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1,数列的概念,收敛数列的性质,小结 思考题 作业,数列极限的概念,概念的引入,第二节 数列的极限,第一章 函数与极限,2,一、概念的引入,极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.,极限的思想源远流长.,庄子(约公元前355275年)在天下篇,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.,意思是:,一尺长的棍子,第一天取其一半,第二,天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一,半,这样永远也取不完.,中写道:,3,刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:,意思是:,设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边,形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.,求出,正12边形、,等等正多边形的边长,正24边形.,边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与,圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误,差了.,“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”,4,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,5,如,定义,按照自然数的顺序排列的一列数,简记为,通项(general,term),或者一般项.,二、数列 (sequence of number) 的概念,6,可看作一动点在数轴上依次取,数列的(两种)几何表示法:,数列可看作自变量为正整数 n的函数:,整标函数或下标函数,(1)数列对应着数轴上一个点列.,7,(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,不可将这串点连成曲线.,则数列的几何意义是,平面上一串分离的点.,8,三、数列极限的概念,即,问题,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?,如果是,当n无限增大时,无限接近于1.,如何确定?,9,如何用数学语言刻划它.,可以要多么小就多么小,则要看,?,“无限接近”,意味着什么?,只要n充分大,小到什么要求.,当n无限增大时,无限接近于1.,10,11,定义,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正整数N,使得对于 时的一切,不等式,成立.,收敛于a (converge to a) .,或称数列,记为,或,如果数列没有极限,就说数列发散(diverge).,12,xn有没有极限,一般地说,但是一旦给出之后,它就是确定了;,主要看“后面”的无穷多项.,(1),(2),(3),(4),“前面” 的有限项不起作用,13,数列极限的几何意义,数列极限的定义通常是用来进行推理,需要预先知道极限值是多少.,和证明极限,而不是用来求极限,因为这里,即,14,例,所以,证,15,例,证明数列 以 0为极限.,证,要使,由于,有,16,例,证,所以,说明 常数列的极限等于同一常数.,17,例,证,为了使,只需使,18,1. 有界性,如,有界;,无界.,定义,若存在正数M,数n,恒有,称为无界.,则称数列 有界;,数轴上对应于有界数列的点 都落在,闭区间 上.,否则,使得一切自然,四、收敛数列的性质,19,定理1,证,由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论,收敛的数列必定有界.,无界数列必定发散.,不是充分条件.,20,2. 唯一性,定理2,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,每个收敛的数列只有一个极限.,才能成立.,使得,21,例,证,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,反证法,假设数列,收敛，,则有唯一极限a 存在.,但却发散.,22,3. 保号性,定理3,如果,且,证,由定义,对,有,从而,推论,如果数列,从某项起有,且,那么,用反证法,23,在数列 中依次任意抽出无穷多项:,所构成的新数列,这里 是原数列中的第 项,在子数列中是,第k项,4. 收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系,子数列.,叫做数列,?,24,*,证,是数列,的任一子数列.,若,则,成立.,现取正整数 K,使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,定理4,设数列,正整数 K,收敛数列的任一子数列,收敛于同一极限.,25,由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列,敛于a .,收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.,一般不能断定原数列的收敛性;,还可以证明:,数列,的奇子数列,和偶子数列,均收敛于同一常数a 时,则数列,也收,仅从某一个子数列的收敛,(证明留给做作业),26,例,试证数列 不收敛.,证,因为 的奇子数列,不收敛.,收敛于,而偶子数列,所以数列,收敛于,27,数列,数列极限,收敛数列的性质,收敛数列与其子数列间的关系.,五、小结,研究其变化规律;,极限思想, 精确定义, 几何意义;,有界性, 唯一性,保号性,28,思考题,“,”,恒有,是数列,收敛于a的( ).,A. 充分但非必要条件,B. 必要但非充分条件,C. 充分必要条件,D. 既非充分也非必要条件,(1),C,(2),D. 不确定,29,作业,习题1-2 (30页),2. 3.(1) (3) (4) 4. 5. 6.,
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