《数学竞赛》第五章几何.ppt

2020/10/13 1 第五章 几 何 5.2 几个重要定理 D Z Y X A B C 一 、 梅涅劳斯 (Menelaus) 定理及逆定理 ： ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 或其延长线上 各 有 一 点 X 、 Y 、 Z （ 延长线上有 1 个或 3 个点 ） ， （ 1 ）若 X 、 Y 、 Z 共线 ，则 B X CY A Z =1 X C Y A Z B ； （ 2 ）若 B X CY A Z =1 X C Y A Z B ，则 X 、 Y 、 Z 共线 2020/10/13 2 5.2 几个重要定理 一、 梅涅劳斯 (Menelaus) 定理及逆定理 ： （ 2 ）若 B X CY A Z =1 X C Y A Z B ，则 X 、 Y 、 Z 共线 应用同一法 题设为 B X CY A Z =1 X C Y A Z B ， 欲证 X 、 Y 、 Z 共线 如图 ，连结 XY 延长交 AB 于 Z ，须证明 Z 与 Z 是 同一点 由（ 1 ）可知， B X C Y A Z =1 XC YA Z B 根据题设又知 B X CY A Z =1 X C Y A Z B 对照两式可得 A Z A Z = Z B Z B ，则 A Z A Z = A B A B ，因此有 A Z = A Z ，即 Z 就是 Z 表明 X 、 Y 、 Z 共线 证毕 Z Z Y X A B C 2020/10/13 3 5.2 几个重要定理 二、 塞瓦 (Ceva) 定理 及逆定理 ： AB C 的三边 BC 、 CA 、 AB 上 各 有 一 点 X 、 Y 、 Z （ 延长线上有 0 个或 2 个 点 ） ，则 AX 、 BY 、 CZ 三线交于一点（或 平行 ）的充要条件是 B X CY A Z =1X C Y A Z B Z Y X A B C CB A X Y Z 2020/10/13 4 5.2 几个重要定理 例 1：证明：在三角形中， （ 1）三条中线交于一点（重心）； （ 2）三条角平分线交于一点（内心）； （ 3）三条边的中垂线交于一点（外心）； （ 4）三条高交于一点（垂心） Z Y X A B C 2020/10/13 5 5.2 几个重要定理 例 2：在 ABC中，设三边 BC、 CA、 AB分别与三角形的 内切圆相切于 X、 Y、 Z，证明： AX、 BY、 CZ交于一点 （葛尔刚（ Gergonne）点 ). Y Z C XB A 2020/10/13 6 5.2 几个重要定理 例 3：如图 5.2.2，过 ABC的三个顶点 A， B， C作它的外接 圆的切线，分别和 BC、 CA、 AB的延长线交于 P,Q， R，求证： P、 Q、 R三点共线（莱莫恩（ Lemoine）线 ). 见课本 P191.例 1 证明： 因为 2 2ABPA C PSB P A BP C S A C A B C P R Q 5.2.2图 同理有 2 2C Q B CQ A B A , 2 2AR C ARB C B 所以 1B P CQ A R P C Q A R B 则 P 、 Q 、 R 三点共线 2020/10/13 7 5.2 几个重要定理 例 2：在 ABC中，设三边 BC、 CA、 AB分别与三角形的内切圆相切于 X、 Y、 Z，证明： AX、 BY、 CZ交于一点（葛尔刚（ Gergonne）点 ). 例 3：如图 5.2.2，过 ABC的三个顶点 A， B， C作它的外接圆的切线，分 别和 BC、 CA、 AB的延长线交于 P,Q， R，求证： P、 Q、 R三点共线（莱莫 恩（ Lemoine）线 ). Y Z C XB A A B C P R Q 5.2.2图 笛沙格（ Desargues）定理 2020/10/13 8 例 4：设 AD是 ABC的高， P为 AD上一点， BP、 CP 的延长线分别交 AC、 AB于 E、 F（图 5.2.7）。 证明： AD平分 EDF 5.2 几个重要定理 见课本 P195.例 5 P 图 5.2.7 DB C F E A N M 证法 1：利用 Ceva定理 2020/10/13 9 例 4：设 AD是 ABC的高， P为 AD上一点， BP、 CP 的延长线分别交 AC、 AB于 E、 F（图 5.2.7）。 证明： AD平分 EDF 5.2 几个重要定理 见课本 P195.例 5 P 图 5.2.7 DB C F E A 证法 2： Q 完全四边形的调和性 10 5.2 几个重要定理 三、 托勒密 (Ptolemy) 定理 ： 四边形 AB CD 内接于圆，则有： AC BD = AB CD + AD BC A B C D E 分析：可设法把 AC BD 拆成两部分，如把 AC 写成 AE + EC ， 这样， AC BD 就拆成了两部分： AE BD 及 EC BD ，于是只要证 明 AE BD = AD BC 及 EC BD = AB CD 即可 证明 : 在 AC 上取点 E ，使 A DE = B DC ， 由 DAE = DB C ，得 AED B C D AE BC = AD BD ，即 AE BD = AD BC 又 A DB = E DC ， A B D = ECD ，得 ABD E C D AB ED = BD CD ，即 EC BD = AB CD + ， 得 AC BD = AB CD + AD BC 2020/10/13 11 例 5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和 . 即：证明 AP=BP+PC 5.2 几个重要定理 B P C A D 证法 1：延长 BP至 D使 PD=PC， 连 CD. 然后证明 AP=BD. 证明 ACP BCD. 2020/10/13 12 例 5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和 . 即：证明 AP=BP+PC 5.2 几个重要定理 B P C A C 证明 ABC CBP. 证法 2：在 AP上取一点 C，使 PC=BP，连 BC. 然后证明 AC=PC. 2020/10/13 13 例 5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和 . 即：证明 AP=BP+PC 5.2 几个重要定理 B P C A 证法 3(托勒密定理 )： BCAP=ACBP+ABPC， 所以 AP=BP+PC 2020/10/13 14 5.2 几个重要定理 = 2 2 2 一 2020/10/13 15 5.2 几个重要定理 五、 西姆松（ Simson ）定理 三角形外接圆周上任意一点在三边（所在直线）上的射影共线 . X Y Z A B C P 1 2 证法一：只需证 1+ 2=180 证法二：应用 Menelaus定理 2020/10/13 16 2020/10/13 17 DB F A P C 习题 5 . 2 1. 如图， F 是 P 的平分线上一点，过 F 作两直线 ,AD BC 分别交 P 的一边于 A 、 C ，交另一边于 B 、 D ，求证： A C P A P C B D P B P D . 1PD BF C ADB FC AP AC PA C FBD PD FB CF PC FB PB A C P A P C B D P B P D Menelaus定理 2020/10/13 18 B D O C F E A 改述为： 如图， ABC中， E、 F分别是 AC、 AB上的点，且 EF BC BE与 CF 交于点 O， AO交 BC于 D，求证： BD=DC. 证法 1 ： （ 塞瓦定理 ） 因 AD 、 BE 、 CF 交于一点，所以有 又 EF BC ， 则 A F A EF B E C ， 1B D C E A FDC E A F B ， 代入上式得 BD = DC . 2020/10/13 19 B D O C F E A 改述为： 如图， ABC中， E、 F分别是 AC、 AB上的点，且 EF BC BE与 CF 交于点 O， AO交 BC于 D，求证： BD=DC. 证法 2 ： 完全四边形的调和性 P 。 (BC,D P)=-1 BD=DC 2020/10/13 20 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 证明四点共圆，通常用下列方法： （ 1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义） （ 2）证明是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点 连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧） （ 3）相交弦定理之逆：若 =O，证明 （ 4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其 余的点对这线段的视角均为直角 2020/10/13 21 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 例通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆， 证明这四圆共点 设 O是四边形的外心， 则 OM AB， ON AD, 因此， A、 M、 O、 N共圆。 2020/10/13 22 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 例 2 密克（ Miquel ）定理： 在三边，所在 直线上分别取，三点，则 ， ， 三个圆共点 . 1 2 3 2020/10/13 23 例 3 见课本 P204.例 1 24 2020/10/13 25 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 例 4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线 段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆 如图：，设是三边 中点，是垂足，是垂心， ，是，的中点 则， 九点共圆 P Q R D F E MN L H B C A 九点圆定理 2020/10/13 26 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 九点圆定理 九点圆的性质 三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半； 三角形的九点圆心、外心、重心、垂心四心共线（欧拉线）； 三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为， ，则 2 1 G O K H B C A P Q R D F E MN L H B C A 2020/10/13 27 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 分别为，则 2 1 G O K H B C A 三角形重心 O A + O B+ O CO G = 3 三角形 垂 心 O H= 3 O G O A+ O B + O C 三角形 九点圆心 11O K O H = ( O A + O B+ O C)22 2020/10/13 28 例 5 . 设 A 1 A 2 A 3 A 4 为 O 的内接四边形， H 1 、 H 2 、 H 3 、 H 4 依 次为 A 2 A 3 A 4 、 A 3 A 4 A 1 、 A 4 A 1 A 2 、 A 1 A 2 A 3 的垂心求 证： H 1 、 H 2 、 H 3 、 H 4 四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心 位置（ 1992 年全国高中数学联赛） 三角形 垂 心 O H = O A + O B + O C 见课本 P205.例 3 2020/10/13 29 5.3 几个典型的几何问题 二、共线点问题 证明三点（，）共线的方法： 1.利用平角：证明 XYZ=180 （或 0 ） 2.证明与平行于同一条直线；证明、同在一定直线上； 证明和某定直线的交点就是 3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等） 4.应用 Menelaus定理 5.利用位似形的性质 对应点连线过位似中心 6.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、帕普斯 （ Pappus ）定理、 帕斯卡（ Pascal）定理等 2020/10/13 30 见课本 P207 2020/10/13 31 证法二：利用二次 曲线的极与极线 . N 例 6：在中以为直径的圆交，于， ，求证：圆在，的切线与高线共点 M H F D E A B C 分析一：设过 E点的切线交 AD于 M， 易证图中三个角相等， 则 ME=MH=MA. 连 FM，须证 FM是圆的切线 作 F点的半径 FO， 只需证 FO FM O 1 2 3 结论为三线共点， 注意到 E、 F的切线就是 E、 F的极线 . AD又是谁的极线？如果找到 AD的极，可利用“共线点的极线共点”证明 之 . 2020/10/13 32 N H F D E A B C P Q “共线点的极线共点” “共点线的极共线” P Q H AP的极 AQ的极 AN的极 2020/10/13 33 N H F D E A B C P Q N P Q H F E A B C 条件“ BC为直径、 H是垂心”有用么？ D 2020/10/13 34 N H F D E A B C P Q N H F D E A B C P Q 圆也可以换 . 2020/10/13 35 5.3 几个典型的几何问题 三、共点线问题 证明三线共点的方法： 1.转化为共线点的问题来证明 2.利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等） 3.应用 Ceva定理 4.利用位似形的性质 对应点连线过位似中心 5.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、布 利安双（ Brianchon）定理等 6.解析法 2020/10/13 36 F B C D H G E A 例（牛顿定理） . 求证 :圆外切四边形对边切点的连线与对角线 四线 交于一点 . 2020/10/13 37 习题 5.3 4.三圆两两相交，则三条公共弦所在直线平行或交于一点 . F B C D E A F B C D E A O1 O2 O3 P F2 F1 2020/10/13 38 E B C D P A 习题 5.3 8. AB是半圆 O的直径，过 A、 B引弦 AC、 BD，并过 C、 D引圆 O的切 线交于点 P.过 P作 PE AB于 E，则 AC、 BD、 PE三线共点 . Q 2020/10/13 39 已知： AB AB， AC AC ， 求证： BC BC. l l C A B C B A P 思考题： 2020/10/13 40 已知： AB AB， AC AC ， 求证： BC BC. A A B C B C P Q R . . . . . . . . . l l C A B C B A 帕普斯（ Pappus ）定理 思考题：