《动量与角动量》PPT课件.ppt

第 3章 动量与角动量 (Momentum and angular momentum ) 3.1 冲量 动量定理 (Impulse and theorem of momentum) 一、动量 (momentum) 冲量 (impulse) 1.动量 : vmP 质点 : n i ii vmvmvmP 1 2211 . 质点系 : 2.冲量 I 作用在物体上的合外力与它 作用时间的乘积称为冲量 tFI (恒力 ) o t F 1t 2t 21tt dtFI (1) dt F (变力 ) 12 2 1 tt dtF F t t 冲量是 矢量 单位 : Ns tFI 平均冲量 二、动量定理 根据牛顿第二定律 dt PdF 12 2 1 2 1 PPdt dt PddtFI P P t t 12 PPI 积分形式 PddtF 微分形式 (2) 意义 : 物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量 2)直角坐标系中 : (3) 1)冲量 的方向 : 是动量增量的方向 , 并不是合外力 的方向 , t 时间内平均合外力的方向是冲量的方向 I 注意 : 3)定理仅对惯性系成立 ,式中各量是对同一物体、 同一坐标系而言的。 例 1: 乒乓球与桌面相碰撞 1vm 2vm I xxxx t t xx mvmvPPdtFI 1212 2 1 分量式 : yyyy t t yy mvmvPPdtFI 1212 2 1 zzzz t t zz mvmvPPdtFI 1212 2 1 kIjIiII zyx (4) 例 2: 已知 : m 在水平面内作半径为 R的匀速圆运动， (R, v) 已知， 求 : (1) A 到 B 时动量的改变， (2) 向心力平均值及方向。 x o y A B 解 : (1) AB vmvmp Av Bv (2) t pF jRmvF 22 jmvjmv jmv 2 vR mv / 2 R mv 22 t p tt ppF 12 12 jF 方向沿 解 : 以 m为研究对象运用动量定理 : o x y 1vm 2vm 060 060 xxx mvmvtF 12 yyy mvmvtF 12 60c o s2 1mv 0)60s i n(60s i n 12 mvmvtF y )60c o s(60c o s 12 mvmvtF x N2060c os2 1 tmvFF x 墙所受平均冲力 : N20 FF 沿 x 轴负方向 (5) 12 vmvmtFI I 1vm 2vm 例 3: 一个弹性小球 : 质量 m=0.2kg以速度 v1=5m/s 与墙相碰撞 , 碰后回跳速度 v2=5m/s 如图 ,若球与墙 接触时间为 0.05s 求 : 该段时间内墙所受平均冲力 3.2 质点系的动量定理 (Theorem of momentum for system of particles) 一、质点系 把相互作用的若干个质点看作为一个整体 , 这组质 点就称为质点系 . 二、质点系的动量定理 m1 , m2 系统 , 1f 2f 内力 : , 1F 2F 外力 : 1f 2f 1F 2F m1 m 2 分别运用牛顿第二定律 : m1: m2: dt pdfF 1 11 二式相加 , 21 ff 由于 2121 ppdtdFF dt pdfF 2 22 (6) 对 N个粒子系统，外力用 F ，内力（即粒子之间的 相互作用）用 f ，则第 i 及第 j 粒子的运动方程 dt pdfF i ji iji 对所有粒子求和 N i i N i ji ij N i i pdt dfF 111 dt pd fF j ji jij i j Fi pi fi j fj i Fj pj 0 1 N i ji ijf 内力和 (7) N i ipP 1 总动量： N i iFF 1 合外力： 质点系的动量定理表明 : 外力可以改变系统的总动量 ; 内力改变个别质点动量 , 内力不可改变系统的总动量 dt PdF 12 2 1 2 1 PPPddtFt t N i i N i i pdt dF 11 (8) 例 4: 矿砂从料斗落到水平传送带上传送出去 ,设每秒落 下 20kg矿砂 .传送带速率为 15m/s 求 匀速传送时 , 传 送带作用于矿砂的水平冲力为多少 ? 解 : 设 t 时间内落下 mkg 以 m为研究对象 12 vmvmtF N3 0015202 vtmF 水平 由动量定理 : (9) 1vm 2vm tF )0( 2 vmtF 水平 水平方向 : 方向 :沿传送方向 3.3 动量守恒定律 (The law of conservation of momentum) 一、质点动量守恒定律 由质点的动量定理 12 2 1 PPdtF t t 21:,0 PPPF 即常矢量时当合外力 质点动量守恒定律 :若质点所受合外力为零 , 则质点的总动量不随时间改变。 二、质点系动量守恒定律 由质点系的动量定理 12 2 1 PPdtF t t 21:,0 PPPF 即常矢量时当合外力 (10) 2)合外力沿某一方向为零 , 则该方向动量守恒 常数当如 i ixx PF 0: 其中 222 i i i i i vmpP 111 i i i i i vmpP 质点系 动量守恒定律 : 若系统所受合外力为零 , 则系统的总动量保持不变。 注意 : 3)动量定理 , 动量守恒定律中各质点动量 (或速度 )必须 是 对同一个惯性系的动量 (或速度 ); 4)宏观物体、微观粒子都适用。 (11) 0)1 iF 系统不受外力 , 系统受外力但合外力等于零 , 系统内力很大外力可忽略 (碰撞 ,爆炸 ); 例 5: 质量为 m0=10g的子弹以 v0=200m/s的速度水平射 入一静止的质量为 m=50g的长方体木块后 , 以水平速 度 v=100m/s 从木块射出。子弹与木块间的平均摩擦 力为 500N,地面光滑。 求 1)在子弹从木块射出的瞬间 , 木块具有的速度 , 2)木块的长度 解 : 1)子弹和木块为一系统 0 mutF r muvmvm 000 1s 2s v0v 水平动量守恒 : m / s20 u 2)设子弹与木块作用时间为 t , 由动量定理 : s102 3 t m3.0)(21 01 tvvs m02.0)0(2 1 2 tus m28.021 ssl (12) u o x 例 6: 三只质量均为 M的小船鱼贯而行速率均为 v,如中 间小船以相对速率 u向前后二船同时抛出质量均为 m 的物体 , 求 :二物体落在前后二船上以后三只小船速度 各为多少 ? v解 : 1) 以小船 1及 m为研究对象 , 运用动量守恒定律 1)()( vmMuvmMv mM muvv 1 2) 以小船 2(含 2m)为研究对象 )()()2( 2 uvmuvmvmMMv vv 2 3) 以小船 3及 m为研究对象 3)()( vmMuvmMv mM muvv 3 (13) u u o x 例 7: 水平 ,光滑直铁轨上有一辆车 ,长为 L, 质量为 M , 人的质量为 m站在车的一端 ,初始时刻人与车均静止 , 当人从一端走到另一端时 ,人与车各移动多少距离 ? 解 : 以人和车为研究对象 水平方向动量守恒 0 车地人地 vMvm 车地人车人地 vvv 人车人地 vmM Mv mM MLdtv mM Mdtvdxx ttx 000 人车人地人地 人地 mM mLxLx 人地车地 (14) 人地v 车地v 人地x 车地x x 3.4 质心 质心运动定理 (The center of mass and theorem of the motion of center of mass) 一、质心 (the center of mass) m rm m rm r N i ii N i i N i ii c 1 1 1 z x y o c rc 质心的定义 : 设质点系共有 N个质点组成 ,各质点的 质量分别为 : m1,m2, mN ,位矢分别为 : 则质心的位矢定义为 : Nrrr 21 , m2 m1 m i mj 质心的运动代表了质点系运动的总趋向 (15) 2r 1r ir m xm x N i ii c 1 m ym y N i ii c 1 m zm z N i ii c 1 质心位置的三个直角坐标为 对连续分布的物质 m xdm x c m y dm y c m z dm z c m dmr r c 质心位矢与坐标系的选取有关。但质心相对于各质 点的相对位置是不会随坐标系的选择而变化的。 (16) 注意 :质心与重心 (物体各部分所受重力的合力作用点 ) 的区别 ,尺寸不大的物体 ,它的质心和重心重合。 例 9: 求 : 质量均匀的一半径为 R的半球的质心位置。 解 : 设半球的密度为 , 将半球分割成 许多厚为 dx的圆饼 , 任取其一 dxxRdxydV )( 222 dxxRdVdm )( 22 R dm xdm x c 8 3 iRr c 8 3 x R o y z x dx y 例 8:任意三角形的每个顶点有一质点 m,求 : 质心位置。 x y o （ x1， y1） x2 33 2121 xx m mxmxx c 33 11 y m myy c (17) 二、质心运动定理 (theorem of the motion of center of mass) 质点系的动量 dt PdF 由质点系动量定理： dt rmd dt rdm vmP N i iiN i ii N i ii 1 11 c cc vm dt rdm dt rmd )( 质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。 质点系所受合外力等于其总质量与质心加速度的 乘积 , 这就是 质心运动定理。 cc amvmdt d (18) 1)质心的运动就像一个质点的运动。 说明 : 2)只有外力才能改变质心的运动状态 , 质点系的内力 不能改变质心的运动状态。 (19) 0 0 F若 0ca则 常矢量cv 3) 质点系动量守恒定律的另一 种表述 : 当一质点系所受的 合外力等于零时 ,其质心速度 保持不变。 例 10:水平桌面上拉动纸 , 纸张上有一均匀静止球 , 球 的质量 m, 纸被拉动时与球的摩擦力为 F, 求 : t 秒后球相对桌面移动多少距离？ 解 : 球移动的距离 即为质心移动的距离 camNgmF dt dvmmaF c c 2 2 1 t m Fx c 两次积分得 x y z F 质心运动定理 : N F gm c (20) 例 11:水平光滑平面上有一小车 , 长度为 L, 质量为 M 车上站有一人 , 质量为 m, 人、车原来都静止 ;若人从 车的一端走到另一端 , 问 :人和车各移动了多少距离？ 解 : X 将人和车看作一个系统 , 质心的 X坐标不变 X x Mm MLmLx c 2/ 1 Mm LXMmXx c )2/( 2 人与车都静止时 ,质心坐标 : 人走至另一头时 ,质心坐标 : 21 cc xx LmM mX L mM MXLx (21) 一、质点的角动量 (或动量矩 ) L o r vmp prL 大小 : s i nr m vL 方向 : 右手螺旋法则确定 L 说明 :1)质点的角动量必须指明是对哪个转动中心的 2)角动量与动量的区别 (如匀速圆周运动 ) 单位 : kgm 2/s或 Js (22) 3.5 质点角动量 角动量守恒定律 (The angular momentum of particle, the law of conservation of angular momentum) 1.角动量定义 : 动量为 p的质点 , 对惯性系中一固定点 o 的角动量定义为 2.角动量的性质 1)矢量性 prL 2)瞬时性 vmrL 二、力矩 (moment of force) FrM 矢量性 , 瞬时性 , 相对性 o L r p m 3)相对性 为质点到固定点 o的位 矢 相对不同点 值不同 ,则 也不同。 r Lr o r r F M s i nrFFrM 大小 : 方向 : 右手螺旋 (23) 力矩反映力对受力质点 绕定点 o转动的作用 vmrL 二边对时间求导 vmdt rddt vmdrdt vmrddt Ld )()( MFr 三、质点的角动量定理 dt LdM 意义 :质点所受合外力矩等于 质点角动量对时间的变化率。 角动量定理 (24) 12 2 1 2 1 LLLddtM L L t t 角动量定理 (积分形式 ) 21tt dtM 冲量矩 单位 :Nms (the moment of impulse) 力矩与其作用时间 的乘积称为冲量矩 意义 :质点所受合外力矩的冲量矩等于质点角动量 的增量。 F o 1r 2r 1v 2v m 1 2 m 1r 2r 2v 1v 四、角动量守恒定律 (25) 当 时 , 0M 0dtLd 21 LL 角动量守恒定律 意义 : 对某固定点 ,质点所受合外力矩等于零时质点 对该固定点的角动量保持不变。 说明 : 合外力矩对应的固定点与质点角动量对应的 固定点为同一个点。 例 12: 在光滑桌面上开一小孔 ,把系在轻绳一端的小球 放在桌面上 ,绳的另一端穿过小孔而执于手中。设开 始时小球以速率 v0 作半径为 r0 的圆周运动 (图 ),然后 向下缓慢拉绳使小球的转动半径减为 r,求 这时小球的 速率 v 解 : v O )( / rT 0 gmN N gm T 0M 21 LL 绳缓慢拉下，每一 瞬时均可看作小球 近似作圆周运动。 m v rrmv 00 r rvv 00 r 动量守恒？ 动能守恒？ (26) 3.6 质点系角动量定理 (theorem of angular momentum of system of particles) dt Ld)fF(rM i ji ijiii 内力矩 i ij ji i fr 0 0)( ijji jijiji frr frfr dt LdL dt dFrM i ii i i )( dt Ld )fF(rM j ij jijjj i j Fi pi fi j fj i o rj ri Fj jp 由质点角动量定理 (27) i ii i i prLL )( 质点系的角动量 : dt LdM 质点系角动量定理 : 上两式形式上与质点角动量定律相似但涵义不同 分量式 : dt dLM dt dL M dt dLM z z y y x x 意义 :质点系对某点的角动量随时间的变化率等于质 点系中各质点所受外力对同一点的合外力矩。 12 2 1 LLtdMt t 对于有限时间 质点系角动量守恒定律 : 0M i i i i LL 21 (28) 例 13: 质量分别为 m1和 m2的两个小钢球固定在一个长 为 a的轻质硬杆的两端 , 杆的中点有一轴使杆在水平面 内自由转动 , 杆原来静止。另一泥球质量为 m3, 以水平 速度 v0垂直于杆的方向与 m2发生碰撞 , 碰后二者粘在一 起。 设 m1=m2=m3, 求 :碰撞后转动的角速度 。 0321 00 vrmrmrm 碰撞后 112233 vrmvrmvrm 解 : m1、 m2、 m3为质点系 ,相对于杆的中点 ,碰撞过程中 合外力矩为零 , 故对 o点的角动量守恒。 碰撞前 11223303 vrmvrmvrmrvm 22 321 avvvar a v 3 2 0 r=a/2 m1 m2 m3 1v 2v 3v o r=a/2 0v (29) L为