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2020/10/13 1 第五章 几 何 5.2 几个重要定理 D Z Y X A B C 一 、 梅涅劳斯 (Menelaus) 定理及逆定理 : ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 或其延长线上 各 有 一 点 X 、 Y 、 Z ( 延长线上有 1 个或 3 个点 ) , ( 1 )若 X 、 Y 、 Z 共线 ,则 B X CY A Z =1 X C Y A Z B ; ( 2 )若 B X CY A Z =1 X C Y A Z B ,则 X 、 Y 、 Z 共线 2020/10/13 2 5.2 几个重要定理 一、 梅涅劳斯 (Menelaus) 定理及逆定理 : ( 2 )若 B X CY A Z =1 X C Y A Z B ,则 X 、 Y 、 Z 共线 应用同一法 题设为 B X CY A Z =1 X C Y A Z B , 欲证 X 、 Y 、 Z 共线 如图 ,连结 XY 延长交 AB 于 Z ,须证明 Z 与 Z 是 同一点 由( 1 )可知, B X C Y A Z =1 XC YA Z B 根据题设又知 B X CY A Z =1 X C Y A Z B 对照两式可得 A Z A Z = Z B Z B ,则 A Z A Z = A B A B ,因此有 A Z = A Z ,即 Z 就是 Z 表明 X 、 Y 、 Z 共线 证毕 Z Z Y X A B C 2020/10/13 3 5.2 几个重要定理 二、 塞瓦 (Ceva) 定理 及逆定理 : AB C 的三边 BC 、 CA 、 AB 上 各 有 一 点 X 、 Y 、 Z ( 延长线上有 0 个或 2 个 点 ) ,则 AX 、 BY 、 CZ 三线交于一点(或 平行 )的充要条件是 B X CY A Z =1X C Y A Z B Z Y X A B C CB A X Y Z 2020/10/13 4 5.2 几个重要定理 例 1:证明:在三角形中, ( 1)三条中线交于一点(重心); ( 2)三条角平分线交于一点(内心); ( 3)三条边的中垂线交于一点(外心); ( 4)三条高交于一点(垂心) Z Y X A B C 2020/10/13 5 5.2 几个重要定理 例 2:在 ABC中,设三边 BC、 CA、 AB分别与三角形的 内切圆相切于 X、 Y、 Z,证明: AX、 BY、 CZ交于一点 (葛尔刚( Gergonne)点 ). Y Z C XB A 2020/10/13 6 5.2 几个重要定理 例 3:如图 5.2.2,过 ABC的三个顶点 A, B, C作它的外接 圆的切线,分别和 BC、 CA、 AB的延长线交于 P,Q, R,求证: P、 Q、 R三点共线(莱莫恩( Lemoine)线 ). 见课本 P191.例 1 证明: 因为 2 2ABPA C PSB P A BP C S A C A B C P R Q 5.2.2图 同理有 2 2C Q B CQ A B A , 2 2AR C ARB C B 所以 1B P CQ A R P C Q A R B 则 P 、 Q 、 R 三点共线 2020/10/13 7 5.2 几个重要定理 例 2:在 ABC中,设三边 BC、 CA、 AB分别与三角形的内切圆相切于 X、 Y、 Z,证明: AX、 BY、 CZ交于一点(葛尔刚( Gergonne)点 ). 例 3:如图 5.2.2,过 ABC的三个顶点 A, B, C作它的外接圆的切线,分 别和 BC、 CA、 AB的延长线交于 P,Q, R,求证: P、 Q、 R三点共线(莱莫 恩( Lemoine)线 ). Y Z C XB A A B C P R Q 5.2.2图 笛沙格( Desargues)定理 2020/10/13 8 例 4:设 AD是 ABC的高, P为 AD上一点, BP、 CP 的延长线分别交 AC、 AB于 E、 F(图 5.2.7)。 证明: AD平分 EDF 5.2 几个重要定理 见课本 P195.例 5 P 图 5.2.7 DB C F E A N M 证法 1:利用 Ceva定理 2020/10/13 9 例 4:设 AD是 ABC的高, P为 AD上一点, BP、 CP 的延长线分别交 AC、 AB于 E、 F(图 5.2.7)。 证明: AD平分 EDF 5.2 几个重要定理 见课本 P195.例 5 P 图 5.2.7 DB C F E A 证法 2: Q 完全四边形的调和性 10 5.2 几个重要定理 三、 托勒密 (Ptolemy) 定理 : 四边形 AB CD 内接于圆,则有: AC BD = AB CD + AD BC A B C D E 分析:可设法把 AC BD 拆成两部分,如把 AC 写成 AE + EC , 这样, AC BD 就拆成了两部分: AE BD 及 EC BD ,于是只要证 明 AE BD = AD BC 及 EC BD = AB CD 即可 证明 : 在 AC 上取点 E ,使 A DE = B DC , 由 DAE = DB C ,得 AED B C D AE BC = AD BD ,即 AE BD = AD BC 又 A DB = E DC , A B D = ECD ,得 ABD E C D AB ED = BD CD ,即 EC BD = AB CD + , 得 AC BD = AB CD + AD BC 2020/10/13 11 例 5:等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中,最长的等于其余两线的和 . 即:证明 AP=BP+PC 5.2 几个重要定理 B P C A D 证法 1:延长 BP至 D使 PD=PC, 连 CD. 然后证明 AP=BD. 证明 ACP BCD. 2020/10/13 12 例 5:等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中,最长的等于其余两线的和 . 即:证明 AP=BP+PC 5.2 几个重要定理 B P C A C 证明 ABC CBP. 证法 2:在 AP上取一点 C,使 PC=BP,连 BC. 然后证明 AC=PC. 2020/10/13 13 例 5:等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中,最长的等于其余两线的和 . 即:证明 AP=BP+PC 5.2 几个重要定理 B P C A 证法 3(托勒密定理 ): BCAP=ACBP+ABPC, 所以 AP=BP+PC 2020/10/13 14 5.2 几个重要定理 = 2 2 2 一 2020/10/13 15 5.2 几个重要定理 五、 西姆松( Simson )定理 三角形外接圆周上任意一点在三边(所在直线)上的射影共线 . X Y Z A B C P 1 2 证法一:只需证 1+ 2=180 证法二:应用 Menelaus定理 2020/10/13 16 2020/10/13 17 DB F A P C 习题 5 . 2 1. 如图, F 是 P 的平分线上一点,过 F 作两直线 ,AD BC 分别交 P 的一边于 A 、 C ,交另一边于 B 、 D ,求证: A C P A P C B D P B P D . 1PD BF C ADB FC AP AC PA C FBD PD FB CF PC FB PB A C P A P C B D P B P D Menelaus定理 2020/10/13 18 B D O C F E A 改述为: 如图, ABC中, E、 F分别是 AC、 AB上的点,且 EF BC BE与 CF 交于点 O, AO交 BC于 D,求证: BD=DC. 证法 1 : ( 塞瓦定理 ) 因 AD 、 BE 、 CF 交于一点,所以有 又 EF BC , 则 A F A EF B E C , 1B D C E A FDC E A F B , 代入上式得 BD = DC . 2020/10/13 19 B D O C F E A 改述为: 如图, ABC中, E、 F分别是 AC、 AB上的点,且 EF BC BE与 CF 交于点 O, AO交 BC于 D,求证: BD=DC. 证法 2 : 完全四边形的调和性 P 。 (BC,D P)=-1 BD=DC 2020/10/13 20 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 证明四点共圆,通常用下列方法: ( 1)证诸点到一定点的距离相等(圆的定义) ( 2)证明是圆内接四边形(或证对角互补,或证某两点视另两点 连线段的视角相等,当然这两点要在这线段的同侧) ( 3)相交弦定理之逆:若 =O,证明 ( 4)直径所对圆周角是直角:如果其中某两点的连线段为直径,可证明其 余的点对这线段的视角均为直角 2020/10/13 21 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 例通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆, 证明这四圆共点 设 O是四边形的外心, 则 OM AB, ON AD, 因此, A、 M、 O、 N共圆。 2020/10/13 22 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 例 2 密克( Miquel )定理: 在三边,所在 直线上分别取,三点,则 , , 三个圆共点 . 1 2 3 2020/10/13 23 例 3 见课本 P204.例 1 24 2020/10/13 25 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 例 4:三角形三边中点,三垂足,垂心与三顶点连线 段的中点,这九点共圆,称为这三角形的九点圆 如图:,设是三边 中点,是垂足,是垂心, ,是,的中点 则, 九点共圆 P Q R D F E MN L H B C A 九点圆定理 2020/10/13 26 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 九点圆定理 九点圆的性质 三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半; 三角形的九点圆心、外心、重心、垂心四心共线(欧拉线); 三角形的外心,重心,九点圆圆心,垂心分别为, ,则 2 1 G O K H B C A P Q R D F E MN L H B C A 2020/10/13 27 5.3 几个典型的几何问题 一、共圆点问题 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 分别为,则 2 1 G O K H B C A 三角形重心 O A + O B+ O CO G = 3 三角形 垂 心 O H= 3 O G O A+ O B + O C 三角形 九点圆心 11O K O H = ( O A + O B+ O C)22 2020/10/13 28 例 5 . 设 A 1 A 2 A 3 A 4 为 O 的内接四边形, H 1 、 H 2 、 H 3 、 H 4 依 次为 A 2 A 3 A 4 、 A 3 A 4 A 1 、 A 4 A 1 A 2 、 A 1 A 2 A 3 的垂心求 证: H 1 、 H 2 、 H 3 、 H 4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心 位置( 1992 年全国高中数学联赛) 三角形 垂 心 O H = O A + O B + O C 见课本 P205.例 3 2020/10/13 29 5.3 几个典型的几何问题 二、共线点问题 证明三点(,)共线的方法: 1.利用平角:证明 XYZ=180 (或 0 ) 2.证明与平行于同一条直线;证明、同在一定直线上; 证明和某定直线的交点就是 3.利用已知的共线点定理(如欧拉线、西姆松线等) 4.应用 Menelaus定理 5.利用位似形的性质 对应点连线过位似中心 6.利用射影几何有关定理:德萨格( Desargues )定理、帕普斯 ( Pappus )定理、 帕斯卡( Pascal)定理等 2020/10/13 30 见课本 P207 2020/10/13 31 证法二:利用二次 曲线的极与极线 . N 例 6:在中以为直径的圆交,于, ,求证:圆在,的切线与高线共点 M H F D E A B C 分析一:设过 E点的切线交 AD于 M, 易证图中三个角相等, 则 ME=MH=MA. 连 FM,须证 FM是圆的切线 作 F点的半径 FO, 只需证 FO FM O 1 2 3 结论为三线共点, 注意到 E、 F的切线就是 E、 F的极线 . AD又是谁的极线?如果找到 AD的极,可利用“共线点的极线共点”证明 之 . 2020/10/13 32 N H F D E A B C P Q “共线点的极线共点” “共点线的极共线” P Q H AP的极 AQ的极 AN的极 2020/10/13 33 N H F D E A B C P Q N P Q H F E A B C 条件“ BC为直径、 H是垂心”有用么? D 2020/10/13 34 N H F D E A B C P Q N H F D E A B C P Q 圆也可以换 . 2020/10/13 35 5.3 几个典型的几何问题 三、共点线问题 证明三线共点的方法: 1.转化为共线点的问题来证明 2.利用已知的共点线定理(如外心、内心、重心、垂心等) 3.应用 Ceva定理 4.利用位似形的性质 对应点连线过位似中心 5.利用射影几何有关定理:德萨格( Desargues )定理、布 利安双( Brianchon)定理等 6.解析法 2020/10/13 36 F B C D H G E A 例(牛顿定理) . 求证 :圆外切四边形对边切点的连线与对角线 四线 交于一点 . 2020/10/13 37 习题 5.3 4.三圆两两相交,则三条公共弦所在直线平行或交于一点 . F B C D E A F B C D E A O1 O2 O3 P F2 F1 2020/10/13 38 E B C D P A 习题 5.3 8. AB是半圆 O的直径,过 A、 B引弦 AC、 BD,并过 C、 D引圆 O的切 线交于点 P.过 P作 PE AB于 E,则 AC、 BD、 PE三线共点 . Q 2020/10/13 39 已知: AB AB, AC AC , 求证: BC BC. l l C A B C B A P 思考题: 2020/10/13 40 已知: AB AB, AC AC , 求证: BC BC. A A B C B C P Q R . . . . . . . . . l l C A B C B A 帕普斯( Pappus )定理 思考题:
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