《环定义与性质》PPT课件.ppt

2020/10/14 11:19 近世代数 第三章 环与域 1 环的定义与性质 2020/10/14 11:19 一、环的定义 R , , , ( ) ( )a b c R a b c a b c , , ,a b c R ( , , )R 定义 1 设 是一个非空集合 . 上定义了两个代数运算“ +” 与“ .” 关于加法构成一个交换群（加群）； (3) 乘法对加法两个分配律成立： 则称 为环 ,或简称 为环 . R (分别称为加法与乘法 ),并且满足 如果在 (1) R (2) 乘法结合律成立： ( ) , ( )a b c a b a c b c a b a c a R 2020/10/14 11:19 说明： ( , )R R 是一个交换群 . 其加法单位元常用 0表示 ,称为环 的零元 . ,aR a a 设 的加法逆元称为 的负元 . 的零元与 的每个元素的负元都是 a ,记作 R R 唯一的 . 2020/10/14 11:19 R e ,e a a e a a R 定义 2 如果环 的乘法还满足交换律 , 为交换环 . 中存在元素 ,使得 则称 为有单位元的环 ,并称 为 的 定义 3 如果环 R R R e R 单位元 . 则称 所有 R的逆元关于乘法作成群，称为 R的单位群。 2020/10/14 11:19 定理 1 R 1R 设 是一个环 ,如果 有单位元 ,则 单位元是唯一的 . 的单位元常记作 . R R a有逆元，则 a的逆元也是唯一的。 记作： 1a 2020/10/14 11:19 例 1 2020/10/14 11:19 例 2 整数集关于数的加法与乘法 构成有单位元的交换环 . 这个环的零元是数 0,单位元是数 1. 这个环称为 整数环 . 同样 ,有理数集 ,实数集 ,复数集关 于数的加法与乘法构成有单位元 的交换环 2020/10/14 11:19 例 3 2020/10/14 11:19 例 5 2020/10/14 11:19 2020/10/14 11:19 例 6 2020/10/14 11:19 例 7 2020/10/14 11:19 二、环的性质 ( ), ,a b a b a b R , , ,a b c a c b a b c R 性质 1. 规定减法 : ，则有移项法则 : 2020/10/14 11:19 aR ( ) ( ) ( ) 00 n n a a a n N n a a a a n N n 如 果 如 果 如 果 , , ,a b R m n Z ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) m a n a m n a m a b m a m b m n a m n a m ab m a b a m b 性质 2. 规定倍数 : 设 , 规定 则有倍数法则 :对任意 2020/10/14 11:19 R ,a b R ( 1 ) 0 0 0 ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) aa aa a b a b a b a b a b 性质 3. 设 为环 , 则对 ,有 2020/10/14 11:19 ,a R n N n n a a a a ( 1 ) ( ) ( 2) m n m n m n m n aa a a a R () n n na b a b 性质 4. 规定方幂 : 设 , 规定 ,则有下列指数法则 : 注意 : 如果环 不是交换环 , 则等式 一般不成立 . 2020/10/14 11:19 , , , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,ija a b R i n j m 11 11 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) nn ii ii nn ii ii n m n m i j i j i j i j a a a a a a a a a b a b m a nb m n a b 性质 5. 广义分配律 : 设 , 则 2020/10/14 11:19 三、子环 R S .SR SR , ,a b S 定义 4 若环 的非空子集 关于环 的加法与乘法也做成环，称 为 的子环 定理 2 R S R ，记作 a , b S a b S 有 例 2 | R a a Z Z 2020/10/14 11:19 例 8 2020/10/14 11:19 例 9 2020/10/14 11:19 例 10 2020/10/14 11:19 2020/10/14 11:19 例 11 2020/10/14 11:19 例 12 2020/10/14 11:19 例 K n ()nMK n 1n 数域 上的全体 阶方阵的集合 关于矩阵的加法与乘法 上的 它的零元为零矩阵 , 单位元为单位矩阵 . 构成环 . 这个环称为数域 K 阶 全阵环 . 当 时 ,这是一个非交换环 , 2020/10/14 11:19 四、特殊类型的环 R a b 0ab 0ba 1. 无零因子环 为环 , 为 的非零元素 . ，使 ，则称 的一个左零因子； ，使 ，则称 的一个右零因子 . 定义 5 设 R 如果存在非零元 a 为 R 如果存在非零元 b a 为 R 左零因子与右零因子统称为零因子 . 不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元 . 2020/10/14 11:19 例 2 ( ) ,M M R 1 1 1 1, 0 0 1 1 AB M 0AB ,AB 设 都是 的非零元 ,而 ,所以 分别为 的左右零因子 . M 2020/10/14 11:19 例 2020/10/14 11:19 例 2020/10/14 11:19 定义 6 一个没有零因子的环称为无零因子环 . R , , , 0a b c R b ab cb ba bc .ac 定理 3 无零因子环 中 ,关于乘法 ,如果 或 ,则 两个 消去律成立 .即设 2020/10/14 11:19 2.整环 1R 10R R 定义 7 一个交换的 ,有单位元 且 的无零因子环 称为整环 . 例 整数环 , 高斯整环 而偶数环为 都是整环 , 无零因子环 . 2020/10/14 11:19 例 2020/10/14 11:19 2020/10/14 11:19 3.除环和域 R 1R ( 0 )aR bR 1 Ra b b a a b 1a 11( ) .aa 定义 8 设 为有单位元 的环 , ,如果存在 ,使得 ,则称 为 的可逆元 ,并称 为 的逆元 . 可逆 , 则 的逆元唯一 , 且 的逆元也可逆 .可逆元 的唯一的 ,且 R a 若 a a a a 逆元记作 2020/10/14 11:19 例 Z 2Z ()nA M K | | 0.A Zi 1 , 1 , ,ii可 逆 元 只 有 的可逆元仅有 1, -1; 由于没有单位元 ,所以它没有可逆元 . 可逆当且仅当 例 试求高斯整环 例 解 的可逆元 . 2020/10/14 11:19 定义 9 R 10 R 设 是有单位元的环 ,且 .如果 中每个非零元都可逆 ,则称 为除环 . R R 交换的除环称为域 . Q C R、 、例 都是域 . 2020/10/14 11:19 例 2020/10/14 11:19 例 2020/10/14 11:19 例 | , Q i a bi a b Q Qi 22 , 0 , 0 ,a b i Q i a b 为域 . 是有单位元的交换环 . 的每个非零元都可逆 . 证明 证明 可证 Qi下证 , 2 2 2 2 , ab i Q i a b a b 令 1, 1 2 2 2 2 , ab i Q i a b a b 故 是 域 2020/10/14 11:19 域的除法 F , , 0a b F b 11ab b a 1 a ab b , , 0a b F b aab b a b b a 设 为域 , 则对任意的 ,有 ，记作 由此可定义域 的 除法 : 设 ,规定 ,称 为以 除 的商 . F 2020/10/14 11:19 ( 1 ) ac ad bcbd 且有下列运算法则 : ( 2 ) a c ad bcb d bd ( 4 ) a c a d adb d b c bc ( 3 ) a c acb d bd 2020/10/14 11:19 2020/10/14 11:19 2020/10/14 11:19