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2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 1 第三章 控制系统的时域分析 作者： 浙江大学 邹伯敏 教授 自动控制理论 普通高等教育“九五”部级重点教 材 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 2 第一节 典型的试验信号 典型的试验信号一般应具备两个条件 自动控制理论 （ 1）信号的数学表达式要简单 （ 2）信号易于在实验室中获得 一、阶跃输入 图 3-1 s1 R1 00 sRR 它的拉氏变换为则称为单位阶跃信号，常量式中 ，。， 0 t 0 t0 0R tr 二、斜坡信号 0v t t 0rt 0 t 0 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 3 自动控制理论 三、等加速度信号 20 11 sv 拉氏变换为，称为单位斜坡信号，若 等加速度信号是一种抛物线函数，其数学表达式为 300 11aa s号，拉氏变换为，称为单位等加速度信常数，若 2 0 0 t 0 1rt a t t 0 2 四、脉冲信号 图 3-2 0 t 0rt H 0 t 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 4 表示之函数，并用 为单位理想脉冲，则称，若时，记为当 t tt 1H 五、正弦信号 tAtr s in 自动控制理论 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 5 第二节 一阶系统的时域响应 11G TSsR sCs 一阶系统的方框图如图 3-3所示，它的传递函数为 图 3-3 自动控制理论 一、单位阶跃响应 则令 ss 1R T S T STsS sC 1 11 1 1 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 6 0 . 6 3-1TC 1 Te 阶跃 响应曲线 C（ t）上升到其终值的 63.27，对应的时间就是系统的时间 常数 T 自动控制理论 tTetC 11 :时，则有当 tT 二、单位斜坡响应 则令 21R ss TS1 TST11 1 222 STsSsC tTeTttC 11 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 7 Te s s t telim 自动控制理论 tTeTtCtr 11te 三、单位脉冲响应 ，则系统的输出令 tstr TS TsGsC 1 1 tTeTsGLsg 11 1 线性定常系统的性质 （ 1）一个输入信号导数的时域响应高于该输入信号的时域响应的导数 （ 2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的时域响应的积分 结论 ： 了解一种典型信号的响应，就可据知于其它信号作用下的响应。 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 8 第三节 二阶系统的时域响应 一、传递函数的导求 图 3-6 KFSJs K s s FJSS K s R Suj KKK R C eSu fF KV r c Ap crpe 2 0 G : 开环传递函数 系统的开环传递函数 7中-图3 自动控制理论 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 9 图 3-7 图 3-6所示系统的框图及简化框图 自动控制理论 二、二阶系统的单位阶跃响应 标准形式： 13-3 2 22 2 n n n sssR sC 率为系统的无阻尼自然频为系统的阻尼比; n 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 10 图 3-8 二阶系统的框图 自动控制理论 10 欠阻尼1、 dnnn jj 21 . 2 1s 则,令 ssR 1 222 2222 1 dn n dn n dn n ss s ssssC 0t s i n 1 c o s1 2 ttetC ddtn 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 11 则时,当 njs 2.10 自动控制理论 0t 1a r c t a ns i n 1 11 2 2 tetC d tn 或写作 ttC dc o s1 2、 1 临界阻尼 ns 2.10 时,当 22nn2 2 nn n 11C s ssss s tn nettC 11 图 3-9 二阶系统的实极点 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 12 tt nn eAeAtC 1312 221 自动控制理论 3、 1过阻尼 1s 21 .2 nn 11 2 232212 2 2 nnnndn n s A s A s A ssssC 11 A 112 1 222 A 112 1 223 A 二阶过阻尼系统的近似处理 1 1 2 2 1 1 nn nn sss s sR sC 则,令 ssR 1 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 13 自动控制理论 11111 222 nnnn nn sssssC tnetC 121 n 1 , 2如 令 , tt eetC 027.073.3 077.1077.01 tetC 27.01 近似计算值： 三、二阶系统阶跃响应的性能指标 1、上升时间 当被控制量 c(t)首次由零上升到其稳态值 所需的时间 ,称上升时间 tr。 图 3-13 二阶系统瞬态响应的性能指标 1s in1 11 2 rdtr tetc rn 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 14 21 a r c t a n d rt 自动控制理论 求得： 2、峰值时间 瞬态响应第一次出现峰值的时间叫峰值时间 ,用 tp表示 n p n p p tt t t n d p n d p dc t 1 e sin t e c os t 0 dt 1 pddpdn ttin c os 22 dp dp 11t a n( t ) , t a n t 0 2 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 15 自动控制理论 处，即t系统最大峰值出在 pd d pt 3、超调量 Mp 图 3-14 二阶系统的关系曲线 c ctc c ctcM pp p 100 p或M 11 etcM pp 4、调整时间 ts 阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值 的误差 范围 ,并且从此不现超越这个范围的时间称为 系统调整时间 ,用 ts表示之，其中 为 5%或 2%。 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 16 Tt n s 4 402.0 时, 自动控制理论 21 sn te 令 求得： 21 1ln1ln1 nst 近似计算： Tt ns 3305.0 时, 5、稳态误差 定义： 时，系统的参考输入与输出之间的误差 t sse sse0 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 17 nnn n ssss sss sssssEe 2 1 2 2limlim 22200 自动控制理论 222 12 21 1 sss sssRsGsE nn n 四、二阶系统阶的动态校正 1、比例微分 (PD)校正 校正前图 3-7b所示系统的特征方程为： 33-3 02 KfsJs 图 3-15 具有 PD校正的二阶系统 对应的 KJ F J K n 2 , 校正后，系统特征方程为： 34-3 02 pd KsKFJs 则,令 21, ssRttr 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 18 调节 Kp值 ,使之满足稳态误差 ess要求 ,然后调节 Kp值使之满足 的要求。 为但校正后的系统的阻尼, J K 都为校正前后的 则系统,K若令K,从面增大了系统的阻尼的负转矩, dt dc 轴上加了一个量值为K 它表示在电动机的s项,中增加了K可知校正后的系统方程,34-3和33-3对比式 n pd d 自动控制理论 JK KF p d 2 2、测速反馈校正 图 3-16 随动系统框图 图 3-17 图 3-16的等效图 J Ks J KKF s J K KsKKFJs K sR sC h h 2 2 22 2 2 nn n ss 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 19 K KKF e K KKF ttC tr h ss h 系统的稳态输出时当 , 自动控制理论 KJ KKFJK h n 2, 例 3-1 图 3-18 控制系统的框图 图 3-19 图 3-18的等效图 零斜坡输入的稳态误差为 系统跟踪试证明当t时,当r ,2 n dK 22 2 2 1 nn nd ss sK sR sC 解： 据此画出图 3-19。 d n K tCtCtC 2-t 21 0,2 ss n d etrttCK 当 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 20 第四节 高阶系统的时域响应 设高阶系统闭环传递函数的一般形式 43-3 , 42-3 , 21 21 1 1 1 1 1 10 mn pspsps zszszsK mn asasas bsbsbsb sR sC m m nn nn mm mm 自动控制理论 则,令 s1sR r k nknkk k nkknkk q j j q j r k nknkk m i ss CsB ps s A sspss zsK sC 1 22 2 1 0 1 1 22 1 1 1 2 1 2 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 21 nrq 0 t, 1s i n 1c os 2 1 2 11 0 式中 teC teBEAAtC k nk r k t k k nk r k k k q j tp j nkk t nkkj 自动控制理论 即： （ 1）高阶系统的时域响应瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶震荡环节的响应 分量合成，其中控制信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量， 传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量 结论 （ 2）系统瞬态分量的形式由闭环胡点的性质决定，调整时间的长短主要取决 于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分量幅值的大小正负和符号 的正负 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 22 （ 3）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很近，则其产生的瞬 态分量可略去不计 （ 4）如果闭环传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，则该极 点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去 （ 5）如果所有闭环极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时 间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。闭环极点均位于 S左半平 面系统，称为稳定系统 （ 6）如果闭环极点中有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附 近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴 距离大 5倍以上，则称此对极点为系统的主导极点 自动控制理论 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 23 第六节 线性定常系统的稳定性 稳定的充要条件 设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它 在瞬间受到某一扰动而偏听偏离了原有的平衡 状态。当此扰动撤消后，系统借助于自身的调 节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回 到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反 之，则称为不稳定。如图 3-30所示。 稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信 号无关只取决其本身的结构和参数 自动控制理论 图 3-30 系统稳定、不稳 定时根的分布 用系统的单位脉冲响应函数 来描述系统的稳定性 tg 如果 0lim tgt 则系统是稳定的 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 24 便改写为433则式 对其复数极点点,闭环系统有q 个实数极令 ;1, sRttr r k nknkk k nkknkk q j j q j r k nknkk m i ss CsB ps A sspss zsK sCsG 1 22 2 1 1 1 1 22 1 1 1 2 1 2 自动控制理论 0,1s i n 1c o s 22 11 teCteBeAtg knk t kknk r k k k q j tp j nkk tnkkj 0lim tgt若 ，表示方程的所有根全位于 S平面的左方，这是系统稳定的充要 条件。它不仅是零输入时系统稳定的充要条件，而且也是在给定信号作用下 系统稳定的充要条件 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 25 稳定的必要条件 令系统特征方程为 0,0 01110 aasasasa nnnn 如果方程所有的根均位于 S平面的左方，则方程中多项系数均为正值， 且无零系数。对此说明如下： 02 2 0 2 2 2 22 2 2 1 2 11 2 210 22 1111210 221121 22 a a sas saspspsa jasjas jasjaspspsa 、ja、ja，、p、p 即 为都为正值，则上式改与、a和a、p其中p 为复数根。为实数根设 2121、自动控制理论 由于上式等号右方所有因式的系数都为正值，因而它们相乘后 S的多次 项示数必然都为正值，且不会有零系数出现。 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 26 对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值是 系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统，特征 方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而非充分 条件。 自动控制理论 结论 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 27 第七节 劳斯稳定判据 令系统特征方程为 0,0 01110 aasasasa nnnn 排劳斯表： 1 0 21 1 321 2 321 3 4321 2 7531 1 6420 f e e d d d c c c b b b b a a a a a a a a s s s s s s s n n n n 自动控制理论 , b baabc, b baabc, b baabc , a aaaab, a aaaab, a aaaab 1 4171 3 1 3151 2 1 2131 1 1 7061 3 1 5041 2 1 3021 1 表中 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 28 结论 （ 1）若表中第一列的系数均为正值 ,则系统稳定 （ 2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该 特征方程式的根在 S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定 自动控制理论 例 3-6 一调速系统的特征方程为 40 1 42 3 423 103.2 s 38.5- 103.2 41.5 0 517 1 0103.25175.41 s s s sss 由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在 S的 右半平面，因而系统是不稳定的 例 3-7 已知系统的特征方程为 011 6 7 05 1 75.41 23 Ksss 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 29 求系统稳定的 K值范围 K16701 s 0 4 1 .5 K16701-5174 1 .5 K16701 4 1 .5 0 517 1 0 1 2 3 s s s 自动控制理论 9.111 0K16701 0K16701-51741 .5 K 欲使系统稳定则应满足 排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况： 1）劳斯表中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不全 为零。解决的办法是以一个很小正数 来代替为零的这项。然后 完成劳斯表的排列 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 30 结论： 如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一 对其它虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于 该方程在 S平面右方根的数目。 自动控制理论 例 3-8 已知系统的特征方程为 022 23 sss ，试判别相应系统的稳定性 解： 列劳斯表 2 s 0 0 2 2 0 1 1 0 1 2 3 s s s 方程中有对虚根，系统不稳定。 例 3-9 已知系统的特征方程为 0233 ss ，试用劳斯判据确定方程式的根在 S平面上的具体分布 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 31 解： 列劳斯表 2 s 2-3- 0 2 0 0 3- 1 0 1 2 3 s s s 2）如果劳斯表的某一行中所有的系数都为零，则表示相应方程中含有一 些大小相等，径向位置相反的根。 结论：有两个根在 S的右半平面。 自动控制理论 例： 01616201282 123456 ssssss 劳斯列表： 0 0 0 s 0 16 12 2 0 16 12 2 0 16 20 8 1 3 4 5 6 s s s 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 32 自动控制理论 16122sP 24 ss令 248sP 3 ss ds d 0 38 1s 61 s0 j；j；j 1s2s2s 6、54、32、1 24 8 3s 16 6 2s 例 3-10 用劳斯判据检验下列方程 0413102 23 sss 是否有根在 S的右半平面上，并检验有几个根在垂直线 S=-1的右方？ 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 33 解： 列劳斯表 4 s 1 2 . 2 10 81 3 0 4 01 13 2 0 1 2 3 s s s 1 z 0 2 1 0 1- 4 0 1- 2 01-z-4z2z 0 1 2 3 23 z z z 有一个根在垂直线 S=-1的右方。 自动控制理论 代入方程又令 1 zs 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 34 第八节 控制系统的稳态误差 sHsG1 limlim sR sHsG1 1 E sCsH-sRE 00 sSR sSEe s s ss ss 稳态误差的定义 图 3-31 给定输入下的稳定误差 mnsTsTsTs sssKsHs vn v m ,111 111G 21 21 令 自动控制理论 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 35 1、阶跃输入 0 sseI 型及I 型以上系统 自动控制理论 sRsRRtr 00 常量，令 pss ss K R sHsG RsSEe 1lim1lim 0 0 0 0 sHsGK sp 0lim 静态位置误差系数 K00 pK型系统 pI 1 K I型 及 以 上 系 K R K Re p ss 11 00 O 型系统 2、斜坡信号输入 图 3-32 2000 , s VsRVtVtr 常量，令 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 36 0 K 0 -lim 0 0 ssv ssv ssv s v eK K V eK eK sHsSGK 型系统 I 型系统 O型 系统 静态速度误差系数 自动控制理论 0ss s0 v Ve lim S E s K 3、抛物线信号输入 图 3-33 静态加速度误差系数-sHsGSK K asSEe sa a sss 2 0 0 0 lim lim 30020 ,21 sasRatatr 常量，令 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 37 0a s s aK K e KII型 系 自动控制理论 ssa eK 0O 型、I 型系统 扰动作用下的稳定误差 图 3-34 ，则令 0R s sDss ss 21 2 D GG1 G-C 21 222111 G ,G vv s sWKs s sWKs 令 sDss sssEe sDssd 21 2 00 GG1 SGlimlim sDss sssE D 21 2 D GG1 GC 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 38 ，则其中 1, 2121 oWoWvvv 1、 0型系统 (v=0) 1 0 21 02 1 K D KK DKe sd 自动控制理论 vs sWsWKKsss 212121 G G G sDsWsWKKs sWKssE v vD 2121 221 sDsDDtd 00 , 令 2、 型系统 (v=1) sDsDvv 021 ,0,1 令1） 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 39 1 0 K ve sd sde 自动控制理论 s D sWsWKKS sWSKSe ssd 0 2121 22 0lim ，则如 20 , td sDsDv sDsDvv 021 ,1,0 令2） 1 0 K De sd ，则 如 20 sDsD 3、 型系统 (v=1) 0,0,2 2021 sdesvsDvv ，令1） 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 40 ,2,0 2021 sdesvsDvv ，令 自动控制理论 1 02021 Kv,1,1 sdesvsDvv ，令2） 3） 提高系统稳态精度的方法 1、对扰动进行补偿 ssG D 1G 1 图 3-35 ，则令 0R s 2 1 D D 12 G s G s G s - 1C D s 1 G s G s 全补偿条件： 2020/10/13 第三章 控制系统的时域分析 41 2、对输入进行补偿 sRsC 图 3-36 自动控制理论 D s 0令 ， RG s 1 G sC s R s1 G s ，则如： ssG G 1R
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