复数的若干应用

复数的若干应用本文从六个方面阐述了复数在高等数学以及初等数学中的简单应用，包括复 数在高阶导数、级数、实积分、非齐次微分方程、初等代数、解析几何题等领域 的应用。采用的主要思想是利用欧拉公式进行三角函数与复指数之间转换，以及 利用复数不等式解实数问题，从而使问题得以简化。关键词复数；欧拉公式；不等式Some applications of complex numbersAbstractThis paper describes six areas in advanced mathematics and complex in the simple application of elementary mathematics, including the application of the plural in the higher order derivatives, series, real integration, non-homogeneous differential equations, elementary algebra and so on. The main idea is to use Euler formula to convert between trigonometric functions and the complex index, and to use the plural inequalities to solve the complex real problems, so the problem can be simplified.Key WordsPlural; Euler formula; inequality摘要I英文摘要II1绪论 12复数在高等数学中的应用 32.1复数在高阶导数中的应用 32.2复数在级数中的用 52.2.1复数在函数项级数求和中的应用 52.2.2复数在函数的幂级数展开式中的应用52.3复数在实积分中的应用 72.4复数在非齐次线性微分方程中的应用93复数在初等数学中的用103.1 复数在函数最值中的用 103.2复数在解析几何中的用 11结论 13参考文献 141绪论我们知道，在实数范围内，解形如ax2 + bx + c二0（a丰0）的方程时，如果判别式b2-4ac 0 ,是无解的，只有把实数集扩充到复数集才能解决。对于复数 a + bi （ a、b都是实数）来说，当b = 0时，就是实数；当b丰0时叫做虚数，当 a二0, b H 0时，叫做纯虚数。可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集不 是件容易的事，那么，历史上是如何引进虚数的呢？复数的真正开端始于16世纪意大利数学家卡丹的数学著作大术中。书 中有如下著名问题：将10分成两部分，使它们的乘积等于40。卡丹写道：“显然，这个问题是不可能的。但是我们可以用下面的方法求解。将10等分， 得5，自乘得25。减去乘积自身（即40），得m:15。从5中减去和加上该数的 平方根即得乘积为40的两部分，即5 p:R m:15和5 m:R m:15。,其中p和m 分别表示+和一，R表示平方根，因而卡丹所得两数就是5 +、二15和5-15。 他还将两者相乘证明结果的正确性。这样，卡丹成了数学史上第一个使用负数平 方根的人。不过，他称这样的数为“诡辩式的数”，可见他并未完全理解和接受 它们。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（15961650），他在几何 学（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传 开来。数系中发现一颗新星一虚数，引起了数学界的一片困惑，很多数学家都 不承认虚数。德国数学家莱不尼茨（16641716）在1702年说：“虚数是神灵 遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学 大师欧拉（17071783）说；“一切形如.-I, J-2的数学式子都是不可能有的、 想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它 们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么， 它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终 占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（17171783）在1747年指出，如 果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是形式a + bi（a、b都是实数）（说明：那时并没有使用记号i，而是使用J-T ）。1707年，英籍法国著名数学家棣莫弗(A.De Moivre, 16671754)在皇家学会哲学汇刊上发表题为某些奇数次方程的分析解的论文，得到相当于(cos 0 + i sin 0)n=cos n0 + i sin n0的公式，这就是著名的棣莫弗公式。1748年，欧拉在他的无穷分析引论中重新获得了棣莫佛公式，并借助导数这一工具，又获得后人以他的名字命名的公式：ei9= c o 0 + i s0n并且是他在微分公式(1777年)一文中第一次用来表示的平方根，首创了 用符号作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，是确实存在的。挪威 测量学家成塞尔(17451818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释， 并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。德国数学家高斯(17771855)在1806年公布了虚数的图像表示法，即所 有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐 标系中，横轴上取对应实数的点A,纵轴上取对应实数的点B,并过这两点引平 行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数。像这样，由各点都对应复数的 平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”。高斯在1831年，用实数组代表 复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”。 他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种 不同方法一直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和 三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数 对应，扩展为平面上的点与复数 一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复 数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论 才比较完整和系统地建立起来了。经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数 学领域游荡了 200年的幽灵虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目， 原来虚数不虚。虚数成为数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。 同时除了解方程外，人们还把它用于微积分等方面进行应用研究，得到很多有价 值的结果.后来经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和魏尔斯 特拉斯(Weierstrass)等数学家的巨大努力，把关于实函数的部分理论推广到了复 数域中，从而形成了非常系统复数的理论。包括复函数的导数、微积分以及级数 理论等。并将分析中的基本初等函数给推广到了复数域中，得到了复的解析函数， 例如复指数函数，复三角函数，复对数函数等。随着复函数理论体系的不断发展，其在数学以及其它学科中的应用也得到不 断体现，现在复函数理论已经深入到了包括代数学、解析数论、微分方程、概率 统计、计算数学、拓扑学等数学分支，同时，它在电学、热力学、弹性理论和天 体力学等方面都得到了实际应用.下面我们将就复数在高等数学领域的作用做一 些粗浅的探讨。2复数在高等数学中的应用举例2.1复数在高阶导数中的应用例 1 y = sin mx，求 y(n)解由欧拉公式知sin mx 二 Im eimx所以d n.y (n )=Imei m x= Im in - m n - eimxdx n兀.=mn - I me(2 i )n ei m x=mn - Im (cOs + i sif) n (co mx + i s i nmx)2 2由棣莫弗公式知/ 兀.兀、n兀.n兀(co旷 +1s i r)n = cos +1s i n2 2 2 2所以y (n) = mn Im(co+ i si 年)(comsx + i s i nmx)/n冗.n冗、=m n (cos i nmx + s i c o mx)再由和差化积公式可知y(n) = mn si(mx + 竺)在上面的例子中，我们使用欧拉公式将三角函数转化成了复指数函数，再利 用复指数函数的求导方法来解决问题，然而，在上例子中，此方法与数学归纳法 相比，简洁之处并不明显，但是在求解型如y二eax sin bx ， y = eaxcos bx函数 的n阶导数时，此方法则能体现其优点、在实分析之中，我们使用Leibniz公式 来解决此类问题，但是使用Leibniz公式求得的是一种和式表达式，因此在实际 应用中不是很灵活。而在复数解法中，我们应用欧拉公式将三角函数转化成复指数函数，使得指 数函数与三角函数的积的形式能够转化成单一的复指数函数，从而使问题得到简 化。下面我们来给出一个具体的实例。例 2 y = ex -sinx，求 y(n)解I实分析解法卩(n) (x) = ex令卩(x) = ex， v (x)=sinx 贝廿v(n) (x) = s i nx(+ 兀)2由Leibniz公式y (n)二(p V )(n)=卩(nV (0) + Ci p(n-1V (i) + C2 卩(n_2V + Ck 卩(n-kV (k) + nnn(0) + C1V (1) + C2V + CnV (n) exn兀kn=s i nx( + Ci s i nx(+ ) + C 2 s i nx(+K) + Ck sirx(+兀)+ Cn sirx(+兀)-ex2nn2n2nk 二 0复数解法= Ck s i nx(+ 兀)解II因为2y = ex - sin x = Ime(i+i)x，所以=Im(1 + i) ne (i+i) xd n=Ime (i+i) xdxn=Im2n ex (co7? + i siiT 兀)(ca + i siix)44由和差化积公式知:=2； ex (co.n 兀、s i nc+sin c o x) 4ny (n)= 22 esinx(+ 竺)42.2复数在级数中的应用2.2.1复数在函数项级数求和中的应用例3求级数兗的和函数n!解因为.艺 s i nnx)+ co 毗)=y c o snx) + i s i nnx) n!n=0n=0n!n!由Taylor公式中ez仝 n!n=0可知.区 s i nnx) + 艺 c o 毗)n!n!n=0所以po ein n!n=0( e ix ) nn!n = 0poo( e ix ) n=e eix = e c oxsb i s i xn=e c o xso s ( sxi)+ i s i n ( sX)l另 sin( x) = Im(乏 sin nx cos nx) n!n!n!n=0n=0n = 0=e cos x sin(sin( x)x G (一8,+8)2.2.2复数在函数的幂级数展开式中的应用(1)、型如 y = eaxsinbx ， y = eaxcosbx 的函数的Taylor展式对于型如y = eaxsinbx , y = eaxcosbx的函数Taylor展式，在实分析中，我们先分别求y = eax与y = sinbx( y = cosbx )的展开式，然后逐项求积，此法略显繁琐，并且我们无法给出其通项公式，从而使其在实际应用中受到制约。因而, 我们考虑使用复数解法，在此方法中，我们利用欧拉公式将其转化成单一的复指 数函数，由此可以利用复指数函数的Taylor展式进行简化运算。下面通过一个具 体的实例来进行说明。例 4 求 y = ex sin x ， y = ex cos x 的 Taylor 展式解因为ex (cos x + i sin x)= ex eix幵=e (1+i) x = e、2 e 4 xnlj=1 +込e旦x + (2)ne 4 xn(1)4n!n=2同理ex (cos x - i sin x) = ex e-ix=e (1-i) x = e 2 e 4 x；n兀(2)兀 i旳(; 2)n e 4 xnx +乙4n!n=2所以，（1） 口（2）除以2可得ex cost = 1 +.-2 c4G 2) n c o s- 4_G- 2) n c o=2 + 三-n=2n兀n!xnn!xn（1）减（2）除以2i可得.iex s i ek = v2严）.n兀 sinn=2n!4 Xn(迈)n si伫=1 +才n=2n!Xn（2）在函数的幂级数展开式中，除了上面的可以利用欧拉公式的问题外,还有一种特殊方法，即构造一对共轭复数，把实函数转化成复变函数，从而使得问题得到简化，如下例所述:例5将函数f(x)1展成X的幂级数。所以(n+1)兀 i一 (n+1)兀 iwn+1 wn+1 = e 3 e 32. . (n+5=2i sin3ww1 + wx 1 wx (1) n (wn+1 wn+1) xn g n=0|x| 0且为任意常数。1 + (1 + -)2 2(1 + -)cos0kk这类积分的被积函数虽然在积分区间上连续，积分值存在，但是计算起来相 对复杂，在这里分别运用复积分中的柯西积分定理和柯西积分公式，可以得到这类实积分的计算结果。要得到此类实积分的计算结果,我们首先来计算复积分j u=氏爲土 :二r厂(k, r 0)。由柯西积分定理的推广知1由于z (k + r)在IZ k上解析dz1=k z 土 (k + r)又设|z| = k的参数方程为:z = ke诂=k(cos6 + i sin0 )(0 0 |Z + Z + Z 1 = |v + (3-v)i|123123=、：v2 + (3 v)2 = 2v2 6v + 9匚 _r9、 3 k=2(v )2 +=22 2 2 2上式前后两个“=”同时成立的充要条件是复数Z, Z ,Z对应的向量同向, 1233 13 且x + y + w =，此时x = y = w = ， U取得最小值一*2。222般地,设 f (X , X，,X ) = X 2 + (1 X)2 + X 2 + (1 X)2 H + t X 2 + (1 X)212n 712N 23V n1(n 2, x e R, i = 1,2,n), f (x , x ,x )的最小值可用如下方法求得：i12n设 Z(1) = x + (1 x )i; Z =(1 x ) + ix1 12 12 1Z =X + (1 x )i; Z =(1 x ) + ix ；2 23232Z 二 x + (1 一x )i; Z =(1 x ) + ix ；nn那么，根据（3）式有1n1n2 f (x ,x，x ) = Z+ Z+ Z+ Z+ Z+ Z八 12n1122nn Z + Z + Z + Z + + Z (1) + Z (2)1122nn=|n + ni| = p 2n因此，f (x ,x，,x ) 12n一-当 x = x = =x = 日寸, f (x ,x，,x ) = n。12n 212n22因此，f q, ,xn ）的最小值为亍n3.2、复数在解析几何中的应用对某些解析几何问题，若利用纯粹的解析法来解答往往很复杂，然而，我们 考虑把所给的坐标平面视为复平面。利用复数的几何意义进行处理，其解答效果 却是别具一格。例9：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2 = x上移动，记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。A B解：如图，视直角坐标平面为复平面，设点A,B对应的复数分别为Z ,Z，因A,B两点在抛物线y2 = x上，所以由定义11Z - + ZA 4B_4所以=Re( ZA + 1)=Re(ZA + ZB ) + 2 = 2XM + 2（X表示点M的横坐标）Mr11Z 一_ + ZA 4B_4又(ZA-4）（Z=|Z Z I = I AB = 3A B15所以 2X + - 3，得 X -M 2M4而 Z = FTZ - = FB而 A 4， B4所以FA与FB共线且方向相反时等号成立。即当AB为焦点弦时，X取得最小值-，此时，再利用几何方法，并由焦 m4点弦公式|AB|二亘易求得点M（-，竺）或M（-, 2）Sina4242其实，复数与解析几何的联系还很多，其它图形如圆，椭圆等均可以复数化, 从而来简化某些题目的计算与解答。本篇论文例举了六种类型的复数在高等数学与初等数学中的具体应用。通过 对复数在高阶导数、级数、实积分、非齐次线性微分方程、初等代数与解析几何 等领域的一些具体应用实例的讨论，使我们对复数的应用方向有一个粗略的理 解。并且，通过对其中一些问题的讨论方法的运用，特别是三角函数与复指数之 间的转换关系以及复数不等式的应用，拓宽了我们在解决一些在实变函数中比较 繁琐的问题时的思路。但是，由于个人知识能力有限以及资料收集中的一些问题， 使得这篇文章对复数在高等数学中的应用的讨论不是很全面参考文献1. 钟玉泉，复变函数论（第三版）【M】，高等教育出版社。2. 余家荣，复变函数（第三版）【M】，高等教育出版社。3. 华东师范大学数学系，数学分析【M】，高等教育出版社。4. 清华大学数学系，微积分【M】，清华大学出版社。5. 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法【M】，高等教育出版社6. ChurchillBrown,复变数及应用【M】，晓园出版社。7. M.R施皮格尔，复变分析原理及解题【M】，晓园出版社。8. 刘玉琏、付沛仁，数学分析讲义（第三版）【M】，高等教育出版社。9. 陈传璋、金福临，数学分析（第二版）【M】，高等教育出版社。10. 王文鹏、阙建华，复变函数的积分求解策略【J】，重庆学院学报，2007年12月，94： 145-147。11. 张彩华浅谈两类实积分的计算【J】.辽宁师专报,2004, 6（2）: 16.12 丁殿坤可用亚纯函数的留数计算的曲线（实）积分【J】哈尔滨师范大学自然科 学学报,2006, 22（6）:28-29.