《数学分析曲线积分》PPT课件.ppt

17.3 Green 公式 (I) （ George Green， 1793 1841） 一、 Green公式及简单应用 二、 曲线积分与路径无关性 三、 二元函数的全微分求积 主 要 内 容 一、 Green公式及简单应用 复连通区域 单连通区域 区域连通性的分类 .1 , 为平面区域设 D 内任一闭曲线如果 D , D所围成的部分都属于 为平面单连则称 D ;通区域 .否则称为复连通区域 D D 公式G reen .2 定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成 , 则有 L D Q d yP d xd x d yyPxQ )( 其中 L 是 D 的取正 方 向的边界曲线 . 公式 G r een ),(),( yxQyxP 及在 D 上具有一阶连续偏导数 , 函数 注： 的正方向的边界曲线 LD ,当人沿边界行走时 .)( 的左侧他总在她区域 D 负方向 ? 右侧 D D L D Q d yP d xd x d yyPxQ )(待证表达式 L D Q d yd x d yxQ L D P d xd x yyP 等价于证明 型区域y 型区域x 分析： 证明依赖于区域的形状 单连通 复连通 型又既 yx 一般区域 o x y D a b )(1 xy )(2 xy c d )(2 yx )(1 yx A B C E 证明 : 1 . 若区域 D 既是 x 型 又是 y 型区域 , 即平行于坐标轴的直 线和 L 至多交于两点 . ),()(),( 21 bxaxyxyxD ),()(),( 21 dycyxyyxD o x y D c d )(2 yx )(1 yx A B C E D dxdyxQ dcdc dyyyQdyyyQ ),(),( 12 CAECBE dyyxQdyyxQ ),(),( EACCBE dyyxQdyyxQ ),(),( L dyyxQ ),( dxxQdy yydc )( )(2 1 同理可证 L D dxyxPd x d yyP ),( 两式相加得 L D Q d yP d xd x d yyPxQ )( L D 2 . 若区域 D 由 一条 按段光滑的闭曲线围成 . 1D 2D3D 321 )()( DDDD dxdyyPxQdxdyyPxQ 型型又是分成三个既是用光滑曲线将 yxD ., 321 DDD的区域 L D 1L 2L3L 1D 2D3D 321 )()()( DDD d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ 321 LLL QdyP dxQdyP dxQdyP dx L Q d yP d x 3 . 若区域不止由一条闭曲 线所围成 . G F C E 3L 2L 1L A B 添加直线段 AB , CE . , 2 BALABD 的边界线由则 C G AEC 及 , 3LCEAFC .构成 D d x d yyPxQ )( CEA F CBALAB 2 C G AECL QdyP dx )(3 , 2 知由 L Q d yP d x 2 3 1 )( L L L Q d yP d x 格林公式的实质 : 沟通了沿闭曲线的积 分 与二重积分之间的联系 . . L D QdyP dxd xd y QP yx :便于记忆的形式 D 简单应用 .3 例 1 计算 AB xdy , 其中曲线 AB 是半径为 r 的圆 在第一象限部分 . x y o L A B 解 引入辅助曲线 L , BOABOAL 应用格林公式有 ： L D xdydxdy BOABOA xdyxdyxdy .41 2rd x d yx d y D AB 简化曲线积分 )1( 1987年考研试卷一，一 (4) 18 L xx dyaxyedxyxbyeI )c o s()(s i n( 3 求例 ).00(2)0,2( 2 ，到沿曲线从点其中 OxaxyaAL . ) 4 ( ) 2 2 ( , 9 2 2 2 2 L dy x x dx y xy I y x L 求 取正向的圆周 设 例 1999年考研试卷一，四 例 4 计算 L yx y dxxdy 22 , 其中 L 为一条无重点 , 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 , L 的方 向为逆时针方向 . 则当 022 yx 时 , 记 L 所围成的闭区域为 D , 解 令 2222 , yx xQ yx yP , 有 y P yx xy x Q 222 22 )( . (1) 当 D)0,0( 时 , x y o L D由格林公式知 .022 L yx yd xx d y L (2) 当 D)0,0( 时 , 1D r l 作位于 D 内圆周 222: ryxl , 记 1D 由 L 和 l 所围成 , 应用格林公式 , 得 y x o ( 其中 l 的方向取逆时针方向 ) lL yx y dxxdyyx y dxxdy 2222 x y o r 1Dl L 02222 lL yx y dxxdy yx y dxxdy .2 (注意格林公式的条件 ) dr rr 2 2222 s i nc o s 2 0 所以 . ,)1( ,)01(, 4 5 22 取逆时针方向为半径的圆周 为中心，是以点其中计算例 RR L yx y dxxd y L 解 .)0,0(),( ,)4( 4 222 22 yxxQyx xyyP ,4: 222 ayxlL 内取一小椭圆在 2000年考研试卷一、五 .方向为逆时针方向并取 l lL yx yd xx d y yx yd xx d yI 2222 44 l ydxx d ya 21 2224 2 2 1 ayx dxdya :公式知由 Gr e e n . Green公式应用技巧 : , )( 内无奇点Di 则所围区域为是封闭曲线如 , , .1 DL ;直接用 , )( 内有奇点Dii ;挖掉再用 , .2 是非封闭曲线如 L .先补再用 不闭则补，出奇则挖 计算二重积分 )2( 例 6 计算 D y dxdye 2 , 其中 D 是以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点的三 角形闭区域 . 解 令 2,0 yxeQP , x y o AB 1 1 D 则 2y e y P x Q , BOABOA y D y dyxedx dye 22 10 22 dxxedyxe xOA y ).1(21 1 e 计算平面面积 )3( 格林公式 LD yQxPyxyPxQ dddd 推论 : 正向闭曲线 L所围区域 D的面积 ,dd21 L xyyxA , L xdyA . L y dxA 例如 , 椭圆 20, s i n c o s: by axL 所围面积 . ab 曲线 AM O : 0., 变到从 axxaxy 例 7 计算抛物线 )0()( 2 aaxyx 与 x 轴所 围成的面积 . 解 ONA 为直线 0y . L y dxxdyA 21 A M OONA y dxxdyy dxxdy 2121 )0,(aAN M A M O y dxxdy21 .614 20 adxxa a L l例 8 为平面上封闭曲线 , 为任意方向向量 ， 0),c o s ( L dsnl n L 则 的外法线方向。 为 ( , )l a b ( c o s ( , ) , c o s ( , ) )n n x n y L ( c o s ( , ) , c o s ( , ) ) ( c o s ( , ) , c o s ( , ) )t x t y n x n y 证明：设 ， 的切线方向 2 2 2 2 c o s ( , ) c o s ( , ) c o s ( , ) LL abl n d s n x n y d s a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 c o s ( , ) c o s ( , ) 0 a b a bt y t x d s d y d x a b a b a b a b = G uvuv dx dy dsnn uv uv 例 ( c o s c o s ) ( c o s c o s ) uv u u v v d s v u d snn x y x yuv ( c os c os ) ( c os c os ) ( ) c os ( ) c os ( ) c os ( , ) ( ) c os ( , ) u u v v v u ds x y x y u v v v v u v u ds x x y y u v v v v u t y v u t x ds x x y y 证明： = ( ) ( ) ( ) ( ) D u v u v v u dx v u dy y y x x u v u v v u v u dxd y x x x y y y 2 2 2 2 2 2 2 2 D v u u u v v v u u u v vv u v u d x d y x x x x x x y y y y y y () DG uvv u u v dxd y d uv ),( yxu D D 0( 0 , 0 ) D 22 xy D x u y u dxdy xy D 2 2 2 2 11( 0 , 0 ) 22 xy DD x u y ux d y y d xu u d x d y x y x y 例 7：设 在分段光滑闭曲线 围成的有界闭区域 上连续一阶偏导数 在 上可积证明 2 2 2( , )D x y x y D D D 设 ， 证明 ： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 D D D D D xd y y dx ux uy u dx dy x y y x y x x y ux uy dxdy y x y x x y xux y uy dxdy xy = 2s in 0 2 2 22 s in * , sin() 2 c o s , sin x y D u c o nu x d y y d x d xy u 而 0 2 2 2 2110 , 0 22 DD x d y y d x x u x y u yu u d x d y x y x y 令 1. 连通区域的分类 ; 2. 二重积分与曲线积分的关系 ; 3. Green公式的简单应用 . L D QdyP d xd x d yyPxQ )( 小结 .4 计算 L ba yaxb yd xx d yI )0,( 2222, L 同例 4 D ab D I 0,0, 2 0,0,0 思考题：