口网络电压与电流间的相位差之值与单口网络电压与电流间的相位差密切相关，故密切相关，故称称=u-i为功率因数角为功率因数角。二、功率因数二、功率因数 从式从式(113)可见，在单口网络电压电流有效值的乘积可见，在单口网络电压电流有效值的乘积UI一定的情况下，单口网络吸收的平均功率一定的情况下，单口网络吸收的平均功率P与与cos 的大的大小密切相关，小密切相关，cos 表示功率的利用程度，称为功率因数，表示功率的利用程度，称为功率因数，记为记为，它与，它与P和和UI的关系为的关系为 当单口网络呈现纯电阻时，功率因数角当单口网络呈现纯电阻时，功率因数角 为零以及功为零以及功率因数率因数cos=1，功率利用程度最高。当单口网络等效为一，功率利用程度最高。当单口网络等效为一个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性时，功率因数角时，功率因数角=090 以及功率因数以及功率因数cos 1，以致于，以致于PUI。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。力求提高功率因数。例例11-1 图图(a)表示电压源向一个电感性负载供电的电路模表示电压源向一个电感性负载供电的电路模 型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。解：图解：图(a)电路中的电流为电路中的电流为 A1.5324 j3010S1ZUII 其相量图如图其相量图如图(d)所示。单口网络吸收的平均功率为所示。单口网络吸收的平均功率为 W12)1.53cos(210cosUIP 此时的功率因数此时的功率因数=cos=0.6，功率的利用效率很低。，功率的利用效率很低。为了提高功率因数，可以在为了提高功率因数，可以在ab两端上并联一个电容，两端上并联一个电容，如图如图(b)所示。为分析方便，先将电阻与电感串联等效变换所示。为分析方便，先将电阻与电感串联等效变换为电阻和电感的并联，如图为电阻和电感的并联，如图(c)所示，其电导和电纳值由下所示，其电导和电纳值由下式确定式确定 S)16.0 j12.0(434 j34 j31j22BGY 从此式可见，并联的电容的导纳为从此式可见，并联的电容的导纳为YC=j C=+j0.16S时，时，单口网络呈现为纯电阻，可以使功率因数提高到单口网络呈现为纯电阻，可以使功率因数提高到1，即效率，即效率达到达到100。并联电容后，图并联电容后，图(b)和和(c)电路端口的电流变为电路端口的电流变为 A02.16.1 j)6.1 j2.1()()(SCSLSCLC1UYUYUGIIIIIIG 其相量图如图其相量图如图(e)所示，由此可见，并联电容后，不会所示，由此可见，并联电容后，不会影响电阻中的电流和吸收的平均功率影响电阻中的电流和吸收的平均功率P=12W。而端口电流。而端口电流由由2A减小到减小到1.2A，提高了电源的利用效率。可以将节省下，提高了电源的利用效率。可以将节省下来的电流，提供给其它用户使用。来的电流，提供给其它用户使用。2002年春节摄于成都人民公园
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