函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质教学设计

课题：课题：函数函数 y yA Asin(sin(x x)的图象（第一课时）的图象（第一课时）教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 4 4一、内容与内容解析一、内容与内容解析1本课地位和作用三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用“函数 yAsin(x)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数 A，变化对函数 yAsin(x)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型2本课内容剖析“函数 yAsin(x)的图象”主要是探讨函数 yAsin(x)的图象与函数ysinx 的图象之间的关系图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律本节课是“函数yAsin(x)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先分别探讨、A、对 ysin(x)、yAsinx(A0)、ysinx(0)的图象的影响，再探究 ysin(2x1)的图象和 ysin2x 的图象之间的变换关系其中，对参数 的研究方法可以迁移到后续问题解决中去本节课的重点是：对ysin(x)、yAsinx(A0)、ysinx(0)的图象和ysinx 的图象之间的变换规律的理解.二、目标与目标解析二、目标与目标解析1分别探究、A、对 ysin(x)、yAsinx(A0)、ysinx(0)的图象的影响；2在理解、A、对 ysin(x)、yAsinx(A0)、ysinx(0)的图象的变换规律的基础上，探究 不为 1 时的平移变换；3让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程，培养学生的认知策略三、学生学情分析三、学生学情分析在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规律1参数 引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对平移变换的理解；2A、对 yAsinx(A0)、ysinx(0)图象的影响，由学生类比方法独立研究其中，参数 A 和 的取值，学生会忽视 0A1 和 01 情况，在这里注意引导，从而全面认识参数 A 和 的变化引起的图象变换通过本节课的学习，学生经历从由形导数到由数释形的深化过程，形成研究函数图象变换的一般策略四、教学策略分析四、教学策略分析本节课的难点是：伸缩变换；不为 1 时的平移变换突破难点的策略是：通过探讨 对 ysin(x)图象的影响，初步感悟变换的实质，进而类比探究 A、对 yAsinx(A0)、ysinx(0)的图象的影响比如，从 ysinx 到 ysinx，代数上是用 x 代换 x，因此是将 ysinx 图象上坐标1为(x0，y0)的点变换到坐标为(x0，y0)的点，所以是将 ysinx 图象上各点纵坐标不1变、横坐标变为原来的；从 ysin2x 的图象变换到 ysin(2x1)的图象，究竟1是向左平移 1 个单位还是2个单位？突破难点的方法是通过坐标变换理性分析，如果学生仍有困难，结合几何画板作图观察教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子，增加供归纳的样本，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规律学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法本节课遵循自主探究的教学方式，因为每个人的知识、能力不同，因此认识问题的习惯与特点不同，所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统，而是设计为一个动态的、开放的系统，充分发挥学生的主观能动性，这有利于学生认知策略的发展五、教学过程五、教学过程创设情境，提出问题以问题为载体以问题为载体以活动为主线以活动为主线1.1.创设情境、提出问题创设情境、提出问题研制策略，优化方案合作探究，感悟方法类比方法，自主探究思考巩固，深化铺垫整理小结，规划任务如图，摩天轮的半径为 A m(A0)，摩天轮逆时针做匀速转动，角速度为 radmin(0)，如果当摩天轮上点P 从图中点 P0处开始计算时间请在如图所示的坐标系中，确定时刻 x min 时点 P 的纵坐标 y【设计意图】用数学的眼光观察世界，感悟函数 yAsin(x)是刻画自然界周期现象的常见的数学模型，具有丰富的自然背景借助于实际意义来理解函数 yAsin(x)的图象性质是自然的、清楚的、明白的！师生活动：师生活动：先将点 P0置于 x 轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到yAsinx；再将点 P0置于如图所示位置，得到在时刻 x min 时点 P 的纵坐标 yAsin(x)小结：小结：形如 yAsin(x)的函数在生活中经常可见，如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足yAsin(x)，如图所示再比如潮汐现象中水位的高度等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里 A0，0设问设问 1 1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？结论：图象板书课题：函数 yAsin(x)（A0，0）的图象设问设问 2 2：显然，参数：显然，参数 A A，取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？结论：函数 ysinx2 2研制策略，优化方案研制策略，优化方案问题问题 1 1：如何由：如何由 y ysinsinx x 的图象得到的图象得到 y yA Asin(sin(xx)()(A A00，0)0)的图象？的图象？师生活动：师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案小结：小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中2 个，仅一个变动，先分别探讨、A、对函数 ysin(x)、yAsinx(A0)、ysinx(0)的图象的影响，再综合【设计意图】首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法3 3合作探究，感悟方法合作探究，感悟方法问题问题 2 2：如何由：如何由 y ysinsinx x 的图象得到的图象得到 y ysin(sin(x x1)1)的图象？的图象？师生活动师生活动：让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；再举几个例子如：ysin(x1)，ysin(x3)；抽象到一般板书：ysinxysin(x1)点 M(x0，y0)点 N(x01，y0)向左(0)或向右(0)0)的图象？的图象？(2)(2)如何由如何由 y ysinsinx x 的图象得到的图象得到 y ysinsinxx(0)0)的图象？的图象？师生活动：师生活动：让学生类比之前的方法自主探讨，然后交流 yAsinx(A0)的图象可以看作是把 ysinx 图象上所有点在横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的 A 倍得到的板书：ysinx yAsinx(A0)纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变点 M(x0，y0)点 N(x0，Ay0)ysinx(0)的图象可以看作是把 ysinx 图象上所有点在纵坐标不变的情况1下横坐标变为原来的倍得到的纵坐标不变板书：ysinxysinx(0)1横坐标变为原来的 倍x0点 M(x0，y0)点 N(，y0)【设计意图】类比前面的探讨方法，请学生独立探究 A、对 yAsinx、ysinx 的图象有什么影响.此处不仅从形的角度认识规律，更加突出从点的坐标这一数的本质去理解，实现思维水平的提升.设问设问 3 3：刚才我们分别探讨了刚才我们分别探讨了 、A A、对函数图象的影响，对函数图象的影响，我们是怎样研究的呢？我们是怎样研究的呢？结论：（1）从特殊到一般；（2）作图比较；（3）理性分析小结：引起的是图象的平移变换，A、引起的是图象的伸缩变换图象变换的本质就是图象上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化 因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律5 5思考巩固，深化铺垫思考巩固，深化铺垫探究：如何由探究：如何由 y ysin2sin2x x 的图象得到的图象得到 y ysin(2sin(2x x1)1)的图象呢？的图象呢？1师生活动：师生活动：学生讨论后交流这里是向左平移 1 个单位还是向左平移2个单位？利用几何画板画图观察，从坐标关系理性分析板书：ysin2xysin(2x+1)1点 M(x0，y0)点 N(x02，y0)小结：从中发现，横向变换只对 x 的变化而言，同理纵向变换仅对 y 的变化而言1向左平移 个单位211ysin2x的图象向左平移2个单位，得到的函数图象对应的解析式是 ysin2(x2)，1而不是 ysin(2x2)【设计意图】探讨 ysin(2x1)的图象与 ysin2x 的图象的关系，仅作为平移变换的巩固，深化对变换本质的把握，为下节课的研究铺垫.“为理解而学习、教学”是建构主义的核心目标鼓励学生进行探究，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答这样做有利于培养学生的学习积极性，有利于培养学生的思维能力6 6整理小结，规划任务整理小结，规划任务小结：今天我们分别探讨了小结：今天我们分别探讨了 、A A、对函数对函数 y ysin(sin(x x)、y yA Asinsinx x(A A0)0)、y ysinsinxx(0)0)的图象的变换规律，下面的图象的变换规律，下面探讨什么呢？探讨什么呢？【设计意图】培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.布置作业：布置作业：1阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达）；2书第 39 页练习第 1 题，第 4 题函数 yAsin(x)的图象（第一课时）一课的点评本节课的引入环节，教师通过摩天轮这一实际问题，让学生从实际背景中抽象出具体的数学模型，不仅紧扣了函数yAsin(x)的周期性这一特点，而且让学生感受到研究这一函数模型的必要性对于问题 1“如何由 ysinx 的图象得到 yAsin(x)(A0，0)的图象？”，教师留给学生充裕的时间和空间，让学生自主探究研究策略，并通过师生、生生交流，展示不同学生的研究思路学生在合作学习与交流研讨中，逐步体会多变量问题的研究方法通过控制变量的个数将复杂问题简单化，领会从简单到复杂的研究问题的一般方法在此过程中，学生主动参与知识的建构过程，这有利于认知策略的发展本节课的重点是分别探究、A、对 ysin(x)、yAsinx(A0)、ysinx(0)的图象的影响在教学中，教师对教材理解准确到位，不是简单地利用“五点法”来作图，这是因为“五点法”作图是在已知函数图象的基本形状与特征的前提下所采用的一种简化作图的方法，而此时对函数yAsin(x)的图象的特征尚不清晰，因此本节课的重点是探究参数、A、对函数图象的影响在研究过程中，教师紧扣“研究图象的变换规律实际上就是研究图象上每个点的变化规律”这一本质来进行教学，先重点研究了参数 对 ysin(x)图象的影响，初步感悟欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律，进而让学生类比已有的研究方法，自主探究另两个参数对函数图象的影响从最后一个问题（如何由ysin2x 的图象得到 ysin(2x1)的图象呢？）来看，学生能够抓住图象上任意一点坐标的变化关系正确解答问题，很好地达成了本节课的教学目标本节课活动充分，教师注重通过问题引导，启发学生思考，让学生在自主思考与相互交流中，探究研究方法，从中获得研究函数图象变换的一般方法