勒让德多项式经典案例

数学物理方法,勒让德多项式 ( Legendre polynomials ),第六章,阿德利昂玛利埃勒让德（公元1752公元1833）为法国数学家，生于 巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学 教授。1782年以关於阻尼介质中的弹道研究获柏林科学院奖金，次年当 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。,勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace） 并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了 卓越的贡献。,勒让德（17521833） Legendre . Adrien-Marie,勒让德的主要研究领域是分析学(尤其是椭圆积分理论)、数论、初等 几何与天体力学，取得了许多成果，导致了一系列重要理论的诞生。 勒让德是椭圆积分理论奠基人之一。在L.欧拉提出椭圆积分加法定理后 的40年中，他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家。但他未能像N.H.阿贝尔和C.G.J.雅可比那样洞察到关键在于考察椭圆积分的反函数， 即椭圆函数。在关于天文学的研究中，勒让德引进了著名的“勒让德多项式”，发现了它的许多性质。他还研究了B函数和函数，得到了函数的倍量公式。他陈述了最小二乘法，提出了关于二次变分的“勒让德条件”。 勒让德对数论的主要贡献是二次互反律，这是同余式论中的一条基 本定理。他还是解析数论的先驱者之一，归纳出了素数分布律，促使许 多数学家研究这个问题。,6.1 勒让德方程的引出,球函数,球函数,6.2 勒让德方程的求解,为什么 k 仍然从零开始求和？表面上没有变化，但实质上已经变化。,注意：先作分子的多项式乘法；然后取 C=0； 最后提取公因式即得。 C昙花一现！ （推导另附）,令 c = 0,附:推导,本小节结束语：,6.3 勒让德多项式,解决了收敛的问题！无穷级数被截断，变成了多项式。,解决了收敛的问题！无穷级数被截断，变成了多项式。,提出问题,处理矛盾,转机,数学归纳法：数学上证明命题的一种 方法。为了证明与自然数 n 有关的一 个命题，一般先对 n=1 时，检验命题 成立；然后证明当 n=k+1 时，命题仍 然成立，那么就可以断定这个命题对 于任何自然数都成立。,解决了展开系数的问题！合二而一，简洁、明快。,（幂次由低到高排列）,（幂次由高到低排列）,（幂次由低到高排列）,（幂次由高到低排列）,犹如天作之合也,问题:如何具体写出勒氏多项式.,问题:如何具体写出勒氏多项式.,点电荷的电势,电偶极子的电势,问题：Pn(x) 的最高幂次是？,请同学们务必 记住这两个结论！,证,问题:如何具体写出勒氏多项式.,小结,6.3（增加） 勒让德多项式的母函数（生成函数）及递推公式,6.3.1 勒让德多项式的母函数（又名为：生成函数）,函数,All Roads Lead to Rome,勒让德多项式的母函数（又名为：生成函数）的证明方法之二,证,All Roads Lead to Rome.,参阅：排列、组合、二项式定理。,All Rivers Lead to Ocean.,6.3.2 勒让德多项式的递推公式,证,例,例,原本定义：n = 0,1,2, 为何要对 n 提出限制？ 唯有 n = 0 特殊！,将函数展开成无穷级数，旨在： 计算函数的近似值； 解常微分方程。,6.4 函数展成勒让德多项式的级数,6.4.1 勒让德多项式的正交性,下列结果是基本的:,第一式说明了任何两个不同的勒让德多项式在区间 (- 1 x 1 ) 上的正交性 .,第二式说明了任何两个相同的勒让德多项式在区间 (- 1 x 1 ) 上的归一性 .,（1）正交性 .,证明,（2）归一性 .,证明,6.4.2 函数展成勒让德多项式的级数,又称：傅立叶-勒让德级数、 广义傅立叶级数。,证明,证:,勒让德级数应用举例,例 1.,解,例 2.,解,例 3.,解,例 4.,证,例 5.,证,例 6.,证方法之一（依据定义）,证方法之二（待定系数法）,展开式的唯一性,展开式的唯一性,平面场的复势利用解析函数的方法 处理平面向量场问题,平面场：以静电场为例，它总是三维的。,电场：传递电荷相互作用的物理区域。,电荷周围总有电场存在，同时电场对场中其它电荷产生力的作用。,静电场：观察者相对于电荷为静止状态时，所观察到的场作用。,如果它只在 x y 平面上变化，而在垂直于x y 平面的方向上没有变化，,我们只要在 x y 平面中来研究它就够了，这样的静电场称为“平面”静电,静电场。,复习,所谓平面静电场，其实它是一种三维静电场的横剖面。,研究平面静电场,电势（电位）分布,电力线、电荷密度,标量（最为方便）,无电荷的区域，电势满足二维拉普拉斯方程 具有二阶连续偏导数的函数 u(x,y) ,称为-调和函数 （这个慨念可以推广至高维空间）,解析函数 称为复势,表示平面场的电势,复习,例 6.,球函数,解,勒让德多项式的几种表示形式（增加）,证,供人以鱼，只解一餐； 授人一渔，终身受用。,古人云：,与全体同学共勉， 并预祝大家考试顺利。,附录柯西积分公式,