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第一单元 常微分方程,一、两个实案案例,引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）,项目1 (1.1)一阶微分方程的解法,任务1-1 微分方程的基本概念,引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）,解,曲线上任意点的坐标为(x , y)，则,案例1.3 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，制动时列车获得加速度m/s. 问开始制动后多长时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶了多少路程？,解 设列车开始制动的时刻为t=0，制动t秒行驶了s米后停止，由导数的力学意义，列车制动阶段运动规律的函数 应满足,S(t)还应满足,（1）式两边积分得：,两边再积分得：,代入以上两式得：,将,令,得,定义1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数,(或微分)的方程，叫做微分方程.,未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程.,微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶,1. 微分方程的定义,2. 微分方程的阶,二、基本概念,判定下列等式是否微分方程？如果是，指出它的阶数。,(1) y+ 2xy = e x (2) y- 5 y= 2 x 2- x +1 (3) 2 y- 3(y)3 + 5y = 8x (4) y 2- x +1 = 0 (5) (sinx) = cosx (1) y= 0 (7) (y) 4 = e x y,定义2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则称此函数为微分方程的解。,（1）通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。,3. 微分方程的解,（2）特解：在通解中，给任意常数以确定的值而得到的解称为特解。,（3）初始条件：用来确定通解中任意常数的条件,如案案例1,（通解）,（初始条件）,（特解）,解,4. 指出微分方程的阶、通解或特解,一阶微分方程的一般形式为 F（x，y， y ）=0,下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程 及解法,则该微分方程称为可分离变量的微分方程,任务 1-2(1.1.2) 分离变量法,如果一个一阶微分方程 F（x，y， y ）=0可化为,的形式，,两边积分，得,则微分方程的通解为：,解,分离变量,两端积分,（C = 2C1),案例1.5 求解微分方程,的通解。,即,为方程的通解,案例1.1 求微分方程 xydy + dx =y 2dx + ydy 的通解,解,分离变量,两端积分,故方程的通解为,案例1.7 求微分方程 满足初始条件y（0）= 1的特解,解,分离变量,两端积分,故所求的特解为,由初始条件y（0）= 1，得,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,案案例如,线性的;,非线性的.,任务1-3 (1.1.3)常数变易法,齐次方程的通解为,线性齐次方程,我们先讨论 一阶齐次线性微分方程的解法,(使用分离变量法),下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解 式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解， 即把齐次线性方程的通解式中的C看作是x的 函数C（x）.,设,是非齐次方程的通解,把它代入非齐次方程，由此来确定待定 函数C（x）. 这时,两边积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,案例 求微分方程 的通解.,解一 将原方程变形为,（1）先求对应齐次方程,的通解.,（2）把 换成 ，即设,（3）把它代入方程，化简后得：,两边积分，得,（4）把C(x）代入，即得原方程的通解是：,解二 我们也可以直接利用通解公式求解，此时,，得通解,案例1.9 求微分方程 x2dy+(2xy x+1)dx= 0 满足初始条件y(1) = 0的特解,解,把初始条件 y(1) = 0 代入上式，得C = 1/2,故所求方程的特解为,补充：求微分方程(y 2- 1 x)dy + 2ydx = 0的通解,（y为自变量）,解,故所求方程的通解为,
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