梁的弯矩和应力关系式

I(ME舔冊皿呂删哑“淇哑咪h強掘 杰u粽第七章弯曲应力7-1纯弯曲正应力梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横 弯曲。剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横 截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时 存在剪应力e和正应力b。实践和理论都证明，其中弯矩是 影响梁的强度和变形的主要因素。因此，我们先讨论Q = 0， M =常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。图6-1所示梁 的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要 综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。1 变形一一平面假设考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的 横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的 两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图 图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征：（1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转 动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长, 另一侧缩短。根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变 形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只 是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设 也称平面假设此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截 面上无正应力作用。根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变 形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也 不缩短的一层，这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层 与横截面的交线为截面的中性轴。横截面上位于中性轴两侧的各点分别S 6-3半面假玫时梁隔变形承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为 零。下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面 高度的变化规律。考察梁上相距为dx的微段（图6-4a）,其 变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线，y 轴与横截面的对称轴重合，z轴为中性轴。则距 中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为 （p + y）d0，其纵向正应变为pd0a)_ (P + y) dO pdB_ y o p式（a）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向 线应变沿截面高度线性分布。2物理关系 根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设 所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律G Eo于是有E、 一 - y（b）Pg(b)式中E、p均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上 任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成 正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d 所示。图卜4崔裁而上的应变与应力分布式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层 的曲率半径p以及中性轴的位置尚未确定。这要 利用静力关系来解决。3静力关系弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z 的微面积dA上有作用力 dA。横截面上所有微面 积上的这些力将组成轴力N以及对y、z轴的力矩My 和 Mz：c）二 J zb dAd）=J yb dAe）A在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩M = M，而轴力N和M皆为零。 zy将式（b）代入式（c）,因为N二0，故有J EPAN = ydA = ydA = S = 0PPA其中二 J ydAE称为截面对z轴的静矩。因为一丰0,P故有S = 0。这表明中性轴z通过截面形心。 z将式（b）代入式（d）,有=J E yzdA = J yzdA = EI = 0 P PPAAyz其中I = J yzdAyzAy称为截面对y、z轴的惯性积。使I = 0的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面yz的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。将式（b）代入式（e）,有M = J y 2 dA = J y 2 dA = I zPA得到6-1)MTz其中I 二 J y 2 dAzA称为截面对z轴的惯性矩；El称为截面的抗弯刚度。式（6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩z成正比，而与抗弯刚度成反比。将式（6-1）代入（b）,得到纯弯情况下的正应力计算公式6-2)上式中正应力b的正负号与弯矩M及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面 上弯矩M的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及M 和7的正横弯曲正应力梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁,h 5， l为梁长，h为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（6-1） 和（6-2）仍然适用。当然式（6-1）和（6-2）只适用于材料在线弹性范围，并且要求外力满足平 面弯曲的加力条件：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯 曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。 （薄壁截面梁产生平面弯曲的加力条件见6-5） 上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁， 以及曲 率很小的曲梁（h/p0 0.2，p0为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。